วงจร LC วิเคราะห์: วงจรอนุกรมและขนาน สมการและการถ่ายโอนฟังก์ชัน

Electrical4u

ฟิลด์: ไฟฟ้าพื้นฐาน

China

วงจร LC คืออะไร

วงจร LC (หรือเรียกว่าวงจรฟิลเตอร์ LC หรือวงจรเครือข่าย LC) ถูกกำหนดให้เป็น วงจรไฟฟ้า ที่ประกอบด้วย องค์ประกอบวงจรแบบพาสซีฟ ได้แก่ อินดักเตอร์ (L) และ คาปาซิเตอร์ (C) ที่เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน มันยังถูกเรียกว่าวงจรรีโซแนนท์ วงจรแท้งค์ หรือวงจรที่ปรับแต่งแล้ว

เนื่องจากไม่มี ตัวต้านทาน ในรูปแบบของวงจรที่สมบูรณ์แบบ วงจร LC ไม่ใช้พลังงาน ซึ่งแตกต่างจากวงจร RC วงจร RL หรือวงจร RLC ที่ใช้พลังงานเนื่องจากมีตัวต้านทานอยู่

อย่างไรก็ตาม ในวงจรปฏิบัติการ วงจร LC จะใช้พลังงานบางส่วนเนื่องจากความต้านทานที่ไม่เท่ากับศูนย์ของอุปกรณ์และสายเชื่อมต่อ

ทำไมวงจร LC ถึงเรียกว่าวงจรที่ปรับแต่งหรือวงจรแท็งค์

ประจุไหลกลับไปกลับมาระหว่างแผ่นของคอนเดนเซอร์และผ่านอินดักเตอร์ พลังงานจะแกว่งระหว่างคอนเดนเซอร์และอินดักเตอร์จนกระทั่งความต้านทานภายในของส่วนประกอบและสายเชื่อมทำให้การแกว่งหยุดลง.

การทำงานของวงจรนี้คล้ายกับการทำงานที่ได้รับการปรับแต่ง ซึ่งทางคณิตศาสตร์เรียกว่าฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์ ซึ่งคล้ายกับนาฬิกาแกว่งหรือน้ำไหลกลับไปกลับมาในแท็งค์ ด้วยเหตุนี้วงจรจึงเรียกว่าวงจรที่ปรับแต่งหรือวงจรแท็งค์

วงจรสามารถทำงานเป็นเรโซเนเตอร์ไฟฟ้าและเก็บพลังงานที่แกว่งที่ความถี่ที่เรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์

วงจร LC แบบอนุกรม

ในวงจร LC แบบอนุกรม อินดักเตอร์และคอนเดนเซอร์ทั้งสองต่อเข้าด้วยกันแบบอนุกรม ดังที่แสดงในภาพ

เนื่องจากในวงจรอนุกรมกระแสไฟฟ้าเท่ากันทุกที่ในวงจร ดังนั้นกระแสไฟฟ้าที่ไหลจะเท่ากับกระแสไฟฟ้าที่ผ่านอินดักเตอร์และคอนเดนเซอร์

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

ขณะนี้แรงดันไฟฟ้ารวมที่ขั้วต่อเท่ากับผลรวมของแรงดันไฟฟ้าที่คอนเดนเซอร์และแรงดันไฟฟ้าที่อินดักเตอร์

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

ภาวะสอดคล้องในวงจร LC อนุกรม

เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น ขนาดของ ปฏิกิริยาเหนี่ยวนำ ก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

และขนาดของ ปฏิกิริยาความจุ จะลดลง

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

ในกรณีที่เกิดการสั่นสะเทือนความต้านทานแบบอินดักทีฟและแบบแคปซิเตอร์จะมีค่าเท่ากัน

ขณะนี้ ความต้านทานไฟฟ้า ของวงจร LC อนุกรมกำหนดโดย

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

ที่, $\omega_0$ เป็นความถี่เชิงมุมในการสั่น (เรเดียนต่อวินาที)

ตอนนี้ความถี่เชิงมุมในการสั่นคือ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ แล้วอิมพิแดนซ์จะเป็น

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

ดังนั้นในภาวะการสั่นเมื่อ $\omega = \omega_0$ อิมพิแดนซ์ไฟฟ้ารวม Z จะเป็นศูนย์หมายความว่า XL และ XC ทำให้กันและกันหมด ดังนั้นกระแสที่จ่ายให้กับวงจร LC แบบอนุกรมจะสูงสุด ( $I = \frac {V} {Z}$ )

ดังนั้นวงจร LC แบบอนุกรม เมื่อเชื่อมต่อกับโหลด จะทำงานเป็น วงจรกรองสัญญาณแบบผ่านแถบความถี่ มีอิมพิแดนซ์เป็นศูนย์ที่ความถี่การสั่น

- ที่ความถี่ต่ำกว่าความถี่สั่นสะเทือนคือ $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . ดังนั้นวงจรจึงมีลักษณะเป็นแบบคาปาซิทีฟ
- ที่ความถี่สูงกว่าความถี่สั่นสะเทือนคือ $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . ดังนั้นวงจรจึงมีลักษณะเป็นแบบอินดักทีฟ
- ที่ความถี่สั่นสะเทือนคือ $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . กระแสจะสูงสุดและอิมพีแดนซ์จะต่ำสุด ในสถานะนี้วงจรสามารถทำหน้าที่เป็นวงจรรับได้
วงจร LC ขนาน

ในวงจร LC ขนาน อินดักเตอร์และคาปาซิเตอร์เชื่อมต่อแบบขนาน ตามที่แสดงในภาพ

วงจร LC ขนาน

แรงดันไฟฟ้าระหว่างเทอร์มินัลขององค์ประกอบต่างๆ ในวงจรขนานจะเท่ากัน ดังนั้นแรงดันระหว่างเทอร์มินัลจะเท่ากับแรงดันที่ขดลวดเหนี่ยวนำและแรงดันที่ตัวเก็บประจุ
   $\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$
กระแสไฟฟ้ารวมที่ไหลผ่านวงจร LC ขนานจะเท่ากับผลรวมของกระแสที่ไหลผ่านขดลวดเหนี่ยวนำและกระแสที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุ
   $\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

ภาวะสั่นสะเทือนในวงจร LC ขนาน

เมื่ออยู่ในภาวะสั่นสะเทือน เมื่อความต้านทานเหนี่ยวนำ ( $X_L$ ) เท่ากับความต้านทานประจุ ( $X_C$ ) กระแสในแขนปฏิกิริยาจะเท่ากันและตรงข้าม ดังนั้นพวกมันจะยกเลิกกันและกันให้ได้กระแสที่น้อยที่สุดในวงจร ในสถานะนี้ความต้านทานรวมจะมากที่สุด
ความถี่สั่นสะเทือนจะกำหนดโดย
   $\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$
ขณะนี้ความต้านทานของวงจร LC ขนานจะกำหนดโดย
   $\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$
ขณะนี้ความถี่เชิงมุมที่เกิดการสั่นสะเทือนคือ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ แล้วความต้านทานจะเป็น
(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$
ดังนั้นในสภาวะการก้องเมื่อ $\omega = \omega_0$ อิมพีแดนซ์ไฟฟ้ารวม Z จะเป็นอนันต์และกระแสที่จ่ายให้กับวงจร LC ขนานจะน้อยที่สุด ( $I = \frac {V} {Z}$ ).
ดังนั้นวงจร LC ขนาน เมื่อเชื่อมต่อกับโหลดแบบอนุกรมจะทำหน้าที่เป็นตัวกรองแบนด์สต็อปที่มีอิมพีแดนซ์อนันต์ที่ความถี่การก้อง วงจร LC ขนานที่เชื่อมต่อกับโหลดแบบขนานจะทำหน้าที่เป็นตัวกรองแบนด์พาส
- ที่ความถี่ต่ำกว่าความถี่การก้อง คือ f<f0, XL >> XC. ดังนั้นวงจรเป็นอิน덕ทีฟ
- ที่ความถี่สูงกว่าความถี่การก้อง คือ f>f0, XC >> XL. ดังนั้นวงจรเป็นแคปาซิทีฟ
- ที่ความถี่การก้อง คือ f = f0, XL = XC, กระแสจะน้อยที่สุดและอิมพีแดนซ์จะมากที่สุด ในสถานะนี้ วงจรสามารถทำหน้าที่เป็นวงจรรีเจคเตอร์
สมการวงจร LC

สมการกระแสและแรงดัน
- ที่สภาพเริ่มต้น:
$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$
$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$
- ในระหว่างการแกว่ง:
   $\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

สมการเชิงอนุพันธ์วงจร LC
   $\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

อิมพีแดนซ์ของวงจรอนุกรม LC

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$
ความต้านทานของวงจร LC ขนาน

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

เวลาการตั้งค่า

วงจร LC สามารถทำหน้าที่เป็นตัวรับสัญญาณไฟฟ้าและเก็บพลังงานที่แกว่งระหว่างสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่ความถี่เรียกว่าความถี่สัมพันธ์ เมื่อระบบใดๆ ที่มีการแกว่งจะเข้าสู่ภาวะคงที่ในเวลาหนึ่ง เรียกว่า เวลาการตั้งค่า
เวลาที่ต้องการสำหรับการตอบสนองให้ลดลงและกลายเป็นคงที่ที่ค่าคงที่และยังคงอยู่ภายใน +- 2% ของค่าสุดท้ายเรียกว่า เวลาการตั้งค่า

กระแสไฟฟ้าในวงจร LC

สมมติ $I(t)$ เป็นกระแสไฟฟ้าทันทีที่ไหลผ่านวงจร แรงดันตกคร่อมอินดักเตอร์แสดงเป็นฟังก์ชันของกระแส $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ และแรงดันตกคร่อมคาปาซิเตอร์คือ $V = \frac {Q}{C}$ โดย Q คือประจุที่สะสมบนแผ่นบวกของคาปาซิเตอร์

วงจร LC

ตามกฎของแรงดันไฟฟ้าของคิร์ชฮอฟ ผลรวมของการลดลงของศักยภาพในส่วนต่างๆ ของวงจรป้อนกลับที่ปิดเท่ากับศูนย์
(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$
เมื่อหารสมการดังกล่าวด้วย L และหาอนุพันธ์เทียบกับ t เราจะได้

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$
ขณะนี้กระแสไฟฟ้าในวงจรฮาร์โมนิกที่เรียบง่ายมีรูปแบบดังต่อไปนี้:
(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$
เมื่อ $I_0 > 0$ และ $\phi$ เป็นค่าคงที่
แทนค่าสมการ (5) ลงใน (4) จะได้
   $\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$
   $\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$
   $\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$
(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

ดังนั้นจากสมการข้างต้น เราสามารถกล่าวได้ว่าวงจร LC เป็นวงจรที่สั่นแกว่งและมันจะสั่นแกว่งที่ความถี่ที่เรียกว่าความถี่เกิดก้อง

แรงดันในวงจร LC

ตอนนี้ตามสมการ (3) แรงดันที่เกิดขึ้นในอินดักเตอร์คือลบของแรงดันที่เกิดขึ้นในคอนเดนเซอร์
   $\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$
นำสมการของกระแสจากสมการ (5) เราจะได้
   $\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แรงดันจะสูงสุดเมื่อกระแสเป็นศูนย์และในทางกลับกัน แอมปลิจูดของการแกว่งของแรงดันคือการแกว่งของกระแสคูณด้วย $\sqrt\frac{L}{C}$ .

ฟังก์ชันการถ่ายโอนของวงจร LC

ฟังก์ชันการถ่ายโอนจากแรงดันขาเข้าไปยังแรงดันที่ตัวเก็บประจุคือ
   $\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$
ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันการส่งผ่านจากแรงดันไฟฟ้าขาเข้าไปยังแรงดันไฟฟ้าข้ามอิน덕เตอร์คือ
   $\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

การตอบสนองตามธรรมชาติของวงจร LC

ให้เราสมมติว่าคอนเดนเซอร์ถูกปล่อยประจุอย่างเต็มที่และสวิตช์ (K) ถูกเปิดอยู่เป็นเวลานานมาก และปิดลงเมื่อ t=0
- เมื่อ t=0– สวิตช์ K เปิด
นี่คือเงื่อนไขเริ่มต้น ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ว่า
$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$
$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$
เนื่องจากกระแสผ่านอินดักเตอร์และแรงดันข้ามคอนเดนเซอร์ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ทันที
- สำหรับ t>=0+ สวิตช์ K ถูกปิด
ตอนนี้แหล่งกำเนิดแรงดันถูกนำมาใช้ในวงจร ดังนั้นเมื่อนำ KVL มาใช้กับวงจร เราจะได้
   $\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$
ที่นี่แรงดันข้ามคอนเดนเซอร์แสดงเป็นฟังก์ชันของกระแส
สมการข้างต้นเรียกว่าสมการเชิงปริพันธ์-เชิงอนุพันธ์ หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการข้างต้นเทียบกับ t เราจะได้
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
สมการ (7) แสดงถึงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่สองของวงจร LC
แทนที่ $\frac{d^2}{dt^2}$ ด้วย s2 เราจะได้
(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
ตอนนี้รากของสมการข้างต้นคือ
   $\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$
ที่นี่ $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ เป็นความถี่ธรรมชาติของการสั่น

การตอบสนองความถี่ของวงจร LC

โดยใช้วิธีการอิมพีแดนซ์: สมการทั่วไปสำหรับระบบการตอบสนองความถี่คือ
   $\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$
- สมมติว่าแรงดันเอาต์พุตเกิดขึ้นที่เทอร์มินัลของคอนเดนเซอร์ ให้นำกฎการแบ่งแรงดันมาใช้กับวงจรดังกล่าว
(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
ที่ไหน, $Z_C =$ อิมพีแดนซ์ของตัวเก็บประจุ $= \frac{1}{j \omega C}$
$Z_L =$ อิมพีแดนซ์ของอินดักเตอร์ $= {j \omega L}$
แทนค่าในสมการ (9), เราจะได้
$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$
(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
- สมมติว่าแรงดันขาออกเกิดขึ้นที่อิน덕เตอร์ ให้นำกฎการแบ่งแรงดันมาใช้กับวงจรดังกล่าว
(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
แทนค่า $Z_C$ และ $Z_L$ ในสมการด้านบน เราจะได้
   $\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$
(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
สมการ (10) และ (12) แสดงถึงการตอบสนองความถี่ของวงจร L-C ในรูปแบบเชิงซ้อน

สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจร LC

   $\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$
สมการข้างต้นเรียกว่าสมการอินทิกรัล-อนุพันธ์ โดยแรงดันที่ผ่านคอนเดนเซอร์ถูกแสดงในรูปของกระแส
จากนั้น หาอนุพันธ์ของสมการข้างต้นทั้งสองฝั่งเทียบกับ t เราจะได้
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
สมการข้างต้นแสดงถึงสมการอนุพันธ์อันดับสองของวงจร LC
แทนที่ $\frac{d^2}{dt^2}$ ด้วย s2 เราจะได้
(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
ตอนนี้ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ ดังนั้น $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ นำมันไปใส่ในสมการข้างต้นเราจะได้
   $\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

วงจร LC ในการชาร์จและปล่อยประจุ

ในวงจร LC อินดักเตอร์และคาปาซิเตอร์ทั้งสองเป็นองค์ประกอบในการเก็บพลังงาน นั่นคือ อินดักเตอร์เก็บพลังงานในสนามแม่เหล็ก (B) ขึ้นอยู่กับกระแสที่ผ่าน และคาปาซิเตอร์เก็บพลังงานในสนามไฟฟ้า (E) ระหว่างแผ่นนำของมัน ขึ้นอยู่กับแรงดันที่ขวาง
สมมติว่าเริ่มแรก คาปาซิเตอร์มีประจุ q และพลังงานทั้งหมดของวงจรถูกเก็บไว้ในสนามไฟฟ้าของคาปาซิเตอร์ พลังงานที่เก็บไว้ในคาปาซิเตอร์คือ
$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

การชาร์จและปล่อยประจุของวงจร LC

หากตัวเหนี่ยวนำถูกเชื่อมต่อกับตัวเก็บประจุที่มีประจุอยู่ แรงดันไฟฟ้าในตัวเก็บประจุจะทำให้กระแสไฟฟ้าไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ ซึ่งสร้างสนามแม่เหล็กรอบตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุจะเริ่มปล่อยประจุและแรงดันไฟฟ้าในตัวเก็บประจุจะลดลงเป็นศูนย์เมื่อประจุถูกใช้หมดโดยกระแสไฟฟ้า ( $I = \frac{q}{t}$ ).
ขณะนี้ตัวเก็บประจุได้ปล่อยประจุหมดแล้วและพลังงานทั้งหมดถูกเก็บไว้ในสนามแม่เหล็กของตัวเหนี่ยวนำ ในขณะนี้ กระแสไฟฟ้าอยู่ที่ค่าสูงสุดและพลังงานที่เก็บไว้ในตัวเหนี่ยวนำคือ ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .
เนื่องจากไม่มีตัวต้านทาน พลังงานไม่ได้สลายไปในวงจร ดังนั้น พลังงานสูงสุดที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุเท่ากับพลังงานสูงสุดที่เก็บไว้ในตัวเหนี่ยวนำ
ในขณะนี้ พลังงานที่เก็บไว้ในสนามแม่เหล็กรอบตัวเหนี่ยวนำจะทำให้เกิดแรงดันไฟฟ้าขึ้นที่ขดลวดตามกฎของฟาราเดย์ของการเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้า ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ) แรงดันไฟฟ้าที่เกิดขึ้นนี้จะทำให้เกิดกระแสไฟฟ้าผ่านตัวเก็บประจุและตัวเก็บประจุจะเริ่มชาร์จใหม่ด้วยแรงดันที่มีขั้วตรงข้าม
กระบวนการชาร์จและปล่อยประจุนี้จะเริ่มขึ้นอีกครั้ง แต่กระแสไฟฟ้าจะไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำในทิศทางตรงข้ามกับที่เคยเป็น
ดังนั้น การชาร์จและปล่อยประจุของวงจร LC สามารถทำได้ในลักษณะวงจรป้อนกลับ และพลังงานจะส่งผ่านระหว่างตัวเก็บประจุและอินดักเตอร์จนกว่าความต้านทานภายในจะทำให้การสั่นสะเทือนหายไป
รูปแสดงคลื่นแรงดันและกระแสในการชาร์จและปล่อยประจุ

คลื่นแรงดันและกระแสในการชาร์จและปล่อยประจุ

การใช้งานวงจร LC

การใช้งานของวงจร LC ประกอบด้วย:
- การใช้งานของวงจร LC ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์หลายประเภท โดยเฉพาะอุปกรณ์วิทยุ เช่น ตัวส่งสัญญาณ ตัวรับสัญญาณวิทยุ ตัวรับสัญญาณทีวี ตัวขยายสัญญาณ ตัวสร้างสัญญาณ ตัวกรองสัญญาณ ตัวปรับความถี่ และตัวผสมสัญญาณ
- วงจร LC ยังใช้สำหรับการสร้างสัญญาณที่มีความถี่เฉพาะ หรือการรับสัญญาณจากสัญญาณที่ซับซ้อนที่มีความถี่เฉพาะ
- จุดประสงค์หลักของวงจร LC คือการทำให้สั่นสะเทือนด้วยการลดการหน่วงให้น้อยที่สุด ดังนั้นความต้านทานจะถูกทำให้น้อยที่สุด
- วงจรเรโซแนนซ์อนุกรมให้การขยายแรงดัน แรงดัน ขยาย
- วงจรเรโซแนนซ์ขนานให้การขยายกระแส กระแส ขยาย
การหน่วงคืออะไร?

การหน่วงคือการลดลงของแอมปลิจูดของการสั่นสะเทือนหรือการเคลื่อนไหวของคลื่นตามเวลา ความสั่นสะเทือนรีโซแนนซ์คือการเพิ่มขึ้นของแอมปลิจูดเมื่อการหน่วงลดลง
คำชี้แจง: ให้ความเคารพต้นฉบับบทความที่ดีมีค่าควรแบ่งปันหากละเมิดลิขสิทธิ์โปรดติดต่อเพื่อลบ