Análise de Circuito LC: Circuitos em Série e Paralelo Equações e Função de Transferência

Electrical4u

Campo: Eletricidade Básica

China

O que é um Circuito LC?

Um circuito LC (também conhecido como filtro LC ou rede LC) é definido como um circuito elétrico composto pelos elementos passivos do circuito, um indutor (L) e um capacitor (C) conectados juntos. Também é chamado de circuito ressonante, circuito tanque ou circuito sintonizado.

Devido à ausência de um resistor na forma ideal do circuito, um circuito LC não consome energia. Isso difere das formas ideais dos circuitos RC, circuitos RL, ou circuitos RLC, que consomem energia devido à presença de um resistor.

No entanto, em um circuito prático, um circuito LC sempre consumirá alguma energia devido à resistência não nula dos componentes e dos fios de conexão.

Por que um Circuito LC é Chamado de Circuito Sintonizado ou Circuito Tanque?

A carga flui para frente e para trás entre as placas do capacitor e através do indutor. A energia oscila entre o capacitor e o indutor até que a resistência interna dos componentes e dos fios de conexão faça as oscilações cessarem.

O funcionamento deste circuito é como uma ação sintonizada, matematicamente conhecida como oscilador harmônico, que é semelhante a um pêndulo balançando para frente e para trás ou água fluindo para frente e para trás em um tanque; por isso, o circuito é chamado de circuito sintonizado ou circuito tanque.

O circuito pode atuar como um ressonador elétrico, armazenando energia que oscila na frequência chamada de frequência ressonante.

Circuito LC em Série

No circuito LC em série, o indutor e o capacitor estão conectados em série, conforme mostrado na figura.

Como no circuito em série a corrente é a mesma em todos os pontos do circuito, a corrente que flui é igual à corrente que passa tanto pelo indutor quanto pelo capacitor.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Agora, a tensão total nos terminais é igual à soma da tensão no capacitor e na indutor.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Ressonância em Circuito LC em Série

Quando a frequência aumenta, a magnitude da reatância indutiva também aumenta.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

e a magnitude da reatância capacitiva diminui.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Agora, em condições de ressonância, a magnitude da reatância indutiva e da reatância capacitiva torna-se igual.

Agora, a impedância do circuito LC série é dada por

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Agora, em condições de ressonância, a magnitude da reatância indutiva e da reatância capacitiva torna-se igual.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(onde, \omega = frequência angular)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Onde, $\omega_0$ é uma frequência angular de ressonância (radianos por segundo).

Agora, a frequência angular de ressonância é $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , então a impedância se torna

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Portanto, na condição de ressonância, quando $\omega = \omega_0$ a impedância elétrica total Z será zero, o que significa que XL e XC se anulam mutuamente. Portanto, a corrente fornecida ao circuito LC série é máxima ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Portanto, o circuito LC série, quando conectado em série com a carga, atuará como um filtro passa-faixa com impedância zero na frequência de ressonância.

- A uma frequência abaixo da frequência de ressonância, isto é, $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Portanto, o circuito é capacitivo.
- A uma frequência acima da frequência de ressonância, isto é, $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Portanto, o circuito é indutivo.
- Na frequência de ressonância, isto é, $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . A corrente é máxima e a impedância é mínima. Neste estado, o circuito pode agir como um circuito aceitor.
Circuito LC Paralelo

No circuito LC paralelo, o indutor e o capacitor estão conectados em paralelo, conforme mostrado na figura.

Circuito LC Paralelo

A tensão em cada terminal de diferentes elementos em um circuito paralelo é a mesma. Portanto, a tensão nos terminais é igual à tensão no indutor e na tensão no capacitor.
   $\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$
Agora, a corrente total que flui através do circuito LC paralelo é igual à soma da corrente que flui através do indutor e da corrente que flui através do capacitor.
   $\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Resonância em Circuito LC Paralelo

Na condição de ressonância, quando a reatância indutiva ( $X_L$ ) é igual à reatância capacitiva ( $X_C$ ), a corrente nas ramificações reativas é igual e oposta. Portanto, elas se anulam mutuamente, resultando em uma corrente mínima no circuito. Neste estado, a impedância total é máxima.
A frequência de ressonância é dada por
   $\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$
Agora, a Impedância do circuito LC paralelo é dada por
   $\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$
Agora, a frequência angular de ressonância é $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , então a impedância se torna
(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$
Assim, na condição de ressonância, quando $\omega = \omega_0$ a impedância elétrica total Z será infinita e a corrente fornecida ao circuito LC paralelo será mínima ( $I = \frac {V} {Z}$ ).
Portanto, o circuito LC paralelo, quando conectado em série com a carga, atuará como um filtro passa-faixa com impedância infinita na frequência de ressonância. O circuito LC paralelo conectado em paralelo com a carga atuará como um filtro rejeita-faixa.
- Em frequências abaixo da frequência de ressonância, ou seja, f<f0, XL >> XC. Portanto, o circuito é indutivo.
- Em frequências acima da frequência de ressonância, ou seja, f>f0, XC >> XL. Portanto, o circuito é capacitivo.
- Na frequência de ressonância, ou seja, f = f0, XL = XC, a corrente é mínima e a impedância é máxima. Neste estado, o circuito pode atuar como um circuito rejeitador.
Equações do Circuito LC

Equação de corrente e tensão
- Na condição inicial:
$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$
$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$
- Durante a oscilação:
   $\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Equação diferencial do circuito LC
   $\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (onde, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedância do circuito LC em série

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$
Impedância do Circuito LC Paralelo

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Tempo de Ajuste

O circuito LC pode atuar como um ressonador elétrico, armazenando energia que oscila entre o campo elétrico e o campo magnético na frequência chamada de frequência de ressonância. Como qualquer sistema oscilatório, ele atinge uma condição de estado estacionário em algum momento, conhecido como tempo de ajuste.
O tempo necessário para que a resposta diminua e se torne estável em seu valor de estado estacionário, permanecendo dentro de +- 2% de seu valor final, é chamado de tempo de ajuste.

Corrente no Circuito LC

Suponha que $I(t)$ seja a corrente instantânea fluindo pelo circuito. A queda de tensão no indutor é expressa em termos de corrente $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ e a queda de tensão no capacitor é $V = \frac {Q}{C}$ , onde Q é a carga armazenada na placa positiva do capacitor.

Um Circuito LC

Agora, de acordo com a lei das tensões de Kirchhoff, a soma das quedas de potencial em várias componentes de um circuito fechado é igual a zero.
(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$
Dividindo a equação acima por L e diferenciando-a em relação a t, obtemos

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (onde, Q = It) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$
Agora, a corrente em uma harmônica simples de oscilações é dada por:
(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$
Onde $I_0 > 0$ e $\phi$ são constantes.
Colocando o valor da equação (5) em (4), obtemos,
   $\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$
   $\begin{align*} -\omega^2 I_0 \sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 \sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} \cos ax = -a\sin ax] \end{align*}$
   $\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$
(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Portanto, da equação acima, podemos dizer que o circuito LC é um circuito oscilante e ele oscila em uma frequência chamada de frequência ressonante.

Tensão no Circuito LC

Agora, de acordo com a equação (3), a tensão induzida em um indutor é menos a tensão através do capacitor.
   $\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$
Substituindo a equação da corrente da equação (5), obtemos
   $\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$
Em outras palavras, a tensão atinge o máximo quando a corrente atinge zero e vice-versa. A amplitude da oscilação de tensão é a da oscilação de corrente multiplicada por $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Função de Transferência do Circuito LC

A função de transferência da tensão de entrada para a tensão no capacitor é
   $\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (onde, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$
De maneira semelhante, a função de transferência da tensão de entrada para a tensão no indutor é
   $\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Resposta Natural do Circuito LC

Vamos supor que o capacitor esteja inicialmente completamente descarregado e o interruptor (K) esteja aberto por um longo período de tempo e seja fechado em t=0.
- Em t=0– o interruptor K está aberto
Esta é uma condição inicial, portanto, podemos escrever,
$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$
$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$
Porque a corrente através do indutor e a tensão sobre o capacitor não podem mudar instantaneamente.
- Para todo t>=0+ o interruptor K está fechado
Agora, a fonte de tensão é introduzida no circuito. Portanto, aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões (KVL) ao circuito, obtemos,
   $\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$
Aqui, a tensão sobre o capacitor é expressa em termos da corrente.
A equação acima é chamada de equação integro-diferencial. Diferenciando ambos os lados da equação acima em relação a t, obtemos,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
A equação (7) indica uma equação diferencial de segunda ordem de um circuito LC.
Substitua $\frac{d^2}{dt^2}$ por s2, obtemos,
(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Agora as raízes da equação acima são
   $\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$
Aqui $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ é a frequência natural de oscilação.

Resposta em Frequência do Circuito LC

Usando o método de impedância: A equação geral para a resposta em frequência do sistema é
   $\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$
- Assuma que a tensão de saída ocorre nos terminais do capacitor, aplique a regra do divisor de tensão ao circuito acima
(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Onde, $Z_C =$ Impedância do capacitor $= \frac{1}{j \omega C}$
$Z_L =$ Impedância do indutor $= {j \omega L}$
Substituindo na equação (9), obtemos
$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (onde, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$
(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
- Suponha que a tensão de saída ocorra através do indutor, aplique a regra do divisor de tensão ao circuito acima
(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Substitua o valor de $Z_C$ e $Z_L$ na equação acima, obtemos
   $\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$
(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
A equação (10) e (12) indica a resposta em frequência de um circuito L-C na forma complexa.

Equação Diferencial do Circuito LC

   $\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$
A equação acima é chamada de equação integro-diferencial. Aqui, a tensão no capacitor é expressa em termos de corrente.
Agora, diferenciando a equação acima em ambos os lados em relação a t, obtemos,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
A equação acima indica a equação diferencial de segunda ordem do circuito LC.
Substitua $\frac{d^2}{dt^2}$ por s2, obtemos,
(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Agora, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ portanto, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , substituindo na equação acima, obtemos,
   $\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Circuito LC Carregando e Descarregando

Em um circuito LC, o indutor e o capacitor são ambos elementos de armazenamento, ou seja, o indutor armazena energia em seu campo magnético (B), dependendo da corrente que passa por ele, e o capacitor armazena energia no campo elétrico (E) entre suas placas condutoras, dependendo da tensão aplicada a ele.
Suponha que, inicialmente, o capacitor contenha uma carga q, e então toda a energia do circuito esteja inicialmente armazenada no campo elétrico do capacitor. A energia armazenada no capacitor é
$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Carga e Descarga de Circuito LC

Agora, se um indutor for conectado a um capacitor carregado, a tensão no capacitor causará a circulação de corrente através do indutor, que produz um campo magnético ao redor do indutor, o capacitor começa a se descarregar e a tensão no capacitor reduz a zero à medida que a carga é usada pela corrente ( $I = \frac{q}{t}$ ).
Neste momento, o capacitor está completamente descarregado e toda a energia está armazenada no campo magnético do indutor. Neste instante, a corrente está em seu valor máximo e a energia armazenada no indutor é dada por ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .
Devido à ausência de um resistor, não há dissipação de energia no circuito. Assim, a energia máxima armazenada no capacitor é igual à energia máxima armazenada no indutor.
Neste momento, a energia armazenada no campo magnético ao redor do indutor induz uma tensão na bobina de acordo com a lei de Faraday da indução eletromagnética ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Esta tensão induzida causa a circulação de corrente através do capacitor e o capacitor começa a se recarregar com uma tensão de polaridade oposta.
Este processo de carga e descarga começará novamente, com a corrente fluindo na direção oposta através do indutor como antes.
Assim, o carregamento e descarregamento do circuito LC pode ocorrer de maneira cíclica e a energia oscila para frente e para trás entre o capacitor e o indutor até que a resistência interna faça as oscilações desaparecerem.
A figura mostra a forma de onda da tensão e da corrente durante o carregamento e descarregamento.

Forma de Onda da Tensão e da Corrente no Carregamento e Descarregamento

Aplicações do Circuito LC

As aplicações dos circuitos LC incluem:
- As aplicações de um circuito LC envolvem principalmente muitos dispositivos eletrônicos, particularmente equipamentos de rádio como transmissores, receptores de rádio e receptores de TV, amplificadores, osciladores, filtros, sintonizadores e misturadores de frequência.
- Os circuitos LC também são usados para gerar sinais em uma frequência específica ou aceitar um sinal de um sinal mais complexo em uma frequência específica.
- O objetivo principal de um circuito LC é geralmente oscilar com amortecimento mínimo, portanto, a resistência é feita tão baixa quanto possível.
- Um circuito em ressonância série fornece tensão amplificada.
- Um circuito em ressonância paralela fornece corrente amplificada.
O que é Amortecimento?

Amortecimento é a diminuição da amplitude de uma oscilação ou movimento de onda ao longo do tempo. A ressonância é o aumento da amplitude à medida que o amortecimento diminui.
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