LC परिपथ विश्लेषण: श्रृंखला र समान्तर परिपथहरू समीकरण र हस्तांतरण फलन

Electrical4u

फील्ड: मूलभूत विद्युत

China

LC सर्किट क्या है?

LC सर्किट (जिसे LC फिल्टर या LC नेटवर्क भी कहते हैं) विद्युत सर्किट के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो सक्रिय और निष्क्रिय परिपथ तत्वों एक इंडक्टर (L) और एक कैपासिटर (C) से बना होता है। इसे रिझोनेंट सर्किट, टैंक सर्किट, या ट्यून्ड सर्किट भी कहते हैं।

आदर्श रूप में सर्किट में रिसिस्टर की अनुपस्थिति के कारण, LC सर्किट कोई ऊर्जा खर्च नहीं करता है। यह RC सर्किट, RL सर्किट, या RLC सर्किट के आदर्श रूपों से अलग है, जो रिसिस्टर की उपस्थिति के कारण ऊर्जा खर्च करते हैं।

हालाँकि, व्यावहारिक सर्किट में, LC सर्किट घटकों और कनेक्टिंग वायरों के गैर-शून्य प्रतिरोध के कारण कुछ ऊर्जा खर्च करेगा।

किन एलसी सर्किटलाई ट्यून्ड सर्किट वा टंक सर्किट भनिन्छ?

चार्ज को फ्लो बेटाउँदै चल्दै केपेसिटरको प्लेटहरू र इंडक्टर मार्फत गर्दछ। ऊर्जा चार्ज र इंडक्टर बीच दोहोरी हुन्छ जबसम्म घटकहरू र जोड्ने तारहरूको आन्तरिक प्रतिरोध दोहोरीलाई रोक्दै नगर्दैन।

यो सर्किटको कार्य एक ट्यून्ड कार्य जस्तै छ, गणितीय रूपमा एक हार्मोनिक ऑसिलेटर भनिन्छ, जसको समान एक पेन्डुलम अघि पछि झुक्दै वा टंकमा जल अघि पछि बह्ने जस्तै हुन्छ; यसकारण यो सर्किटलाई ट्यून्ड सर्किट वा टंक सर्किट भनिन्छ।

यो सर्किट एक विद्युत रेझोनेटरको रूपमा काम गर्न सक्छ र ऊर्जा रेझोनेट फ्रिक्वेन्सी भनिने फ्रिक्वेन्सीमा दोहोरी हुन्छ। फ्रिक्वेन्सी भनिने फ्रिक्वेन्सीमा दोहोरी हुन्छ।

श्रेणीको एलसी सर्किट

श्रेणीको एलसी सर्किटमा, इंडक्टर र केपेसिटर दुवै श्रेणीमा जोडिएको छ जसको चित्र दिएको छ।

श्रेणीको सर्किटमा धेरै थर एउटै फ्लो हुन्छ भने धेरै थर इंडक्टर र केपेसिटर दुवै मार्फत फ्लो हुन्छ।

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

अब टर्मिनल के बीच कुल वोल्टेज कापसिटर और इंडक्टर के द्वारा उत्पन्न वोल्टेज के योग के बराबर है।

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

श्रृंखला LC परिपथ में अनुनाद

जब आवृत्ति बढ़ती है तो इंडक्टिव रिएक्टेंस का परिमाण भी बढ़ता है।

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

और कैपेसिटिव रिएक्टेंस का परिमाण घटता है।

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

अब रिझोनेन्स स्थिति मा इनडक्टिभ रिअक्टन्स र कैपासिटिभ रिअक्टन्स दुवैको परिमाण बराबर हुन्छ।

अब आयम्पिडन्स श्रेणीको LC सर्किटको ले दिइएको छ:

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

यहाँ, $\omega_0$ योग्य कोणीय आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकेण्ड) है।

अब योग्य कोणीय आवृत्ति है $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , तब प्रतिबाधा बन जाती है

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

इसलिए, योग्य स्थिति में जब $\omega = \omega_0$ कुल विद्युत प्रतिबाधा Z शून्य होगी, अर्थात XL और XC एक दूसरे को रद्द कर देंगे। इसलिए, श्रृंखला LC परिपथ में आपूर्ति की गई धारा अधिकतम होगी ( $I = \frac {V} {Z}$ )।

इसलिए, श्रृंखला LC परिपथ, जब लोड के साथ श्रृंखला में जोड़ा जाता है, तो यह एक बैंड-पास फिल्टर के रूप में कार्य करेगा, जिसकी योग्य आवृत्ति पर प्रतिबाधा शून्य होगी।

- निम्न अनुनादी आवृत्ति अर्थात् $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . यसैले परिपथ क्षमतात्मक हुन्छ।
- उच्च अनुनादी आवृत्ति अर्थात् $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . यसैले परिपथ संधारित्रीय हुन्छ।
- अनुनादी आवृत्ति अर्थात् $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . विद्युत धारा अधिकतम र प्रतिबाधा न्यूनतम हुन्छ। यस स्थितिमा, परिपथ एक स्वीकरण परिपथको रूपमा काम गर्न सक्छ।
समान्तर LC परिपथ

समान्तर LC परिपथमा, इन्डक्टर र क्षमता दुवै समान्तर जोडिएको छन् जसको चित्र दिएको छ।

समान्तर LC परिपथ

समानांतर परिपथको विभिन्न तत्वहरूको प्रत्येक टर्मिनलमा वोल्टेज समान हुन्छ। अतएव टर्मिनलबीचको वोल्टेज इंडक्टरको वोल्टेज र कैपसिटरको वोल्टेजको बराबर हुन्छ।
   $\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$
अब समानांतर LC परिपथमा प्रवाहित हुने कुल धारा इंडक्टरद्वारा प्रवाहित हुने धारा र कैपसिटरद्वारा प्रवाहित हुने धाराको योगफलको बराबर हुन्छ।
   $\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

समानांतर LC परिपथमा रेझोनेन्स

रेझोनेन्स स्थितिमा जब इंडक्टिव रिएक्टेन्स ( $X_L$ ) कैपेसिटिव रिएक्टेन्स ( $X_C$ )को बराबर हुन्छ, त्यसपछि रिएक्टिभ शाखाको धारा बराबर र विपरीत हुन्छ। अतएव, उनीहरू एउटै रूपमा रद्द हुन्छन् र परिपथमा न्यूनतम धारा प्रवाहित हुन्छ। यस स्थितिमा कुल इम्पिडेन्स महत्त्वाकांक्षी हुन्छ।
रेझोनेन्स फ्रिक्वेन्सी यसरी दिइन्छ
   $\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$
अब समान्तर LC परिपथको इम्पीडन्स यस प्रकार दिइएको छ
   $\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$
अब कोणीय रेजोनेन्ट आवृत्ति हो $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , तब इम्पीडन्स हुन्छ
(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$
यसैले रिझोनेन्ट स्थितिमा जब $\omega = \omega_0$ कुल विद्युत प्रतिबाधा Z अनन्त हुनेछ र पराली LC सर्किटमा आपूर्तिको विद्युत धारा न्यूनतम हुनेछ ( $I = \frac {V} {Z}$ )।
त्यसैले पराली LC सर्किट, जब लोडसँग श्रेणीको रूपमा जोडिएको भएको हुन्छ त्यसले रिझोनेन्ट फ्रिक्वेन्सीमा अनन्त प्रतिबाधा भएको बँड-स्टॉप फिल्टरको रूपमा काम गर्नेछ। पराली LC सर्किट जब लोडसँग परालीको रूपमा जोडिएको भएको हुन्छ त्यसले बँड-पास फिल्टरको रूपमा काम गर्नेछ।
- रिझोनेन्ट फ्रिक्वेन्सी भन्दा निम्न फ्रिक्वेन्सीमा अर्थात् f<f0, XL >> XC। त्यसैले सर्किट इन्डक्टिभ हुन्छ।
- रिझोनेन्ट फ्रिक्वेन्सी भन्दा उच्च फ्रिक्वेन्सीमा अर्थात् f>f0, XC >> XL। त्यसैले सर्किट कैपेसिटिभ हुन्छ।
- रिझोनेन्ट फ्रिक्वेन्सीमा अर्थात् f = f0, XL = XC, धारा न्यूनतम र प्रतिबाधा अधिकतम हुन्छ। यस स्थितिमा, सर्किट रिजेक्टर सर्किटको रूपमा काम गर्न सक्छ।
LC सर्किट समीकरणहरू

धारा र वोल्टेज समीकरणहरू
- आरम्भिक स्थितिमा:
$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$
$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$
- तरंगन गर्दा:
   $\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

LC सर्किट डिफरेन्सियल समीकरण
   $\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

श्रेणीको LC परिपथको इम्पिडन्स

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$
समान्तर LC सर्किटको प्रतिबाधा

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

सेटिङ टाइम

LC सर्किट विद्युत रेजोनेटरको रूपमा काम गर्न सक्छ र शक्ति विद्युत क्षेत्र र चुंबकीय क्षेत्र बीच रिझोनेन्ट आवृत्तिमा दोलन गर्छ। कुनै दोलनीय प्रणाली एउटा स्थिरावस्था अवस्थामा पुग्छ, जसलाई सेटिङ टाइम भनिन्छ।
प्रतिक्रिया घट्ने र स्थिरावस्था मानमा स्थिर हुने लागि आवश्यक समय र यसको अंतिम मानको +- 2% भित्र बाँकी समय रहने लागि सेटिङ टाइम भनिन्छ।

LC सर्किटको विद्युत धारा

यदि $I(t)$ सर्किटमा फ्लो गर्ने तात्कालिक धारा हो। इन्डक्टरको वोल्टेज ड्राप धारा $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ र टेन्सरको वोल्टेज ड्राप $V = \frac {Q}{C}$ , जहाँ Q क्षेत्रफलको धनात्मक तरफ राखिएको चार्ज हो।

एन एलसी सर्किट

अब किर्चहोफ के वोल्टेज नियमानुसार, बंद लूप के विभिन्न घटकों में संभावित गिरावट का योग शून्य होता है।
(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$
उपरोक्त समीकरण को L से विभाजित करके और t के संबंध में अवकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (४) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$
अब साधारण हर्मोनिक दोलनमा वर्तमानको रूप यस प्रकार दिइन्छ:
(५) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$
यहाँ $I_0 > 0$ र $\phi$ स्थिरांक हुन्।
समीकरण (५) को मान समीकरण (४) मा राख्दा हामीले पाउँछौं,
   $\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$
   $\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$
   $\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$
(६) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

यसरी उपर्युक्त समीकरणबाट हामी भन्न सक्छौं कि LC परिपथ एउटा दोलाहरूको परिपथ हो र यो एउटा गैर्हेलिक आवृत्तिमा दोलाहरू।

LC परिपथ वोल्टेज

अब (३) समीकरण अनुसार, एक इन्डक्टरमा उत्पन्न वोल्टेज एक कैपासिटरको वोल्टेजको ऋणात्मक हो।
   $\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$
समीकरण (५) बाट विद्युत प्रवाहको समीकरण राख्ने गर्दा हामीले पाउँछौं
   $\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$
यानी जब विद्युत प्रवाह शून्य हुन्छ त्यसपछि वोल्टेज अधिकतम हुन्छ र विपरीत। वोल्टेज दोलनको आयाम विद्युत प्रवाह दोलनको आयामलाई $\sqrt\frac{L}{C}$ ले गुणिएको हुन्छ।

LC सर्किटको ट्रान्सफर फंक्शन

इनपुट वोल्टेज बाट कैपासिटर बीचको वोल्टेजमा ट्रान्सफर फंक्शन छ
   $\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$
समान रूप मा, इनपुट वोल्टेजबाट इन्डक्टरको वोल्टेज बीचको हस्तान्तरण फंक्सन
   $\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

LC सर्किटको प्राकृतिक प्रतिक्रिया

यहाँ गरौं कि कैपसिटर प्रारम्भिक रूपमा पूर्ण रूपमा डिस्चार्ज गरिएको छ र स्विच (K) लामो समयसम्म खुला राखिएको छ र यो t=0 मा बन्द गरिएको छ।
- t=0 मा - स्विच K खुला छ
यो एउटा प्रारंभिक स्थिति हो भने हामी लेख्न सक्छौं,
$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$
$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$
किनभने इन्डक्टरद्वारा पार गरिरहेको विद्युत धारा र कैपसिटरमा उत्पन्न भएको वोल्टेज तत्काल मा परिवर्तन गर्न सकिँदैन।
- सबै t>=0+ को लागि स्विच K बन्द गरिन्छ
अब वोल्टेज स्रोत अवक्रममा परिचालित गरिएको छ। त्यसैले अवक्रममा KVL लागू गर्दा हामीले पाउँछौं,
   $\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$
यहाँ कैपसिटरमा उत्पन्न भएको वोल्टेज धारा द्वारा व्यक्त गरिएको छ।
यो समीकरणलाई इन्टेग्रो-डिफरेन्सियल समीकरण भनिन्छ। यस समीकरणको दोनो तरफ t को सन्दर्भमा विभेदन गर्दा हामीले पाउँछौं,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(७) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
समीकरण (७) एक LC परिपथको द्वितीय क्रम अवकल समीकरण दर्शाउँछ।
यहाँ $\frac{d^2}{dt^2}$ को साथ s² रूपमा परिवर्तन गरेर हामी प्राप्त गर्छौं,
(८) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
अब यस समीकरणको मूलहरू हुन्
   $\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$
यहाँ, $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति है।

LC सर्किट फ्रिक्वेन्सी प्रतिक्रिया

आंतरिक प्रतिबाधा विधि का उपयोग करके: फ्रिक्वेन्सी प्रतिक्रिया प्रणाली के लिए सामान्य समीकरण है
   $\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$
- मान लीजिए कि आउटपुट वोल्टेज कैपेसिटर टर्मिनल पर होता है, ऊपर दिए गए सर्किट पर विभव विभाजक नियम लागू करें
(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
यहाँ, $Z_C =$ क्षेत्रकालिक प्रतिरोध $= \frac{1}{j \omega C}$
$Z_L =$ संधारित्रीय प्रतिरोध $= {j \omega L}$
समीकरण (9) मा यसको प्रतिस्थापन गर्दा हामीले पाउँछौं
$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$
(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
- माना आउटपुट वोल्टेज इनडक्टर पर उत्पन्न हुन्छ, उपरोक्त सर्किटमा भार साझाको नियम लागू गर्नुहोस्
(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
उपरोक्त समीकरणमा $Z_C$ र $Z_L$ को मान राख्दा, हामी प्राप्त गर्छौं
   $\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$
(१२) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
समीकरण (१०) र (१२) एल-सी सर्किटको आवृत्ति प्रतिक्रियालाई जटिल रूपमा देखाउँछ।

एल-सी सर्किटको अंतरगत समीकरण

   $\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$
यो समीकरण इन्टेग्रो-डिफरेन्सियल समीकरण भनिन्छ। यहाँ कैपेसिटरमा वोल्टेज वर्तमानद्वारा व्यक्त गरिएको छ।
अब, यस समीकरणलाई t विषयमा दुई तरफ विभेदन गर्दा हामीले पाउँछौं,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(१३) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
यो समीकरण एलसी परिपथको द्वितीय क्रम अवकल समीकरण दर्शाउँछ।
यसमा $\frac{d^2}{dt^2}$ लाई s² ले बदल्नुहोस्, हामी पाउँछौं,
(१४) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
अब, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ त्यसैले, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , यो समीकरणमा राख्दा हामी पाउँछौं,
   $\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

LC सर्किट चार्जिङ र डिस्चार्जिङ

एउटा LC सर्किटमा इन्डक्टर र कैपेसिटर दुवै ही भण्डारण तत्वहरू हुन् यानी इन्डक्टरले आफ्नो चुंबकीय क्षेत्र (B)मा ऊर्जा भण्डार गर्छ, यसको माध्यमद्वारा बाट फ्लाउ गर्ने धारामा निर्भर रहने र कैपेसिटरले आफ्नो चालक प्लेटहरू बीचको विद्युत क्षेत्र (E)मा ऊर्जा भण्डार गर्छ, यसको माध्यमद्वारा बाट फ्लाउ गर्ने वोल्टेजमा निर्भर रहने।
मानौं शुरुआतमा, कैपेसिटरमा एउटा चार्ज q छ, र त्यसपछि सर्किटको सबै ऊर्जा शुरुआतमा कैपेसिटरको विद्युत क्षेत्रमा भण्डार गरिएको छ। कैपेसिटरमा भण्डार गरिएको ऊर्जा छ
$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

LC सर्किटको चार्ज र डिस्चार्ज

अब यदि एक इनडक्टर एक चार्ज्ड कैपसिटरमा जोडिन्छ, त्यस पछि कैपसिटरमा भएको वोल्टेजले इनडक्टर मार्फत धारा बहाउँदै छ, जसले इनडक्टरको आफ्नो आसपास चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न गर्छ, कैपसिटर डिस्चार्ज हुन्छ र कैपसिटरमा भएको वोल्टेज धारा बहाउँदा शून्यमा पुग्छ किनभने चार्ज धारा बहाउँदा खर्च हुन्छ ( $I = \frac{q}{t}$ )।
अब कैपसिटर पूर्ण रूपमा डिस्चार्ज भएको छ र सबै ऊर्जा इनडक्टरको चुंबकीय क्षेत्रमा संचित छ। यो दिनमा, धारा तिर्नामा अधिकतम मानमा छ र इनडक्टरमा संचित ऊर्जा ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ दिइन्छ।
रिसिस्टरको अभावले, सर्किटमा कुनै ऊर्जा लुट्नुहुन्दैन। त्यसैले, कैपसिटरमा संचित अधिकतम ऊर्जा इनडक्टरमा संचित अधिकतम ऊर्जासँग बराबर छ।
यो दिनमा, इनडक्टरको आफ्नो आसपासको चुंबकीय क्षेत्रमा संचित ऊर्जाले फाराडे विद्युत चुंबकीय प्रेरण नियम अनुसार कोइलमा वोल्टेज प्रेरित गर्छ (फाराडे विद्युत चुंबकीय प्रेरण नियम ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ )। यो प्रेरित वोल्टेजले कैपसिटरमा धारा बहाउँदै छ र कैपसिटर प्रतिकूल ध्रुवता भएको वोल्टेजसँग फेरि चार्ज हुन्छ।
यो चार्ज र डिस्चार्ज प्रक्रिया फेरि सुरु हुनेछ, जसमा इनडक्टरमा धारा पहिले जस्तै विपरीत दिशामा बह्नेछ।
त्यसैले एलसी सर्किटको चार्जिङ र डिस्चार्जिङ चक्रवातिक रूपमा हुन सक्छ र ऊर्जा क्षेपण र इंडक्टर बीच आगाउँदै गइँछ जबसम्म अन्तर्गत प्रतिरोध ले दोलनहरूलाई रोक्न न पार्दछ।
चित्रले चार्जिङ र डिस्चार्जिङ वोल्टेज र विद्युत धारा तरंग रूपको दर्शन गर्दछ।

चार्जिङ र डिस्चार्जिङ वोल्टेज र विद्युत धारा तरंग रूप

एलसी सर्किटको प्रयोग

एलसी सर्किटका प्रयोगहरू यस्ता छन्:
- एलसी सर्किटका प्रयोगहरू मुख्यतया धेरै इलेक्ट्रोनिक उपकरणहरूमा, विशेष गरी रेडियो उपकरणहरूजस्तो ट्रान्समिटर, रेडियो रिसिभर, टेलिभिजन रिसिभर, अम्प्लिफायर, ऑसिलेटर, फिल्टर, ट्यूनर, र फ्रिक्वेन्सी मिक्सरहरूमा देखिन्छ।
- एलसी सर्किटले एक विशिष्ट फ्रिक्वेन्सीमा सिग्नल उत्पादन गर्न वा एक जटिल सिग्नलबाट एक विशिष्ट फ्रिक्वेन्सीमा सिग्नल स्वीकार गर्न पनि प्रयोग गरिन्छ।
- एलसी सर्किटको मुख्य उद्देश्य न्यूनतम डैम्पिङसँग दोलन गर्न हुन्छ, त्यसैले प्रतिरोध जितना न्यून गरिन्छ।
- श्रेणीको रेझोनेन्स सर्किटले वोल्टेज माग्निफिकेसन प्रदान गर्छ।
- समान्तर रेझोनेन्स सर्किटले धारा माग्निफिकेसन प्रदान गर्छ।
डैम्पिङ के हो?

डैम्पिङ एउटा दोलन वा तरंग गतिको आयाम लामो समयमा घटिन्छ। रेझोनेन्स डैम्पिङ घटिदा आयाम बढ्न हुन्छ।
थप: मूल को सम्मान गर्नुहोस्, राम्रो लेखहरू शेयर गर्ने लायक हुन्छन्, यदि उल्लङ्घन छ भने कृपया हटाउन सम्पर्क गर्नुहोस्।