Analisi del circuito LC: Circuiti in serie e in parallelo, equazioni e funzione di trasferimento

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Campo: Elettricità di base

China

Cos'è un circuito LC?

Un circuito LC (noto anche come filtro LC o rete LC) è definito come un circuito elettrico composto da elementi passivi di circuito, un induttore (L) e un condensatore (C) collegati insieme. È anche chiamato circuito risonante, circuito a serbatoio o circuito sintonizzato.

A causa dell'assenza di un resistore nella forma ideale del circuito, un circuito LC non consuma energia. Questo è diverso dalle forme ideali dei circuiti RC, circuiti RL, o circuiti RLC, che consumano energia a causa della presenza di un resistore.

Tuttavia, in un circuito pratico, un circuito LC consumerà sempre un po' di energia a causa della resistenza non nulla dei componenti e dei cavi di connessione.

Perché un circuito LC viene chiamato circuito sintonizzato o circuito serbatoio?

La carica fluisce avanti e indietro tra le armature del condensatore e attraverso l'induttore. L'energia oscilla tra il condensatore e l'induttore fino a quando la resistenza interna dei componenti e dei cavi di collegamento fa cessare le oscillazioni.

L'azione di questo circuito è simile a un'azione sintonizzata, matematicamente nota come oscillatore armonico, che è simile al pendolo che oscilla avanti e indietro o all'acqua che fluisce avanti e indietro in un serbatoio; per questo motivo, il circuito viene chiamato circuito sintonizzato o circuito serbatoio.

Il circuito può agire come un risonatore elettrico e immagazzinare energia oscillante alla frequenza chiamata frequenza di risonanza.

Circuito LC in serie

Nel circuito LC in serie, l'induttore e il condensatore sono entrambi connessi in serie, come mostrato nella figura.

Poiché in un circuito in serie la corrente è la stessa ovunque nel circuito, il flusso di corrente è uguale alla corrente che passa sia attraverso l'induttore che attraverso il condensatore.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Ora la tensione totale ai terminali è uguale alla somma della tensione sul condensatore e della tensione sull'induttore.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Risonanza nel circuito LC in serie

Quando la frequenza aumenta, l'entità della reattanza induttiva aumenta anche.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

e l'entità della reattanza capacitiva diminuisce.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Ora, in condizioni di risonanza, la magnitudine della reattanza induttiva e della reattanza capacitiva diventa uguale.

Ora, l'impedenza del circuito LC in serie è data da

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Ora, in condizioni di risonanza, la magnitudine della reattanza induttiva e della reattanza capacitiva diventa uguale.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Dove, $\omega_0$ è una frequenza angolare di risonanza (radianti al secondo).

Ora la frequenza angolare di risonanza è $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , allora l'impedenza diventa

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Pertanto, in condizioni di risonanza quando $\omega = \omega_0$ l'impedenza elettrica totale Z sarà zero, il che significa che XL e XC si annullano a vicenda. Di conseguenza, la corrente fornita al circuito LC in serie è massima ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Quindi, il circuito LC in serie, quando connesso in serie con il carico, agirà come un filtro passa-banda avente impedenza zero alla frequenza di risonanza.

A frequenza inferiore alla frequenza di risonanza cioè $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Pertanto, il circuito è capacitivo.
A frequenza superiore alla frequenza di risonanza cioè $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Pertanto, il circuito è induttivo.
A frequenza di risonanza cioè $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . la corrente è massima e l'impedenza è minima. In questo stato, il circuito può agire come un circuito accettore.

Circuito LC parallelo

Nel circuito LC parallelo, l'induttore e il condensatore sono connessi in parallelo, come mostrato nella figura.

La tensione tra ciascun terminale di diversi elementi in un circuito parallelo è la stessa. Pertanto, la tensione ai terminali è uguale alla tensione sull'induttore e alla tensione sul condensatore.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Ora, la corrente totale che fluisce attraverso il circuito LC parallelo è uguale alla somma della corrente che fluisce attraverso l'induttore e la corrente che fluisce attraverso il condensatore.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Risonanza nel circuito LC parallelo

Nelle condizioni di risonanza, quando la reattività induttiva ( $X_L$ ) è uguale alla reattività capacitiva ( $X_C$ ), la corrente nei rami reattivi è uguale e opposta. Pertanto, si annullano a vicenda dando una corrente minima nel circuito. In questo stato, l'impedenza totale è massima.

La frequenza di risonanza è data da

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Ora l'impedenza del circuito LC parallelo è data da

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Ora la frequenza angolare di risonanza è $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , allora l'impedenza diventa

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Quindi, in condizioni di risonanza quando $\omega = \omega_0$ l'impedenza elettrica totale Z sarà infinita e la corrente fornita al circuito LC parallelo sarà minima ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Pertanto, il circuito LC parallelo, quando connesso in serie con il carico, agirà come un filtro a banda eliminata con impedenza infinita alla frequenza di risonanza. Il circuito LC parallelo connesso in parallelo con il carico agirà come un filtro a banda passante.

A una frequenza inferiore alla frequenza di risonanza, cioè f<f0, XL >> XC. Pertanto, il circuito è induttivo.
A una frequenza superiore alla frequenza di risonanza, cioè f>f0, XC >> XL. Pertanto, il circuito è capacitivo.
Alla frequenza di risonanza, cioè f = f0, XL = XC, la corrente è minima e l'impedenza è massima. In questo stato, il circuito può agire come un circuito di rigetto.

Equazioni del circuito LC

Equazione di corrente e tensione

Nelle condizioni iniziali:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

Durante l'oscillazione:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Equazione differenziale del circuito LC

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedenza del circuito LC in serie

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Impedenza del circuito LC parallelo

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Tempo di stabilizzazione

Il circuito LC può agire come un risonatore elettrico e l'energia viene oscillata tra il campo elettrico e il campo magnetico alla frequenza chiamata frequenza di risonanza. Poiché qualsiasi sistema oscillatorio raggiunge una condizione di stato stazionario in un certo momento, noto come tempo di stabilizzazione.

Il tempo necessario affinché la risposta diminuisca e diventi stabile al suo valore di stato stazionario e rimanga entro ±2% del suo valore finale è chiamato tempo di stabilizzazione.

Corrente nel circuito LC

Si assuma che $I(t)$ sia la corrente istantanea che scorre attraverso il circuito. La caduta di tensione sull'induttore è espressa in termini di corrente $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ e la caduta di tensione sul condensatore è $V = \frac {Q}{C}$ , dove Q è la carica accumulata sulla placca positiva del condensatore.

Secondo la legge di Kirchhoff dei voltaggi, la somma delle cadute di potenziale attraverso i vari componenti di un circuito chiuso è uguale a zero.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Dividendo l'equazione sopra per L e differenziandola rispetto a t, otteniamo

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Ora la corrente in un'oscillazione armonica semplice è data da:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Dove $I_0 > 0$ e $\phi$ sono costanti.

Sostituendo il valore dell'equazione (5) in (4) otteniamo,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Pertanto, dall'equazione sopra riportata, possiamo dire che il circuito LC è un circuito oscillante e oscilla ad una frequenza chiamata frequenza di risonanza.

Tensione del circuito LC

Ora, in base all'equazione (3), la tensione indotta sull'induttore è uguale alla tensione negativa sul condensatore.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Sostituendo l'equazione della corrente dall'equazione (5), otteniamo

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

In altre parole, la tensione raggiunge il massimo quando la corrente raggiunge zero e viceversa. L'ampiezza dell'oscillazione di tensione è quella dell'oscillazione di corrente moltiplicata per $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Funzione di trasferimento del circuito LC

La funzione di trasferimento dalla tensione d'ingresso alla tensione sul condensatore è

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Analogamente, la funzione di trasferimento dalla tensione di ingresso alla tensione sul condensatore è

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Risposta naturale del circuito LC

Supponiamo che il condensatore sia inizialmente completamente scarico e l'interruttore (K) sia tenuto aperto per un tempo molto lungo e venga chiuso a t=0.

A t=0– l'interruttore K è aperto

Questa è una condizione iniziale, quindi possiamo scrivere,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Poiché la corrente attraverso l'induttore e la tensione sul condensatore non possono cambiare istantaneamente.

Per tutti i t>=0+ lo interruttore K è chiuso

Ora viene introdotto la sorgente di tensione nel circuito. Quindi applicando la legge dei voltaggi (KVL) al circuito, otteniamo,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Qui la tensione sul condensatore è espressa in termini di corrente.

L'equazione sopra è chiamata equazione integro-differenziale. Differenziando entrambi i lati dell'equazione rispetto a t, otteniamo,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

L'equazione (7) indica un'equazione differenziale del secondo ordine di un circuito LC.

Sostituendo $\frac{d^2}{dt^2}$ con s2, otteniamo,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Ora le radici dell'equazione sopra sono

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Qui, $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ è la frequenza naturale di oscillazione.

Risposta in frequenza del circuito LC

Utilizzando il metodo dell'impedenza: l'equazione generale per la risposta in frequenza del sistema è

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Si assume che la tensione di uscita si verifichi ai terminali del condensatore, applicare la regola del divisore di tensione al circuito sopra indicato

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Dove, $Z_C =$ impedenza del condensatore $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ impedenza dell'induttore $= {j \omega L}$

Sostituendolo nell'equazione (9), otteniamo

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Si ipotizzi che la tensione di uscita si verifichi attraverso l'induttore, applicare la regola del divisore di tensione al circuito sopra

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Sostituire il valore di $Z_C$ e $Z_L$ nell'equazione sopra, otteniamo

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Le equazioni (10) e (12) indicano la risposta in frequenza di un circuito L-C in forma complessa.

Equazione differenziale del circuito LC

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

L'equazione sopra è chiamata equazione integro-differenziale. Qui la tensione sul condensatore è espressa in termini di corrente.

Ora, derivando l'equazione sopra su entrambi i lati rispetto a t, otteniamo,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

L'equazione sopra indica l'equazione differenziale del secondo ordine del circuito LC.

Sostituisci $\frac{d^2}{dt^2}$ con s2, otteniamo,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Ora, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ quindi, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , sostituendolo nell'equazione sopra otteniamo,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Carica e scarica del circuito LC

In un circuito LC, l'induttore e il condensatore sono entrambi elementi di stoccaggio, ovvero l'induttore immagazzina energia nel suo campo magnetico (B), in funzione della corrente che lo attraversa, mentre il condensatore immagazzina energia nel campo elettrico (E) tra le sue placche conduttrici, in funzione della tensione applicata.

Si supponga che inizialmente il condensatore contenga una carica q, e che quindi tutta l'energia del circuito sia inizialmente immagazzinata nel campo elettrico del condensatore. L'energia immagazzinata nel condensatore è

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Ora, se un induttore è collegato a un condensatore caricato, la tensione sul condensatore provocherà il flusso di corrente attraverso l'induttore, che produce un campo magnetico intorno all'induttore, il condensatore inizia a scaricarsi e la tensione sul condensatore si riduce a zero man mano che la carica viene utilizzata dal flusso di corrente ( $I = \frac{q}{t}$ ).

A questo punto, il condensatore è completamente scaricato e tutta l'energia è immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore. In questo istante, la corrente è al suo valore massimo e l'energia immagazzinata nell'induttore è data da ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Poiché non è presente un resistore, non c'è dissipazione di energia nel circuito. Pertanto, l'energia massima immagazzinata nel condensatore è uguale all'energia massima immagazzinata nell'induttore.

In questo istante, l'energia immagazzinata nel campo magnetico intorno all'induttore induce una tensione sulla bobina secondo la legge di Faraday dell'induzione elettromagnetica ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Questa tensione indotta provoca un flusso di corrente attraverso il condensatore e il condensatore inizia a ricaricarsi con una tensione di polarità opposta.

Questo processo di carica e scarica inizierà nuovamente, con la corrente che scorre in direzione opposta attraverso l'induttore come prima.

In questo modo, la carica e lo scarico del circuito LC possono avvenire in modo ciclico e l'energia oscilla avanti e indietro tra il condensatore e l'induttore fino a quando la resistenza interna non fa cessare le oscillazioni.

La figura mostra la forma d'onda della tensione e della corrente durante la carica e lo scarico.

Forma d'onda di carica e scarica del circuito LC — Forma d'onda di carica e scarica della tensione e della corrente

Applicazioni dei circuiti LC

Le applicazioni dei circuiti LC includono:

Le applicazioni di un circuito LC riguardano principalmente molti dispositivi elettronici, in particolare apparecchiature radio come trasmettitori, ricevitori radio, ricevitori TV, amplificatori, oscillatori, filtri, sintonizzatori e miscelatori di frequenza.
I circuiti LC vengono utilizzati anche per generare segnali a una determinata frequenza o per accettare un segnale da un segnale più complesso a una determinata frequenza.
Lo scopo principale di un circuito LC è solitamente oscillare con un'amortizzazione minima, quindi la resistenza viene resa il più bassa possibile.
Un circuito di risonanza in serie fornisce amplificazione della tensione.
Un circuito di risonanza in parallelo fornisce amplificazione della corrente.

Cos'è l'amortizzazione?

L'amortizzazione è la diminuzione dell'ampiezza di un'oscillazione o di un'onda nel tempo. La risonanza è l'aumento dell'ampiezza man mano che l'amortizzazione diminuisce.

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Teoria dei circuiti

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