LC-kredsløbsanalyse: Serie- og parallelkredsløb, ligninger og overføringsfunktion

Electrical4u

Felt: Grundlæggende elektricitet

China

Hvad er et LC-kredsløb?

Et LC-kredsløb (også kendt som en LC-filter eller LC-netværk) defineres som et elektrisk kredsløb bestående af de passive kredsløbskomponenter en induktor (L) og en kapacitator (C) forbundet sammen. Det kaldes også for et resonanskredsløb, tankkredsløb eller justeret kredsløb.

På grund af fraværet af en modstand i den ideelle form af kredsløbet, forbruger et LC-kredsløb ingen energi. Dette er i modsætning til de ideelle former af RC-kredsløb, RL-kredsløb, eller RLC-kredsløb, som forbruger energi på grund af tilstedeværelsen af en modstand.

Det skal dog bemærkes, at i et praktisk kredsløb vil et LC-kredsløb altid forbruge nogen energi på grund af de ikke-nul resistancer hos komponenterne og forbinderledningen.

Hvorfor kaldes en LC-kredsløb for en justeret kredsløb eller tankkredsløb?

Ladningen flyder frem og tilbage mellem kondensatorpladerne og gennem induktoren. Energi oscillerer mellem kondensator og induktor, indtil komponenternes interne modstand og forbinderledninger gør, at oscillationerne dør ud.

Kredsløbets handling er som en justeret handling, matematisk kendt som en harmonisk oscillator, hvilket ligner et pendul, der svinger frem og tilbage, eller vand, der flyder frem og tilbage i en tank; af denne grund kaldes kredsløbet for et justeret kredsløb eller tankkredsløb.

Kredsløbet kan fungere som en elektrisk resonator og lagre energi, der oscillerer på frekvensen, der kaldes resonanfrekvensen.

Serie LC-kredsløb

I serie LC-kredsløbet er induktoren og kondensatoren forbundet i serie, som vist på figuren.

Da strømmen i et seriekredsløb er den samme overalt i kredsløbet, er strømstyrken gennem både induktoren og kondensatoren lig med strømstyrken i kredsløbet.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Nu er den samlede spænding over terminalerne lig med summen af spændingen over kondensator og spændingen over induktoren.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Resonans i serie LC-kredsløb

Når frekvensen stiger, stiger også størrelsen på induktiv reaktans.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

og størrelsen på kapacitiv reaktans falder.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Når der opstår resonans, bliver størrelsen af både induktiv reaktance og kapacitiv reaktance ens.

Nu er impedancen for den serie LC-kreds givet ved

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Når der opstår resonans, bliver størrelsen af både induktiv reaktance og kapacitiv reaktance ens.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = vinkelhastighed)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Hvor $\omega_0$ er resonansvinkelfrekvensen (i radianer per sekund).

Nu er den vinkelrettede resonansfrekvensen $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , og impedancen bliver

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Dermed, ved resonansbetingelser, når $\omega = \omega_0$ den samlede elektriske impedans Z vil være nul, hvilket betyder, at XL og XC udligner hinanden. Derfor er strømmen, der leveres til en serie LC-kredsløj, maksimal ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Derfor vil en serie LC-kredsløj, når den er forbundet i serie med lasten, fungere som en bandpassfilter med nul impedans ved resonansfrekvensen.

- Når frekvensen er under resonnansfrekvensen dvs. $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Derfor er kredsløbet kapacitivt.
- Når frekvensen er over resonnansfrekvensen dvs. $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Derfor er kredsløbet induktivt.
- Ved resonnansfrekvensen dvs. $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . strømmen er maksimal og impedancen er minimal. I denne tilstand kan kredsløbet fungere som en acceptor-kredsløb.
Parallelt LC-kredsløb

I et parallelt LC-kredsløb er induktoren og kondensatoren forbundet i parallel, som vist på figuren.

Parallelt LC-kredsløb

Spændingen over hver terminal på forskellige elementer i en parallelkred er den samme. Derfor er spændingen over terminalerne lig med spændingen over induktoren og spændingen over kondensatoren.
   $\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$
Den totale strøm, der løber igennem den parallelle LC-kreds, er lig med summen af strømmen, der løber igennem induktoren, og strømmen, der løber igennem kondensatoren.
   $\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Resonans i parallel LC-kreds

Ved resonanstilstand, når induktive reaktans ( $X_L$ ) er lig med kapacitive reaktans ( $X_C$ ), er reaktive grenstrømmer lige store og modsatte. Derfor annullerer de hinanden og giver minimum strøm i kredsen. I denne tilstand er den totale impedans maksimal.
Resonansfrekvensen er givet ved
   $\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$
Nu er impedancen for den parallelle LC-kredsløb givet ved
   $\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$
Nu er den vinkelret resonansfrekvens $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , da bliver impedancen
(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$
Derfor, når frekvensen er i resonans, altså når $\omega = \omega_0$ vil den elektriske impedans Z være uendelig, og strømmen til en parallel LC-kreds er minimal ( $I = \frac {V} {Z}$ ).
Derfor vil en parallel LC-kreds, når den er forbundet i serie med belastningen, fungere som en båndstopfilter med uendelig impedans ved resonnansfrekvensen. En parallel LC-kreds forbundet parallelt med belastningen vil fungere som et båndpassfilter.
- Ved frekvenser under resonnansfrekvensen, dvs. f<f0, XL >> XC. Derfor er kredsen induktiv.
- Ved frekvenser over resonnansfrekvensen, dvs. f>f0, XC >> XL. Derfor er kredsen kapacitiv.
- Ved resonnansfrekvensen, dvs. f = f0, XL = XC, er strømmen minimal, og impedansen er maksimal. I denne tilstand kan kredsen fungere som en afvisningskreds.
LC Kreds Ligninger

Strøm- og spændingsligninger
- Ved begyndelsesbetingelser:
$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$
$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$
- Ved svinging:
   $\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

LC-kredsløbs differentialligning
   $\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (hvor, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedansen for serieforbindelsen LC

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$
Impedansen i parallel LC-kredsløb

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Indstillingstid

LC-kredsløbet kan fungere som en elektrisk resonator, og lagre energi, der oscillerer mellem det elektriske felt og det magnetiske felt ved en frekvens, kaldet resonerende frekvens. Eftersom ethvert oscillationsystem når en stabil tilstand på et tidspunkt, kendt som indstillingstid.
Tiden, der kræves for, at responsen formindskes og bliver stabil ved sin stabiliserede værdi, og forbliver derefter inden for ± 2% af sin endelige værdi, kaldes indstillingstid.

Strøm i LC-kredsløb

Antag, at $I(t)$ er den øjeblikkelige strøm, der løber gennem kredsløbet. Spændingsfaldet over induktoren udtrykkes i termer af strømmen $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ , og spændingsfaldet over kondensatoren er $V = \frac {Q}{C}$ , hvor Q er ladningen, der er lagret på den positive plade af kondensatoren.

Et LC-kredsløb

Ifølge Kirchhoffs spændningslov er summen af potentielle fald over de forskellige komponenter i et lukket kredsløb lig med nul.
(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$
Ved at dividere den ovenstående ligning med L og differentiere den med hensyn til t, får vi

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (hvor, Q = It) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$
Nu er strømmen i en simpel harmonisk svingning givet ved:
(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$
Hvor $I_0 > 0$ og $\phi$ er konstanter.
Indsæt værdien af ligning (5) i (4), får vi,
   $\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$
   $\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$
   $\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$
(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Ud fra ovenstående ligning kan vi sige, at LC-kredsløbet er et oscillerende kredsløb, og det oscillerer ved en frekvens, der kaldes resonansfrekvens.

LC Kredsløbs Spænding

Ifølge ligning (3) er den inducerede spænding over en induktor minus spændingen over kondensator.
   $\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$
Indsæt strøm ligningen fra ligning (5), får vi
   $\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$
Med andre ord, når spændingen når sit maksimum, når strømmen nul, og omvendt. Amplituden af spændingssvingning er den af strømsvingningen gange $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Overførselsfunktion for LC-kredsløb

Overførselsfunktionen fra indgangsspænding til spændingen over kondensatoren er
   $\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$
På samme måde er overføringsfunktionen fra indgangsspanningen til spændingen over induktoren
   $\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Naturlig respons af LC-kredsløb

Lad os antage, at kondensatoren er fuldt udladet i starten, og skærmeknappen (K) er holdt åben i en meget lang tid, og den lukkes ved t=0.
- Ved t=0– skærmeknappen K er åben
Dette er en initial betingelse, så vi kan skrive,
$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$
$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$
Fordi strømmen gennem spoler og spændingen over kondensator ikke kan ændre sig øjeblikkeligt.
- For alle t>=0+ er K lukket
Nu indføres spændingskilden i kredsen. Ved at anvende KVL på kredsen, får vi,
   $\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$
Her udtrykkes spændingen over kondensator i forhold til strømmen.
Den ovenstående ligning kaldes integro-differentialligningen. Ved at differentiere begge sider af den ovenstående ligning med hensyn til t, får vi,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Ligning (7) viser en andenordens differentialligning for et LC-kredsløb.
Erstat $\frac{d^2}{dt^2}$ med s2, får vi,
(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Rødderne af den ovenstående ligning er
   $\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$
Her er $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ den naturlige frekvens for svingninger.

LC kredsløbs frekvensrespons

Ved hjælp af impedansmetoden: Den generelle ligning for frekvensresponssystemet er
   $\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$
- Antag at udgangsspændingen forekommer over kondensatorens terminaler, anvend potentialefordelingsreglen til ovenstående kredsløb
(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Hvor, $Z_C =$ impedansen for kondensator $= \frac{1}{j \omega C}$
$Z_L =$ impedansen for spole $= {j \omega L}$
Indsæt det i ligning (9), og vi får
$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (hvor, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$
(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
- Antag, at udgangsspændingen forekommer over induktoren, anvend potentiale-divideringsregel på ovenstående kredsløb
(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Erstat værdien af $Z_C$ og $Z_L$ i den ovenstående ligning, får vi
   $\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$
(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
Ligninger (10) og (12) viser frekvensresponsen for et L-C-kredsløb i kompleks form.

LC kredsløbs differentialligning

   $\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$
Den ovenstående ligning kaldes integro-differentialligningen. Her udtrykkes spændingen over kondensatoren ved strømmen.
Nu, ved at differentiere den ovenstående ligning på begge sider med hensyn til t, får vi,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Den ovenstående ligning viser den andenordens differentialligning for en LC-kreds.
Erstat $\frac{d^2}{dt^2}$ med s2, så får vi,
(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Nu, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ derfor, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , sæt det ind i den ovenstående ligning, og vi får,
   $\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

LC-kredsløbs opladning og afladning

I et LC-kredsløb er både induktoren og kondensatoren lagringsenheder, dvs. induktoren lagrer energi i sin magnetiske felt (B), afhængigt af strømmen gennem den, og kondensatoren lagrer energi i det elektriske felt (E) mellem dens ledende plader, afhængigt af spændingen over den.
Antag at kapacitoren indledningsvis indeholder en ladning q, og at al energi i kredsløbet indledningsvis er lagret i det elektriske felt i kapacitoren. Den lagrede energi i kapacitoren er
$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Opladning og afpladning af LC-kredsløb

Hvis en induktor er forbundet til en opladt kondensator, vil spændingen over kondensatoren forårsage, at strøm flyder gennem induktoren, hvilket producerer et magnetfelt omkring induktoren. Kondensatoren begynder at afpladnes, og spændingen over kondensatoren falder til nul, da ladningen bruges op af strømmen ( $I = \frac{q}{t}$ ).
Nu er kondensatoren fuldstændigt afpladnet, og al energi er lagret i magnetfeltet omkring induktoren. I dette øjeblik er strømmen på sit maksimale niveau, og den lagrede energi i induktoren er givet ved ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .
På grund af fraværet af en modstand, dissiperes der ingen energi i kredsløbet. Derfor er den maksimale lagrede energi i kondensatoren lig med den maksimale lagrede energi i induktoren.
I dette øjeblik inducerer den lagrede energi i magnetfeltet omkring induktoren en spænding over spolen ifølge Faradays lov om elektromagnetisk induktion ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Denne inducerede spænding forårsager, at strøm flyder gennem kondensatoren, og kondensatoren begynder at oplades med en spænding af modsat polaritet.
Denne opladnings- og afpladningsproces vil begynde igen, med strømmen, der flyder i den modsatte retning gennem induktoren som før.
Dermed kan opladning og afladning af LC-kredsløbet være cyklisk, og energien oscillerer frem og tilbage mellem kondensator og spole, indtil den interne modstand får oscillationerne til at dø ud.
Figuren viser spændings- og strømformen under opladning og afladning.

Opladning og Afladning af Spænding og Strøm Bølgeform

LC Kredsløbs Anvendelser

Anvendelser af LC kredsløb inkluderer:
- Anvendelser af et LC kredsløb involverer hovedsagelig mange elektroniske enheder, især radioudstyr som transmittere, radiomodtagere og TV-modtagere, forstærkere, oscillatorer, filtre, tunere og frekvensmixere.
- LC kredsløb bruges også til at producere signaler på en bestemt frekvens eller acceptere et signal fra et mere komplekst signal på en bestemt frekvens.
- Hovedformålet med et LC kredsløb er normalt at oscillerer med minimal demping, så modstanden gøres så lav som muligt.
- Et serie-resonans kredsløb giver spændings forstærkning.
- Et parallel-resonans kredsløb giver strøm forstærkning.
Hvad er Demping?

Demping er en reduktion i amplituden af en oscillation eller bølgem bevægelse over tid. Resonans er en øgning i amplituden, når dempingen aftager.
Erklæring: Respektér den originale kilde. Gode artikler er værd at dele. Hvis der er overtrædelse af ophavsret, kontakt os for sletning.