Анализа на LC колано: сериески и паралелни колани уравненија и преносна функција

Electrical4u

Поле: Основни електрични

China

Што е LC циркуит?

LC циркуит (познат и како LC филтер или LC мрежа) е дефиниран како електричка кола која се состои од пассивни елементи на електричка кола, индуктор (L) и кондензатор (C) поврзани заедно. Исто така, е познат и како резонантна кола, тенковска кола или подесена кола.

Због отсустувањето на резистор во идеалната форма на колата, LC циркуитот не потрошува енергија. Ова е различно од идеалните форми на RC коли, RL коли, или RLC коли, кои потрошат енергија поради присуството на резистор.

Иако, во практична кола, LC циркуитот ќе потрошуват неколку енергија поради ненултата резистивност на компонентите и поврзувачките жички.

Зошто LC колото се нарекува подесено коло или резервоарско коло?

Електричниот полнеж тече напред-назад помеѓу плочите на кондензаторот и низ индукторот. Енергијата осцилира меѓу кондензатор и индуктор додека внатрешниот отпор на компонентите и приклучните жици не ја затрпне осцилацијата.

Дејството на ова коло е како подесено дејство, математички познато како хармониски осцилатор, што е слично на никулце кое се лантува напред-назад или вода која тече напред-назад во резервоар; поради тоа, колото се нарекува подесено коло или резервоарско коло.

Колото може да делува како електричен резонатор и да чува енергија која осцилира на фреквенција која се нарекува резонантна фреквенција.

Сериско LC коло

Во сериското LC коло, индукторот и кондензаторот се поврзани сериално, како што е прикажано на сликата.

Бидејќи во сериското коло струјата е иста насекаде во колото, следува дека протокот на струја е еднаков на струјата низ индукторот и кондензаторот.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Сега, вкупната напонска разлика на крајниците е еднаква на збирот од напонската разлика на кондензаторот и напонската разлика на индукторот.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Резонанс во сериесна LC колона

Кога фреквенцијата се зголемува, магнитудата на индуктивниот реактанц се зголемува исто така.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

и магнитудата на капацитивниот реактанц се намалува.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Сега, при услови на резонанс, величината на индуктивната реактивност и капацитивната реактивност станува еднаква.

Сега импедансот на сериесниот LC циркуит е даден со

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Каде $\omega_0$ е резонантна аголна фреквенција (радијани по секунда).

Сега, резонантната аголна фреквенција е $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , тогаш импедансот станува

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Така, при резонантни услови кога $\omega = \omega_0$ збирниот електричен импеданс Z ќе биде нула, што значи дека XL и XC се аннулираат помеѓусебно. Следствено, најголемата стрuja која се доставува на сериесен LC цеп ќе биде максимална ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Затоа, сериесниот LC цеп, кога е поврзан во серија со оптоварувачот, ќе функционира како бенд-пас филтер со нулта импеданса на резонантната фреквенција.

- При фреквенција под резонантната фреквенција, т.е. $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Затоа, кружницата е капацитивна.
- При фреквенција над резонантната фреквенција, т.е. $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Затоа, кружницата е индуктивна.
- При резонантната фреквенција, т.е. $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . Стрмата е максимална, а импедансот е минимален. Во овој состојба, кружницата може да функционира како прифатувачка кружница.
Паралелна LC кружница

Во паралелната LC кружница, индукторот и капацитетот се поврзани паралелно, како што е прикажано на сликата.

Паралелна LC кружница

Напругата на секоја терминална точка на различни елементи во паралелен кружок е иста. Значи, напругата на терминалните точки е еднаква на напругата на индукторот и напругата на кондензаторот.
   $\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$
Сега, целосниот строј кој протекува низ паралелниот LC кружок е еднаков на збирот од стројот кој протекува низ индукторот и стројот кој протекува низ кондензаторот.
   $\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Резонанса во паралелен LC кружок

При резонантни услови, кога индуктивната реактанца ( $X_L$ ) е еднаква на капацитивната реактанца ( $X_C$ ), реактивниот грански строј е еднаков и противоположен. Значи, тие се нивелираат една со друга за да дадат минимален строј во кружокот. Во овој состојба, целосната импеданца е максимална.
Резонантната фреквенција се дава со
   $\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$
Сега импедансот на паралелната LC кола е даден со
   $\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$
Сега аголниот резонантен фреквенција е $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , тогаш импедансот станува
(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$
Тако, при резонантни услови кога $\omega = \omega_0$ целосната електрична импеданса Z ќе биде бесконечна и струјата доставена до паралелен LC колува ќе биде минимална ( $I = \frac {V} {Z}$ ).
Поради тоа, паралелниот LC колува, кога се поврзе во серија со оптоварувачот, ќе функционира како филтер за спречување на појас со бесконечна импеданса на резонантната фреквенција. Паралелниот LC колува поврзан паралелно со оптоварувачот ќе функционира како филтер за пропуштање на појас.
- На фреквенции под резонантната фреквенција, односно f<f0, XL >> XC. Затоа колуваот е индуктивен.
- На фреквенции над резонантната фреквенција, односно f>f0, XC >> XL. Затоа колуваот е капацитивен.
- На резонантната фреквенција, односно f = f0, XL = XC, струјата е минимална и импедансата е максимална. Во овој состојба, колуваот може да функционира како отфрлачка колува.
Једначини на LC колува

Једначина за струја и напон
- При почетни услови:
$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$
$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$
- При осцилација:
   $\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Диференцијална равенка на LC коло
   $\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Импеданс на сериесни LC цеврек

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$
Импеданс на паралелен LC цеп

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Време за подесување

LC цепот може да функционира како електрична резонатор и да чува енергија која осцилура помеѓу електричното поле и магнетното поле на фреквенцијата наречена резонантна фреквенција. Бидејќи секој осцилаторски систем стигнува до стабилно состојба во некое време, познато како време за подесување.
Времето потребно за одговорот да се намали и стане стабилен на својата стабилна вредност и да остане таму во +- 2% од својата крајна вредност се нарекува време за подесување.

Струја на LC цеп

Претпоставете дека $I(t)$ е моменталната стрuja што протича низ цепот. Напонот на индукторот е изразен во термини на стрuja $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ , а напонот на кондензаторот е $V = \frac {Q}{C}$ , каде Q е зарядот складиран на позитивната плочка на кондензаторот.

LC копчето

Сега, според законот на Кирхоф за напоните, сумата на потенцијалните падови низ различните компоненти на затворена лупа е еднаква на нула.
(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$
Делење на горната равенка со L и диференцирање ја согласно t, добиваме

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$
Сега, токот во едноставни гармониски осцилации е даден со:
(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$
Каде $I_0 > 0$ и $\phi$ се константи.
Замени го изразот од равенката (5) во (4), се добива:
   $\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$
   $\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$
   $\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$
(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Со оглед на горната равенка, можем да кажем дека LC колаците се осцилаторски кола и осцилираат на фреквенција наречена резонантна фреквенција.

Напон во LC кола

Сега, според равенката (3), индуцираната напонска разлика позад индукторот е минус напонската разлика позад кондензаторот.
   $\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$
Ако ја вметнеме јацината од равенката (5), добиваме
   $\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$
Со други зборови, напонот достигнува максимум кога јачината достигнува нула и обратно. Амплитудата на осцилацијата на напонот е онаа на осцилацијата на јачината помножена со $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Преносна функција на LC колането

Преносната функција од входниот напон до напонот над кондензаторот е
   $\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$
Слично, преносната функција од влезната напонска до напонот над капациторот е
   $\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Природна резпонзивност на LC колано

Претпоставуваме дека капациторот е целосно разрачен и прекинувачот (K) е отворен за многу долго време и затворен е во момент t=0.
- В момент t=0– прекинувачот K е отворен
Ова е почетно состојба, па можеме да напишеме,
$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$
$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$
Бидејќи токот низ индукторот и напонот над кондензаторот не можат моментално да се променат.
- За сите t>=0+ превключението K е затворено
Сега се воведува изворот на напон во колата. Значи, ако применуваме законот за запазување на напонот (KVL) на колата, добиваме,
   $\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$
Тука напонот над кондензаторот е изразен преку токот.
Горната равенка се нарекува интегро-диференцијална равенка. Диференцирајќи ги двете страни на горната равенка според t, добиваме,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Јднацијата (7) покажува втор ред диференцијална јдначина на LC колан.
Заменете $\frac{d^2}{dt^2}$ со s2, добиваме,
(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Сега корените на горната јдначина се
   $\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$
Овде $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ е природната фреквенција на осцилацијата.

Одговор на фреквенцијата на LC цепот

Користејќи го методот на импедансата: Општата равенка за системот на одговор на фреквенцијата е
   $\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$
- Предположете дека излезниот напон се јавува над терминалите на капацитетот, применете правилото за делечки потенцијал на горениот цеп
(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Каде што, $Z_C =$ импеданс на кондензаторот $= \frac{1}{j \omega C}$
$Z_L =$ импеданс на индукторот $= {j \omega L}$
Ако ги замениме во равенката (9), добиваме
$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$
(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
- Претпоставете дека излезниот напон се појавува преку индуктивитетот, применете правилото за делбен потенцијал на горната кола
(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Заменете вредноста на $Z_C$ и $Z_L$ во горната равенка, добиваме
   $\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$
(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
Јдрави (10) и (12) покажуваат фреквенчниот одговор на L-C коло во комплексен облик.

Диференцијална једначина на LC коло

   $\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$
Горната једначина се нарекува интегро-диференцијална једначина. Овде напонот падајќи на кондензаторот е изразен преку ток.
Сега, диференцирајќи горната једначина од двете страни според t, добиваме,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Погоре наведената равенка покажува диференцијална равенка од втор ред на LC коло.
Заменете $\frac{d^2}{dt^2}$ со s2, добиваме,
(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Сега, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ затоа, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , го вметните во погорешната равенка и добиваме,
   $\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Плесење и разплесење на LC кола

Во LC колото, индуктивитетот и кондензаторот се елементи кои ги чуваат енергијата, односно индуктивитетот чува енергија во своето магнетно поле (B), зависно од токот што минува низ него, а кондензаторот чува енергија во електричното поле (E) помеѓу своите проводни пласти, зависно од напонот над него.
Претпоставете дека почетно, кондензаторот содржи наелектризување q, и тогаш сите енергија на колото е почетно складирана во електричното поле на кондензаторот. Енергијата складирана во кондензаторот е
$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Наполнување и испразнување на LC кружница

Ако сега индуктор е поврзан со наполнет кондензатор, напонот над кондензаторот ќе предизвика ток да текне низ индукторот, што произведува магнетно поле околу индукторот, кондензаторот започнува да се испразнува и напонот над кондензаторот се намалува до нула додека се користи заредот од текот ( $I = \frac{q}{t}$ ).
Сега кондензаторот е потполно испразнен и сите енергија се чуваат во магнетното поле на индукторот. Во овој момент, токот е на својата максимална вредност и енергијата чуваена во индукторот се определува со ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .
Збоготу отсутството на резистор, нема енергија која се губи во кружницата. Следователно, максималната енергија чуваена во кондензаторот е еднаква на максималната енергија чуваена во индукторот.
Во овој момент, чуваената енергија во магнетното поле околу индукторот индуцира напон над бобината според Фарадеев закон за електромагнетна индукција ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Овој индуциран напон предизвикува ток да текне низ кондензаторот и кондензаторот започнува да се наполнува со напон од спротивна поларитет.
Овој процес на наполнување и испразнување ќе почне повторно, со текот кој текнува во спротивна насока низ индукторот како претходно.
Така, напојувањето и разрачувањето на LC колото може да се врши на цикличен начин и енергијата се осцилуира надвор-надвор помеѓу кондензаторот и индукторот додека интерниот отпор не ги убива осцилациите.
Слика покажува напојувачки и разрачувачки волтаж и токови форми.

Напојувачки и разрачувачки волтаж и токови форми

Примени на LC колото

Примените на LC колото вклучуваат:
- Примените на LC колото главно вклучуваат многу електронски уреди, особено радио опрема како што се преносници, радио приемници, ТВ приёмници, амплификатори, осцилатори, филтри, тунери и миксер за честоти.
- LC колото се користат и за производство на сигнали на одредена честота или за прифатување на сигнал од повеќекомплексен сигнал на одредена честота.
- Главната цел на LC колото е обично да осцилуира со минимално демпинг, така што отпорот се прави колку што е можно помал.
- Сериески резонанско коло пружа напојување магнификација.
- Паралелно резонанско коло пружа ток магнификација.
Што е демпинг?

Демпинг е намалување на амплитудата на осцилацијата или волновото движење со време. Резонансата е зголемување на амплитудата додека демпингот се намалува.
Изјава: Поштета на оригиналот, добри статии се достојни за споделување, ако има нарушение ве молим да контактирате за бришење.