Circuitus LC Analyse: Circuiti Serie et Paralleli Aequationes et Functio Transitoria

Electrical4u

Campus: Electrica Elementaria

China

Quid est circuitus LC?

Circuitus LC (etiam circuitus filter LC vel rete LC dicitur) definitur ut circuitus electricus constans ex elementis passivis circuiti, inductor (L) et capacitor (C) coniunctis. Hic etiam circuitus resonans, circuitus tank, vel circuitus sintonizatus dicitur.

Propter absentiam resistitoris in forma idealis circuiti, circuitus LC nullam energiam consumit. Hoc contra formas ideales circuituum RC, circuituum RL, vel circuituum RLC, quae energiam consumunt propter praesentiam resistitoris.

Tamen in circuitu practico, circuitus LC semper aliquam energiam consumet propter non-nullos resistentias componentium et filorum coniungentium.

Cur Quod Circulus LC Dicitur Circulus Harmonicus vel Circulus Cisternae

Fluxus electricitatis inter laminae condensatoris et per inductorem transit. Energia inter condensatorem et inductorem oscillat donec resistentia interna componentium et filorum connectivorum faciat ut oscillationes desinant.

Actio huius circuiti similis est actioni harmonicae, mathematica cognita ut oscillator harmonicus, quae similis est pendulo vibranti huc atque illuc vel aquae fluenti huc atque illuc in cisterna; propter hanc rationem, circuitus dicitur circulus harmonicus vel circulus cisternae.

Circulus potest agere sicut resonator electricus et conservare energiam oscillantem ad frequenta quae dicitur frequenta resonans.

Circulus LC Series

In circulo LC series, inductor et condensator coniuncti sunt in serie, ut in figura ostenditur.

Cum in circuitu seriei currentis ubique in circuitu idem sit, fluxus currentis aequalis est currenti per inductorem et condensatorem.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Nunc summa voltus inter terminos est aequalis summae voltus inter condensatorem et inductorem.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Resonantia in Circuito LC Serie

Cum frequencia crescat magnitudo reactanciae inductivae quoque crescere solet

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

et magnitudo reactanciae capacitivae decrescere solet.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Nunc in condicione resonantiae magnitudo reactantiae inductivae et capacivae fit aequalis.

Nunc impedantia circuiti LC seriei datur per

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Nunc in condicione resonantiae magnitudo reactantiae inductivae et capacivae fit aequalis.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Ubi, $\omega_0$ est frequens angularis resonans (radii per secundum).

Nunc frequens angularis resonans est $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , tunc impedimentum fit

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Itaque in conditione resonantis ubi $\omega = \omega_0$ impedimentum electricum totale Z erit nullum, id est XL et XC se invicem destruunt. itaque, currentus ad circuitum LC series datus est maximus ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Itaque circuitus LC series, cum connectitur in series cum onere, agit ut filter band-pass habens impedimentum nullum in frequente resonante.

Frequencia sub resonantia i.e. $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Ergo circuitus est capacitus.
Frequencia supra resonantiam i.e. $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Ergo circuitus est inductivus.
Frequencia ad resonantiam i.e. $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . Currentis est maximus et impedimentum est minimum. In hoc statu, circuitus potest agere ut circuitus acceptor.

Circuitus LC Parallelus

In circuitu LC parallelus, inductor et capacitor ambo sunt connecti in parallelum, ut in figura ostenditur.

Parallel LC Circuit — Circuitus LC Parallelus

Voltus per singulos terminales diversorum elementorum in circuitu parallelis est idem. Itaque voltus inter terminales aequatur volti inductoris et volti condensatoris.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Nunc totalis currentus per circuitum LC parallelum fluens aequatur summa currentis per inductorem fluentis et currentis per condensatorem fluentis.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Resonantia in circuitu LC paralleli

In conditione resonantis, cum reactancia inductiva ( $X_L$ ) aequatur reactancia capacativa ( $X_C$ ), currentus ramalis reactivus aequalis et oppositus est. Itaque, hi se invicem annullant ut minimum currentem in circuitu darent. In hoc statu impedimentum totale maximum est.

Frequensia resonans datur per

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Nunc impedimentum circuitus LC paralleli datur per

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Nunc frequens angularis resonans est $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , tunc impedimentum fit

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Itaque in conditione resonanti quando $\omega = \omega_0$ impeditum electricum totale Z erit infinitum et currentis ad circuitum LC parallelum minima ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Proinde circuitus LC parallelus, cum in serie cum onere coniunctus sit, agit ut filtrum band-stop habens impeditum infinitum in frequencia resonanti. Circuitus LC parallelus, cum in parallelo cum onere coniunctus sit, agit ut filtrum band-pass.

In frequencia sub resonantia, id est f<f0, XL >> XC. Itaque circuitus est inductivus.
In frequencia supra resonantia, id est f>f0, XC >> XL. Itaque circuitus est capacitivus.
In frequencia resonante, id est f = f0, XL = XC, currentis est minima et impeditum est maximum. In hoc statu, circuitus potest agere ut circuitus rejector.

Aequationes circuitus LC

Aequatio currentis et voltage

In conditione initiali:

$\begin{align*} I(0) = I_0 \sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 \sin\phi \end{align*}$

In oscillatione:

$\begin{align*} I(t) = I_0 \sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 \sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Aequatio differentialis circuiti LC

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedantia circuiti LC serie

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Impedantia circuiti LC paralleli

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Tempus stabilis

Circuitus LC potest agere ut resonator electricus et servare energiam inter electricum campum et magneticum campum ad frequentiam vocatum frequentia resonans. Quoniam omnis systema oscillatorium ad statum stabilem pervenit aliquando, quod tempus stabilis nominatur.

Tempus necessarium ut responsio diminuat et stabilis fiat ad suum valorem stabilis et postea permansit intra +- 2% de suo valore finali dicitur tempus stabilis.

Currens circuiti LC

Assume $I(t)$ est currens instantaneus per circuitum fluens. Voltage decrescens super inductore exprimitur in terminis currentis $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ et voltage decrescens super condensatore est $V = \frac {Q}{C}$ , ubi Q est quantitas electrica in placa positiva condensatoris servata.

Nunc secundum legem Kirchhoff de potentia, summa potentialium decrementorum per varias partes circuiti clausi aequatur nihilo.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Dividendo hanc aequationem per L et differentiando eam respectu t, habemus

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (IV) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Nunc currentis in simplici harmonica oscillationum forma datur per:

(V) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Ubi $I_0 > 0$ et $\phi$ constantes sunt.

Cum valor equationis (5) in (4) ponitur, habemus,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 \sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 \sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} \cos ax = -a\sin ax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Itaque ex aequatione supra, possumus dicere circuitum LC esse circuitum oscillans et oscillat ad frequentiam quae dicitur frequentia resonans.

Voltus Circuiti LC

Nunc secundum aequationem (3), voltus inductus est minus voltus capacitoris.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Pone equationem de currente ex aequatione (5), habemus

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

Alio modo, tensio attingit maximum quando currentis attingit nihilum et vice versa. Amplitudo oscillationis tensionis est multiplicata per amplitudinem oscillationis currentis $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Translatio Functionis Circuiti LC

Translatio functionis ab inputtensione ad tensionem trans capacitor est

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Similiter, functio translativa a tensione input ad tensionem inductoris est

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Responsum Naturale Circuiti LC

Ponamus condensatorem initialiter totaliter exsolutum et commutatorem (K) apertum per tempus longissimum et clausum ad t=0.

Ad t=0– commutator K est apertus

Haec est conditio initialis, ideo possumus scribere,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Quia currus per inductorem et voltus trans capacitorem non possunt mutari instantaneo.

Pro omnibus t>=0+ clausus est commutator K

Nunc introducitur fons voltaginis in circuitum. Ergo applicando legem Kirchhoff de voltagine ad circuitum, habemus,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Hic voltus trans capacitorem exprimitur in terminis currentis.

Supra aequatio dicitur aequatio integro-differentialis. Differentiando utramque partem supradictae aequationis secundum t, habemus,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(VII) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Aequatio (VII) indicat aequationem differentialem secundi ordinis circuiti LC.

Substituamus $\frac{d^2}{dt^2}$ per s2, obtinemus,

(VIII) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Nunc radices huius aequationis sunt

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Hic $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ est frequencia natural oscillationis.

Responsum Frequens Circuiti LC

Usando methodum impedanciam: Aequatio generalis pro responso systematis ad frequens est

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Assume quod tensio output occurrat trans terminos capacitoris, applica regulam divideris potentialis ad circuitum supradictum

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Ubi, $Z_C =$ impedentia capacitatis $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ impedentia inductoris $= {j \omega L}$

Substituendo in aequatione (9), habemus

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Ponamus quod tensio exitus inductorei occurrat, applica regulam divisoris potentiae ad circuitum supradictum

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Substitue valor $Z_C$ et $Z_L$ in aequatione suprascripta, obtinemus

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Aequatio (10) et (12) indicat responsionem frequentiam circuiti L-C in forma complexa.

Aequatio differentialis circuiti LC

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Aequatio supra dicitur aequatio integro-differentialis. Ibi tensio super condensatore exprimitur per currentem.

Nunc, differentiando hanc aequationem utraque parte respectu t, habemus,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Aequatio supra indicat aequationem differentialem secundi ordinis circuiti LC.

Substitue $\frac{d^2}{dt^2}$ per s2, obtinemus,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Nunc, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ ergo, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , ponamus in aequatione supra, obtinemus,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Carica e scarica del circuito LC

In un circuito LC, l'induttore e il condensatore sono entrambi elementi di stoccaggio, vale a dire che l'induttore stoccaglia energia nel suo campo magnetico (B), in dipendenza dalla corrente che lo attraversa, e il condensatore stoccaglia energia nel campo elettrico (E) tra le sue placche conduttrici, in dipendenza della tensione applicata.

Si assuma che inizialmente il condensatore contenga una carica q, e che quindi tutta l'energia del circuito sia inizialmente stoccata nel campo elettrico del condensatore. L'energia stoccata nel condensatore è

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Si nunc inductor ad condensatorem caricae connectitur, voltus in condensatore faciet ut currentis per inductorem fluat, qui campum magneticum producat circa inductorem, condensator coepit de-caricari et voltus in condensatore reducitur ad nihilum cum carica consumitur per flumen currentis ( $I = \frac{q}{t}$ ).

Nunc condensator perfecte de-caricatus est et omnis energia in campo magnetico inductoris conservatur. In hoc instanti, currentis est in maximo valore et energia in inductore conservata datur per ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Propter absentiam resistoris, nulla energia dissipatur in circuitu. Itaque, maxima energia in condensatore conservata aequalis est maxima energia in inductore conservata.

In hoc instanti, energia in campo magnetico circa inductorem inducit voltus in spira secundum legem faradii inductionis electromagneticae ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Hoc voltus induxit facit ut currentis per condensatorem fluat et condensator coepit iterum caricari cum voltu oppositi poli.

Hic processus caricae et de-caricae rursum incipiet, cum currentis fluens in opposita directione per inductorem sicut ante.

Ita igitur circuitus LC potest in modo cyclico careri et impleti, et energia inter condensatorem et inductorem oscillat donec resistentia interna faciat ut oscillationes desinant.

Figura monstrat formam undarum tensionis et currentis carendi et impleti.

Forma Undarum Carendi et Iimplendi Circuiti LC — Forma Undarum Tensionis et Currentis Carendi et Impleti

Applicationes Circuiti LC

Applicationes circuiti LC includunt:

Applicationes circuiti LC praecipue involvunt multos instrumentos electronicos, praesertim apparatu radiophonicis sicut transmitteribus, receptoribus radio, et receptoribus televisivi, amplificatoribus, oscillatoribus, filtris, tuneris, et mixeris frequentiae.
Circuiti LC utuntur etiam ad signa producenda ad particulari frequentia vel ad acceptandum signum ex signo complexiori ad particulari frequentia.
Scopus principalis circuiti LC est saepe ut oscillent cum minima damping, itaque resistentia fit quam minimum possibile.
Circuitus resonantiae seriei praebet tensionem magnificationem.
Circuitus resonantiae parallelus praebet currentem magnificationem.