Анализ цепи LC: последовательные и параллельные цепи уравнения и передаточная функция

Electrical4u

Поле: Основы электротехники

China

Что такое LC-цепь?

LC-цепь (также известная как LC-фильтр или LC-сеть) определяется как электрическая цепь, состоящая из пассивных элементов цепи, таких как индуктивность (L) и конденсатор (C), соединенных вместе. Ее также называют резонансной цепью, буферной цепью или настроенной цепью.

Из-за отсутствия резистора в идеальной форме цепи, LC-цепь не потребляет энергию. Это отличается от идеальных форм RC-цепей, RL-цепей или RLC-цепей, которые потребляют энергию из-за наличия резистора.

Однако в реальной цепи LC-цепь всегда будет потреблять некоторую энергию из-за ненулевого сопротивления компонентов и соединительных проводов.

Почему LC-цепь называют настроенной цепью или резонансной цепью?

Заряд перетекает туда и обратно между пластинами конденсатора и через индуктивность. Энергия колеблется между конденсатором и индуктивностью, пока внутреннее сопротивление компонентов и соединительных проводов не приведет к затуханию колебаний.

Действие этой цепи подобно настроенному действию, математически известному как гармонический осциллятор, который похож на маятник, раскачивающийся туда и обратно, или воду, перетекающую туда и обратно в баке; по этой причине цепь называется настроенной цепью или резонансной цепью.

Цепь может действовать как электрический резонатор, накапливая энергию, колеблющуюся на частоте, называемой резонансной частотой.

Последовательная LC-цепь

В последовательной LC-цепи индуктивность и конденсатор подключены последовательно, как показано на рисунке.

Так как в последовательной цепи ток одинаков во всех ее участках, то поток тока равен току, проходящему через индуктивность и конденсатор.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Теперь общее напряжение на выводах равно сумме напряжения на конденсаторе и напряжения на индуктивности.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Резонанс в последовательной LC-цепи

Когда частота увеличивается, величина индуктивного сопротивления также увеличивается.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

и величина емкостного сопротивления уменьшается.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Теперь при резонансном состоянии величина индуктивного и емкостного сопротивлений становится равной.

Теперь импеданс последовательной LC-цепи определяется как

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Теперь при резонансном состоянии величина индуктивного и емкостного сопротивлений становится равной.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Где $\omega_0$ — это резонансная угловая частота (в радианах в секунду).

Теперь резонансная угловая частота равна $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , тогда импеданс становится

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Таким образом, при резонансном состоянии, когда $\omega = \omega_0$ общее электрическое сопротивление Z будет равно нулю, что означает, что XL и XC взаимно компенсируются. Следовательно, ток, подаваемый в последовательную LC-цепь, достигает максимума ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Следовательно, последовательная LC-цепь, подключенная последовательно к нагрузке, будет действовать как полосовой фильтр, имеющий нулевое сопротивление на резонансной частоте.

- При частоте ниже резонансной частоты, т.е. $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Следовательно, цепь является емкостной.
- При частоте выше резонансной частоты, т.е. $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Следовательно, цепь является индуктивной.
- При резонансной частоте, т.е. $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . ток достигает максимума, а сопротивление минимально. В этом состоянии цепь может действовать как приемная цепь.
Параллельная LC-цепь

В параллельной LC-цепи индуктор и конденсатор соединены параллельно, как показано на рисунке.

Параллельная LC-цепь

Напряжение на каждом конце различных элементов в параллельной цепи одинаково. Следовательно, напряжение на концах равно напряжению на индуктивности и напряжению на конденсаторе.
   $\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$
Теперь общий ток, протекающий через параллельную LC-цепь, равен сумме тока, протекающего через индуктивность, и тока, протекающего через конденсатор.
   $\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Резонанс в параллельной LC-цепи

При резонансном состоянии, когда индуктивное сопротивление ( $X_L$ ) равно емкостному сопротивлению ( $X_C$ ), реактивные токи ветвей равны и противоположны. Следовательно, они компенсируют друг друга, давая минимальный ток в цепи. В этом состоянии полное сопротивление максимально.
Резонансная частота определяется следующим образом
   $\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$
Теперь сопротивление параллельной LC-цепи задается следующим образом
   $\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$
Теперь угловая резонансная частота равна $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , тогда сопротивление становится
(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$
Таким образом, при резонансном состоянии, когда $\omega = \omega_0$ полное электрическое сопротивление Z будет бесконечным, а ток, подаваемый на параллельную LC-цепь, будет минимальным ( $I = \frac {V} {Z}$ ).
Следовательно, параллельная LC-цепь, подключенная последовательно с нагрузкой, будет действовать как фильтр нижних частот с бесконечным сопротивлением на резонансной частоте. Параллельная LC-цепь, подключенная параллельно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр.
- При частоте ниже резонансной, то есть f<f0, XL >> XC. Следовательно, цепь индуктивна.
- При частоте выше резонансной, то есть f>f0, XC >> XL. Следовательно, цепь емкостна.
- При резонансной частоте, то есть f = f0, XL = XC, ток минимальный, а сопротивление максимальное. В этом состоянии цепь может действовать как отсекающая цепь.
Уравнения LC-цепи

Уравнения тока и напряжения
- В начальном состоянии:
$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$
$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$
- При колебаниях:
   $\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Дифференциальное уравнение LC-цепи
   $\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Импеданс последовательной LC цепи

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$
Импеданс параллельной LC-цепи

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Время установления

LC-цепь может действовать как электрический резонатор, и энергия колеблется между электрическим полем и магнитным полем на частоте, называемой резонансной частотой. Поскольку любая колебательная система достигает устойчивого состояния через некоторое время, известное как время установления.
Время, необходимое для того, чтобы реакция уменьшилась и стала устойчивой при своем устойчивом значении, и оставалась в пределах ±2% от своего конечного значения, называется временем установления.

Ток в LC-цепи

Предположим, что $I(t)$ — это мгновенный ток, текущий через цепь. Напряжение, падающее на индуктивности, выражается через ток $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ , а напряжение, падающее на конденсаторе, равно $V = \frac {Q}{C}$ , где Q — заряд, накопленный на положительной пластине конденсатора.

Контур LC

Согласно закону Кирхгофа для напряжений, сумма падений потенциала на различных компонентах замкнутого контура равна нулю.
(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$
Разделив это уравнение на L и продифференцировав его по t, мы получим

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (где, Q = It) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$
Теперь ток в простой гармонической колебательной системе задается следующим образом:
(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$
Где $I_0 > 0$ и $\phi$ являются константами.
Подставляя значение уравнения (5) в (4), получаем,
   $\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$
   $\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$
   $\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$
(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно сказать, что LC-цепь является колебательной цепью и она колеблется с частотой, называемой резонансной частотой.

Напряжение в LC-цепи

Согласно уравнению (3), индуцированное напряжение на индуктивности равно минус напряжению на конденсаторе.
   $\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$
Подставляя уравнение тока из уравнения (5), получаем
   $\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$
Другими словами, напряжение достигает максимума, когда ток равен нулю, и наоборот. Амплитуда колебаний напряжения является амплитудой колебаний тока, умноженной на $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Передаточная функция LC-цепи

Передаточная функция от входного напряжения к напряжению на конденсаторе составляет
   $\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$
Аналогично, передаточная функция от входного напряжения к напряжению на индуктивности
   $\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Естественная реакция LC-цепи

Предположим, что конденсатор изначально полностью разряжен, а выключатель (K) открыт в течение длительного времени и закрывается в момент t=0.
- В момент t=0 — выключатель K открыт
Это начальное условие, поэтому мы можем записать,
$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$
$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$
Поскольку ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе не могут изменяться мгновенно.
- Для всех t>=0+ выключатель K закрыт
Теперь в схему вводится источник напряжения. Поэтому, применяя закон Кирхгофа к схеме, получаем,
   $\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$
Здесь напряжение на конденсаторе выражено через ток.
Уравнение выше называется интегро-дифференциальным уравнением. Дифференцируя обе части этого уравнения по t, получаем,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Уравнение (7) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка для LC-цепи.
Заменим $\frac{d^2}{dt^2}$ на s2, получим,
(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Теперь корни вышеуказанного уравнения следующие
   $\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$
Здесь $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ является естественной частотой колебаний.

Частотная характеристика LC-цепи

Используя метод импеданса: общее уравнение для системы частотного отклика
   $\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$
- Предположим, что выходное напряжение возникает на выводах конденсатора, применим правило делителя напряжения к вышеуказанной цепи
(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Где, $Z_C =$ сопротивление конденсатора $= \frac{1}{j \omega C}$
$Z_L =$ сопротивление индуктивности $= {j \omega L}$
Подставляя это в уравнение (9), получаем
$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$
(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
- Предположим, что выходное напряжение возникает на индуктивности, применим правило делителя напряжения к вышеуказанной схеме
(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Подставим значения $Z_C$ и $Z_L$ в вышеуравнение, получим
   $\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$
(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
Уравнения (10) и (12) показывают частотную характеристику цепи L-C в комплексной форме.

Дифференциальное уравнение цепи LC

   $\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$
Вышеуказанное уравнение называется интегро-дифференциальным уравнением. Здесь напряжение на конденсаторе выражается через ток.
Теперь, дифференцируя вышеуказанное уравнение по t, получаем,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Указанное выше уравнение представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка для LC-цепи.
Заменим $\frac{d^2}{dt^2}$ на s2, получим,
(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Теперь, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ следовательно, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , подставив это в вышеуказанное уравнение, получим,
   $\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Зарядка и разрядка LC-цепи

В LC-цепи индуктор и конденсатор являются элементами хранения энергии, то есть индуктор хранит энергию в своем магнитном поле (B), в зависимости от тока, проходящего через него, а конденсатор хранит энергию в электрическом поле (E) между своими проводящими пластинами, в зависимости от напряжения на нем.
Предположим, что изначально конденсатор содержит заряд q, и тогда вся энергия цепи изначально хранится в электрическом поле конденсатора. Энергия, хранящаяся в конденсаторе, равна
$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Зарядка и разрядка LC-цепи

Теперь, если индуктивность подключена к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе вызовет ток через индуктивность, который создаст магнитное поле вокруг индуктивности, конденсатор начинает разряжаться, и напряжение на конденсаторе уменьшается до нуля, так как заряд используется током ( $I = \frac{q}{t}$ ).
Теперь конденсатор полностью разряжен, и вся энергия сохраняется в магнитном поле индуктивности. В этот момент ток достигает своего максимального значения, и энергия, сохраненная в индуктивности, определяется по формуле ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .
Из-за отсутствия резистора в цепи нет диссипации энергии. Таким образом, максимальная энергия, сохраненная в конденсаторе, равна максимальной энергии, сохраненной в индуктивности.
В этот момент энергия, сохраненная в магнитном поле вокруг индуктивности, вызывает напряжение на катушке согласно закону Фарадея электромагнитной индукции ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Это индуцированное напряжение вызывает ток, текущий через конденсатор, и конденсатор начинает заряжаться с напряжением противоположной полярности.
Процесс зарядки и разрядки начнется снова, с током, текущим в противоположном направлении через индуктивность, как и раньше.
Таким образом, зарядка и разрядка LC-цепи могут происходить циклически, и энергия колеблется между конденсатором и катушкой индуктивности, пока внутреннее сопротивление не прекратит эти колебания.
На рисунке показаны формы напряжения и тока при зарядке и разрядке.

Формы напряжения и тока при зарядке и разрядке

Применение LC-цепей

Применение LC-цепей включает:
- Основные применения LC-цепей включают множество электронных устройств, особенно радиооборудование, таких как передатчики, радиоприемники, телевизионные приемники, усилители, генераторы, фильтры, настройщики и смесители частот.
- LC-цепи также используются для создания сигналов определенной частоты или извлечения сигнала определенной частоты из более сложного сигнала.
- Основная цель LC-цепи обычно состоит в том, чтобы колебаться с минимальным затуханием, поэтому сопротивление делается как можно меньшим.
- Серийный резонансный контур обеспечивает усиление напряжения.
- Параллельный резонансный контур обеспечивает усиление тока.
Что такое затухание?

Затухание — это уменьшение амплитуды колебаний или волнового движения со временем. Резонанс — это увеличение амплитуды по мере уменьшения затухания.
Заявление: Уважайте оригинальные материалы, качественные статьи достойны распространения. В случае нарушения авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.