LC సర్క్యుట్ విశ్లేషణ: శ్రేణి, సమాంతర సర్క్యుట్లు, సమీకరణాలు మరియు ట్రాన్స్ఫర్ ఫంక్షన్

Electrical4u

ఫీల్డ్: ప్రాథమిక విద్యుత్‌కళా శాస్త్రం

China

LC సర్కిటం ఏంటి?

LC సర్కిట్ (లేదా LC ఫిల్టర్ లేదా LC నెట్వర్క్) అనేది ఎలక్ట్రికల్ సర్కిట్ అనేది పాసివ్ సర్కిట్ ఎలిమెంట్లు L (ఇండక్టర్) మరియు C (కెపాసిటర్) అనేవి కన్నించబడ్డవి. ఇది రిజనెంట్ సర్కిట్, ట్యాంక్ సర్కిట్, లేదా ట్యూన్డ్ సర్కిట్ అని కూడా పిలువబడుతుంది.

ఇది ఒక రిసిస్టర్ లేని ఆధారంగా ఉంటే, LC సర్కిట్ శక్తిని ఉపభోగించదు. ఇది రిసిస్టర్ ఉంటే, RC సర్కిట్లు, RL సర్కిట్లు, RLC సర్కిట్లు వంటివి శక్తిని ఉపభోగిస్తాయి.

అయితే ప్రాయోగిక సర్కిట్లో, LC సర్కిట్ కాంపోనెంట్లు మరియు కనెక్టింగ్ వైర్స్ యొక్క శూన్యంకం హద్దైన రిసిస్టన్స్ కారణంగా కొన్ని శక్తిని ఉపభోగిస్తుంది.

ఎందుకు LC సర్కిట్ని ట్యూన్డ్ సర్కిట్ లేదా ట్యాంక్ సర్కిట్గా పిలుస్తార్?

చార్జ్ కాపాసిటార్ ప్లేట్ల మధ్య మరియు ఇండక్టార్ ద్వారా తిరిగి వచ్చును. శక్తి కాపాసిటార్ మరియు ఇండక్టార్ మధ్య ఒక్ట్ నిరంతరం ప్రవహిస్తుంది, అంతర్ రెసిస్టెన్స్ మరియు కనెక్టింగ్ వైర్స్ ద్వారా ప్రవహనం ముగిస్తుంది.

ఈ సర్కిట్ యొక్క ప్రతిక్రియ ట్యూన్డ్ చర్యక్ మాత్రం, గణితశాస్త్రంలో హార్మోనిక్ ఆస్సిలేటర్గా తెలుస్టుంది, ఇది పెండ్లమ్ వెన్క్ మరియు పాక్లో నీర్ మున్ మరియు ప్రతిక్రియ ప్రవహిస్తుంది; ఈ కార్ణంతో, సర్కిట్ని ట్యూన్డ్ సర్కిట్ లేదా ట్యాంక్ సర్కిట్గా పిలుస్తార్.

ఈ సర్కిట్ విద్యుత్ రెజోన్టర్గా పని చేస్తుంది మరియు రెజోన్ట్ ఫ్రెక్వెన్స్గా పిలుస్తార్ ఫ్రెక్వెన్స్లో శక్తిని ప్రతిక్రియ చేస్తుంది.

సిరీస్ LC సర్కిట్

సిరీస్ LC సర్కిట్లో, ఇండక్టార్ మరియు కాపాసిటార్ రెండు సిరీస్లో కనెక్ట్ చేయబడ్తాయి, ఇది చిత్రంలో చూపబడింది.

సిరీస్ సర్కిట్లో కరెంట్ సర్కిట్లో ఎవ్ర్య్వ్ర్ సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి కరెంట్ ఇండక్టార్ మరియు కాపాసిటార్ ద్వారా ప్రవహిస్తుంది.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

ఇప్పుడు టర్మినల్‌ల మీద ఉన్న మొత్తం వోల్టేజ్, కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్ మరియు ఇండక్టర్ యొక్క వోల్టేజ్‌ల మొత్తం కు సమానం.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

శృంఖల LC చక్రంలో రెజోనెన్స్

వైద్యుత ఫ్రీక్వెన్సీ పెరిగినప్పుడు, ఇండక్టివ్ ఱీఏక్టెన్స్ యొక్క పరిమాణం కూడా పెరుగుతుంది.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

మరియు కాపాసిటివ్ ఱీఏక్టెన్స్ యొక్క పరిమాణం తగ్గుతుంది.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

ఇప్పుడు రెజోనెన్స్ పరిస్థితిలో ఉంటే ఇండక్టివ్ రియాక్టెన్స్ మరియు కెపాసిటివ్ రియాక్టెన్స్ యొక్క మాగ్నిట్యూడ్లు సమానం అవుతాయి.

ఇప్పుడు ఇమ్పీడెన్స్ శ్రేణి LC విద్యుత్ పరికరం ఈ విధంగా నిర్ధారించబడుతుంది

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

ఇక్కడ, $\omega_0$ ఒక రిజనెంట్ కోణీయ తరంగద్రుతి (రేడియన్లు సెకన్లో).

ఇప్పుడు కోణీయ రిజనెంట్ తరంగద్రుతి $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , అప్పుడు ప్రతిరోధం అవుతుంది

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

కాబట్టి, రిజనెంట్ పరిస్థితిలో ఎందుకున్నాయన్నా లో $\omega = \omega_0$ మొత్తం విద్యుత్ ప్రతిరోధం Z శూన్యం అవుతుంది, అంటే XL మరియు XC వాటి పరస్పరం రద్దు చేయబడతాయి. కాబట్టి, సమాంతర సమాంతర LC పరికరానికి అందించబడే కరంట్ గరిష్టంగా ఉంటుంది ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

కాబట్టి, సమాంతర సమాంతర LC పరికరం, లోడ్ కు సమాంతరంగా కనెక్ట్ చేయబడినప్పుడు, రిజనెంట్ తరంగద్రుతిలో శూన్య ప్రతిరోధం ఉన్న బాండ్-పాస్ ఫిల్టర్ వంటి పని చేస్తుంది.

ప్రతీక్షిత తరంగదైర్ధ్యం కన్నా తక్కువ ఉన్నప్పుడు అనగా $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . కాబట్టి చక్రం సమాహరకంగా ఉంటుంది.
ప్రతీక్షిత తరంగదైర్ధ్యం కన్నా ఎక్కువ ఉన్నప్పుడు అనగా $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . కాబట్టి చక్రం ఆవేశకంగా ఉంటుంది.
ప్రతీక్షిత తరంగదైర్ధ్యం లో ఉన్నప్పుడు అనగా $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . విద్యుత్ ప్రవాహం గరిష్ఠంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతికీర్తకం కనిష్ఠంగా ఉంటుంది. ఈ స్థితిలో, చక్రం గ్రహక చక్రంగా పనిచేయవచ్చు.

సమాంతర LC చక్రం

సమాంతర LC చక్రంలో, ఆవేశకం మరియు సమాహరకం రెండూ సమాంతరంగా కన్నేస్తారు, ఇది చిత్రంలో చూపబడింది.

ప్రతి అవయవం యొక్క టర్మినల్‌ల మధ్య వోల్టేజ్ సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, టర్మినల్‌ల మధ్య వోల్టేజ్ ఇండక్టర్ యొక్క వోల్టేజ్‌ను మరియు కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్‌ను సమానంగా ఉంటుంది.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

పారాలల్ LC సర్కిట్‌లో ప్రవహించే మొత్తం కరెంట్ ఇండక్టర్ దాటిన కరెంట్‌ను మరియు కాపాసిటర్ దాటిన కరెంట్‌ను కలిగి ఉంటుంది.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

పారాలల్ LC సర్కిట్‌లో రీజనెన్స్

రీజనెన్స్ పరిస్థితిలో, ఇండక్టివ్ ఱీయాక్టెన్స్ ( $X_L$ ) క్యాపాసిటివ్ ఱీయాక్టెన్స్ ( $X_C$ ) కి సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు రీయాక్టివ్ శాఖ కరెంట్‌లు సమానం మరియు వ్యతిరేకంగా ఉంటాయ. కాబట్టి, వాటి ఒకదానిని రద్దు చేసుకుంటాయి మరియు సర్కిట్‌లో కనిష్ఠ కరెంట్ ఉంటుంది. ఈ స్థితిలో మొత్తం ఇమ్పీడెన్స్ గరిష్ఠంగా ఉంటుంది.

రీజనెన్స్ తరంగదైర్ఘ్యం

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

ఇప్పుడు సమాంతర ఏల్సి చక్రం యొక్క అవరోధం ఈ విధంగా ఉంటుంది

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

ఇప్పుడు కోణీయ రెజనెంట్ తరంగద్రుతి $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , అప్పుడు అవరోధం కింది విధంగా ఉంటుంది

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

అద్దంగా, సహనాంతరంగాల పరిస్థితిలో $\omega = \omega_0$ మొత్తం విద్యుత్ నిరోధం Z అనంతంగా ఉంటుంది మరియు ఒక సమాంతరంగ LC చక్రానికి ఇవ్వబడుతున్న శక్తి చిన్నదిగా ఉంటుంది ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

కాబట్టి, సహాయంగా కన్నెక్ట్ చేయబడిన సమాంతరంగ LC చక్రం, సమాంతరంగ తరంగద్రోణంగా పనిచేస్తుంది, సహనాంతరంగ తుదింపు తరంగద్రోణంగా పనిచేస్తుంది.

సహనాంతరంగ తుదింపు క్రింది తరంగద్రోణం f<f0, XL >> XC. కాబట్టి చక్రం ఇండక్టివ్ గా ఉంటుంది.
సహనాంతరంగ తుదింపు మీది తరంగద్రోణం f>f0, XC >> XL. కాబట్టి చక్రం కెప్సిటివ్ గా ఉంటుంది.
సహనాంతరంగ తుదింపు తరంగద్రోణం f = f0, XL = XC, శక్తి చిన్నదిగా ఉంటుంది మరియు నిరోధం గరిష్ఠంగా ఉంటుంది. ఈ పరిస్థితిలో, చక్రం రిజెక్టర్ చక్రంగా పనిచేస్తుంది.

LC చక్ర సమీకరణాలు

శక్తి మరియు వోల్టేజ్ సమీకరణాలు

ప్రారంభ పరిస్థితిలో:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

ఒప్పటిలో:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

LC సర్క్యూట్ వికలన సమీకరణం

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

శ్రేణిక LC పరికరంలోని ప్రతిబద్ధత

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

సమాంతర ఎల్‌సీ వైద్యుత్‌క్షేత్రం యొక్క ప్రతిబంధక శక్తి

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

సెట్‌టింగ్ సమయం

LC వైద్యుత్‌క్షేత్రం ఒక వైద్యుత్‌ రెజనేటర్గా పనిచేయవచ్చు మరియు శక్తి విద్యుత్ క్షేత్రం మరియు చుమృప్రభా క్షేత్రం మధ్య ఒక ఫ్రీక్వెన్సీ లో ఉంటుంది, దీనిని రెజనేంట్ ఫ్రీక్వెన్సీ అంటారు. ఏదైనా ఒసిలేటరీ వ్యవస్థ కొన్ని సమయం తర్వాత స్థిరావస్థలో చేరుతుంది, దీనిని సెట్‌టింగ్ సమయం అంటారు.

ప్రతిసాధన తగ్గించడం మరియు దాని స్థిరావస్థ విలువిని స్థిరంగా ఉంచడం మరియు దాని చివరి విలువిని దాని నుండి + - 2% లో ఉంటూ ఉండటాన్ని సెట్‌టింగ్ సమయం అంటారు.

LC వైద్యుత్‌క్షేత్రం కరంట్

అనుకుందాం $I(t)$ సరైన కరంట్ వైద్యుత్‌క్షేత్రం దాటినట్లు. ఇండక్టర్ యొక్క వోల్టేజ్ డ్రాప్ కరంట్ $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ మరియు కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్ డ్రాప్ $V = \frac {Q}{C}$ , ఇక్కడ Q కాపాసిటర్ యొక్క స్థితియైన ప్లేట్‌పై నిలబెట్టబడిన చార్జ్.

ఇప్పుడు కిర్చోఫ్ వోల్టేజ్ లవ్ ప్రకారం, ఒక ముందుగా ఆవర్తనంలోని వివిధ ఘటనల యొక్క ప్టెన్షయల్ డ్రాప్ల మొత్తం స్నులు అవ్తుంది.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

పై సమీకరణాన్ L తో భాగించి t యొక్క విశేషణంతో వివేచినప్పుడు, మనం ప్రాప్తించింది

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

ఇప్పుడు సరళమైన హర్మోనిక్ ఒసిలేషన్ల రూపంలో విద్యుత్ ప్రవాహం:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

ఇక్కడ $I_0 > 0$ మరియు $\phi$ స్థిరాంకాలు.

సమీకరణం (5) ను (4) లో ప్రతిస్థాపించగా, మనకు వస్తుంది,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

ఈ సమీకరణం నుండి, LC వానికి ఒక దోలన పరికరంగా ఉందని చెప్పవచ్చు, ఇది రిజనన్ట్ తరంగదైర్ధ్యం అనే తరంగదైర్ధ్యంలో దోలన చేస్తుంది.

LC వానికి వోల్టేజ్

ఇప్పుడు సమీకరణం (3) ప్రకారం, ఇండక్టర్ యొక్క వోల్టేజ్ కు ప్రతిపదించే వోల్టేజ్ కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్ కు వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

సమీకరణం (5) నుండి కరంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని ప్రతిస్థాపించండి, మనకు వస్తుంది

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

ఇతర మార్గంలో, కరంట్ సున్నావశీలయ్యేసారి వోల్టేజ్ గరిష్టం చేస్తుంది మరియు తిరుగుబాటుగా. వోల్టేజ్ ఒసిలేషన్ యొక్క అంతరం కరంట్ ఒసిలేషన్ యొక్క అంతరం ఈ విధంగా ఉంటుంది $\sqrt\frac{L}{C}$ .

LC సర్క్యూట్ యొక్క ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్

ఈ ట్రాన్స్‌ఫర్ ఫంక్షన్ ఇన్‌పుట్ వోల్టేజ్ నుండి కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్ వరకు

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

అదృశ్యంగా, ఇన్‌పుట్ వోల్టేజ్‌ను ఇండక్టర్‌కు మధ్యలో వోల్టేజ్‌ని ప్రతిబంధించడం

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

LC సర్కైట్ యొక్క నైసర్గిక ప్రతిసాధన

కాపాసిటర్ ఆరంభంలో ముందుగా డిస్చార్జ్ అవుతుందని గుర్తించండి మరియు స్విచ్ (K) చాలా ప్రమాణం కాలం ఉంటాయి మరియు t=0 వద్ద దానిని మూసివేయబోతుంది.

t=0 వద్ద– స్విచ్ K తెరవబడినది

ఇది ఒక మొదటి పరిస్థితి, కాబట్టి మనం ఈ విధంగా రాయవచ్చు,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

ఎందుకంటే ఇండక్టర్ ద్వారా ప్రవహించే శక్తి మరియు కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్ త్వరగా మారదు.

అన్ని t>=0+ స్విచ్ K ఆవరించబడుతుంది

ఇప్పుడు వోల్టేజ్ సోర్స్ సర్కిట్లో చేర్చబడుతుంది. కాబట్టి సర్కిట్కు KVL అనువర్తించి, మనకు ఈ విధంగా వస్తుంది,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

ఇక్కడ కాపాసిటర్ యొక్క వోల్టేజ్ శక్తి పదాలలో వ్యక్తం చేయబడింది.

ముందు సమీకరణం ఇంటెగ్రో-డిఫరెన్షియల్ సమీకరణంగా పిలువబడుతుంది. ముందు సమీకరణంలో t వద్ద రెండు వైపులా విభజించగా, మనకు ఈ విధంగా వస్తుంది,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

సమీకరణం (7) ఒక LC సర్కిట్‌కు రెండవ క్రమ విభేద సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.

ప్రతిస్థాపించండి $\frac{d^2}{dt^2}$ అతిథి s2, మనం పొందాము,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

ఇప్పుడు ఈ సమీకరణంలో మూలాలు

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

ఇక్కడ, $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ స్వాబాల ప్రభావ తరంగదైర్ధ్యం.

LC వైద్యుత్‌ పరికరం తరంగదైర్ధ్య ప్రతిసాధన

అయాంక్ పద్ధతిని ఉపయోగించి: తరంగదైర్ధ్య ప్రతిసాధన వ్యవస్థకు సామాన్య సమీకరణం

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

LC వైద్యుత్‌ పరికరం తరంగదైర్ధ్య ప్రతిసాధన

కాపాసిటర్ టర్మినల్స్‌ల మీద విద్యుత్‌ ద్రవ్యమానం జరుగుతుందని ఊహించి, పైన ఉన్న వైద్యుత్‌ పరికరంలో పోటెన్షియల్ డైవాయిడర్ నియమాన్ని అనువర్తించండి

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

ఇక్కడ, $Z_C =$ కాపాసిటర్ యొక్క ప్రతిబద్ధత $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ ఇండక్టర్ యొక్క ప్రతిబద్ధత $= {j \omega L}$

సమీకరణం (9)లో దీనిని ప్రతిస్థాపించగా, మనకు వస్తుంది

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

ఇక్కడ వెలుగవచ్చే వోల్టేజ్ ఇండక్టర్‌పై ఉందని ఊహించండి, ముందు ప్రదర్శించబడిన సర్క్యూట్‌కు పోటెన్షియల్ డైవైడర్ నియమాన్ని అనువర్తించండి

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

ముందు ప్రదర్శించబడిన సమీకరణంలో $Z_C$ మరియు $Z_L$ విలువలను ప్రతిస్థాపించండి, మనకు కింది సమీకరణం వస్తుంది

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

సమీకరణాలు (10) మరియు (12) L-C విద్యుత్ పరికరం యొక్క ఆవర్తన ప్రతిసాధనను సంకీర్ణ రూపంలో చూపుతాయి.

LC విద్యుత్ పరికర విభేద సమీకరణం

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

పై సమీకరణం అవకలన-సమాకలన సమీకరణంగా పిలువబడుతుంది. ఇక్కడ కాపాకిటర్ యొక్క వోల్టేజ్ శరాసనం ప్రవాహం దృష్ట్యా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

ఇప్పుడు, పై సమీకరణాన్ని t లోనికి విభజించి, మనకు వస్తుంది,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

పైన చూపిన సమీకరణం LC వద్ద రెండవ తరగతి డిఫరెన్షియల్ సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది.

ఇది $\frac{d^2}{dt^2}$ ని s2 తో మార్చడం ద్వారా, మనకు కింది సమీకరణం వస్తుంది,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

ఇప్పుడు, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ అనుకొనుము, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , ఇది పైన చూపిన సమీకరణంలో ప్రతిస్థాపించబడుతుంది, అప్పుడు మనకు కింది సమీకరణం వస్తుంది,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

ఎల్‌సి సర్కిట్ చార్జ్ మరియు డిస్చార్జ్

ఎల్సి సర్కిట్‌లో ఇండక్టర్ మరియు కాపాసిటర్ రెండూ శక్తిని నిల్వ చేసే వస్తువులు. ఇండక్టర్‌లో శక్తి దాని ద్వారా ప్రవహించే విద్యుత్ ప్రవాహంపై ఆధారపడి దాని చౌమ్మక క్షేత్రం (బి)లో నిల్వ చేయబడుతుంది, మరియు కాపాసిటర్‌లో శక్తి దాని మధ్య ఉన్న ప్రవాహంపై ఆధారపడి విద్యుత్ క్షేత్రం (ఈ)లో నిల్వ చేయబడుతుంది.

అసలు కాపాసిటర్‌లో ఒక చార్జ్ q ఉన్నట్లు ఊహించండి, అప్పుడు సర్కిట్‌లోని అన్ని శక్తి కాపాసిటర్ విద్యుత్ క్షేత్రంలో నిల్వ చేయబడుతుంది. కాపాసిటర్‌లో నిల్వ చేయబడిన శక్తి

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

LC సర్క్యుట్‌లో చార్జింగ్ మరియు డిస్‌చార్జింగ్

ఇప్పుడు ఒక ఇండక్టర్ ఒక చార్జ్ చేసిన కాపాసిటర్‌కు అనువదించబడినట్లయితే, కాపాసిటర్‌పై వోల్టేజ్ ఇండక్టర్ ద్వారా కరంట్ ప్రవహించనుంది, ఇది ఇండక్టర్ చుట్టూ ఒక చుమృమయ క్షేత్రం ఉత్పత్తి చేస్తుంది, కాపాసిటర్ డిస్‌చార్జింగ్ ప్రారంభించి, కరంట్ ప్రవాహం ద్వారా చార్జ్ నష్టమైనంత కాపాసిటర్‌పై వోల్టేజ్ సున్నాకు చేరుతుంది ( $I = \frac{q}{t}$ ).

ఇప్పుడు కాపాసిటర్ పూర్తిగా డిస్‌చార్జ్ చేశారు మరియు అన్ని ఎనర్జీ ఇండక్టర్ యొక్క చుమృమయ క్షేత్రంలో నిల్వ చేయబడింది. ఈ సమయంలో, కరంట్ తన గరిష్ట విలువను కలిగి ఉంటుంది మరియు ఇండక్టర్‌లో నిల్వ చేయబడిన ఎనర్జీ ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

రెసిస్టర్ లేనంత సర్క్యుట్‌లో ఎనర్జీ నష్టపోతుంది. కాబట్టి, కాపాసిటర్‌లో నిల్వ చేయబడిన గరిష్ట ఎనర్జీ ఇండక్టర్‌లో నిల్వ చేయబడిన గరిష్ట ఎనర్జీకు సమానం.

ఈ సమయంలో ఇండక్టర్ చుట్టూ ఉన్న చుమృమయ క్షేత్రంలో నిల్వ చేయబడిన ఎనర్జీ ప్రకారం కాయిల్‌పై ఒక వోల్టేజ్ ఉత్పత్తి చేస్తుంది ఫారాడే ఇన్‌డక్షన్ లావ్ ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). ఈ ఉత్పత్తి చేయబడిన వోల్టేజ్ కాపాసిటర్ ద్వారా కరంట్ ప్రవహించడం మరియు కాపాసిటర్ విపర్యాయ పోలారిటీతో పునరావశ్యకంగా చార్జ్ చేస్తుంది.

ఈ చార్జింగ్ మరియు డిస్‌చార్జింగ్ ప్రక్రియ మళ్లీ ప్రారంభమవుతుంది, ఇండక్టర్ ద్వారా కరంట్ ముందున్న దిశలో ప్రవహిస్తుంది.

అందువలన, LC సర్క్యూట్‌లో చార్జింగ్ మరియు డిస్చార్జింగ్ విధేయంగా జరిగితే, శక్తి కాపాసిటర్ మరియు ఇండక్టర్ మధ్య తిరిగి తిరిగి ఒప్పటికీ ఉంటుంది, ఇందులో ఆంతరిక రెండాంకులు నిలబెట్టుకొని ఒప్పటిని నిలిపివేస్తాయి.

పటంలో చార్జింగ్ మరియు డిస్చార్జింగ్ వోల్టేజ్ మరియు కరెంట్ వేవ్ ఫార్మ్ చూపబడుతుంది.

చార్జింగ్ మరియు డిస్చార్జింగ్ Lc సర్క్యూట్ వేవ్ ఫార్మ్ — చార్జింగ్ మరియు డిస్చార్జింగ్ వోల్టేజ్ మరియు కరెంట్ వేవ్ ఫార్మ్

LC సర్క్యూట్ అనువర్తనాలు

LC సర్క్యూట్ల అనువర్తనాలు:

LC సర్క్యూట్ అనువర్తనాలు అనేక ఎలక్ట్రానిక్ పరికరాల్లో, విశేషంగా రేడియో పరికరాల్లో మైనా ట్రాన్స్మిటర్లు, రేడియో రిసీవర్లు, టీవీ రిసీవర్లు, అంప్లిఫైర్లు, ఆస్సిలేటర్లు, ఫిల్టర్లు, ట్యూనర్లు, మరియు ఫ్రీక్వెన్సీ మిక్సర్లలో ఉపయోగపడతాయి.
LC సర్క్యూట్లు ఒక నిర్దిష్ట ఫ్రీక్వెన్సీలో సిగ్నల్లను ఉత్పత్తించడం లేదా అధిక సంక్లిష్ట సిగ్నల్లో నిర్దిష్ట ఫ్రీక్వెన్సీలో సిగ్నల్ను గ్రహించడంలో ఉపయోగపడతాయి.
LC సర్క్యూట్ ప్రధాన ఉద్దేశం అనేకటి అతి తక్కువ డాంపింగ్ ద్వారా ఒప్పటికీ ఉంటుంది, కాబట్టి రెండాంకులను అతి తక్కువ చేయబడతాయి.
శ్రేణి రిజనన్స్ సర్క్యూట్ ప్రదానం చేస్తుంది వోల్టేజ్ మాగ్నిఫికేషన్.
సమాంతర రిజనన్స్ సర్క్యూట్ ప్రదానం చేస్తుంది కరెంట్ మాగ్నిఫికేషన్.