LC সার্কিট বিশ্লেষণ: সিরিজ এবং প্যারালাল সার্কিট, সমীকরণ এবং ট্রান্সফার ফাংশন

Electrical4u

ফিল্ড: মৌলিক তড়িৎ

China

LC সার্কিট কি?

একটি LC সার্কিট (যা LC ফিল্টার বা LC নেটওয়ার্ক হিসাবেও পরিচিত) হল বৈদ্যুতিক সার্কিট যা প্যাসিভ সার্কিট উপাদানগুলি একটি ইনডাক্টর (L) এবং একটি ক্যাপাসিটর (C) এর সংযোজন। এটি রেজোন্যান্ট সার্কিট, ট্যাঙ্ক সার্কিট, বা টিউনড সার্কিট হিসাবেও পরিচিত।

আদর্শ সার্কিটে একটি রেসিস্টর না থাকায়, একটি LC সার্কিট কোনো শক্তি খরচ করে না। এটি আদর্শ RC সার্কিট, RL সার্কিট, বা RLC সার্কিট এর মতো নয়, যেগুলি রেসিস্টরের উপস্থিতিতে শক্তি খরচ করে।

তবে, বাস্তব সার্কিটে, উপাদানগুলি এবং সংযোগ তারের অ-শূন্য রোধের কারণে, একটি LC সার্কিট কিছু শক্তি খরচ করবে।

কেন LC সার্কিটকে টিউনড সার্কিট বা ট্যাঙ্ক সার্কিট বলা হয়?

চার্জ ক্যাপাসিটরের প্লেটগুলির মধ্যে এবং ইন্ডাক্টর দিয়ে ফেরত আসে। শক্তি ক্যাপাসিটর এবং ইন্ডাক্টরের মধ্যে অস্থিরভাবে স্থানান্তরিত হয় যতক্ষণ না ঘটনাগুলি ও সংযোজক তারের অভ্যন্তরীণ প্রতিরোধ দ্বারা অস্থিরতা বিলুপ্ত হয়।

এই সার্কিটের কাজ একটি টিউনড কাজের মতো, গাণিতিকভাবে একটি হারমোনিক অস্থিরতা হিসাবে পরিচিত, যা একটি পেন্ডুলাম যা আগাগোড়া দোলায় বা একটি ট্যাঙ্কে পানি যা আগাগোড়া প্রবাহিত হয়; এই কারণে, সার্কিটটি টিউনড সার্কিট বা ট্যাঙ্ক সার্কিট নামে পরিচিত।

সার্কিটটি একটি ইলেকট্রিক্যাল রেজোনেটর হিসাবে কাজ করতে পারে এবং ফ্রিকোয়েন্সি বা রেজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সি নামে পরিচিত একটি ফ্রিকোয়েন্সিতে অস্থিরভাবে শক্তি সঞ্চয় করতে পারে।

সিরিজ LC সার্কিট

সিরিজ LC সার্কিটে, ইন্ডাক্টর এবং ক্যাপাসিটর উভয়ই সিরিজে সংযুক্ত থাকে যা চিত্রে দেখানো হয়েছে।

যেহেতু একটি সিরিজ সার্কিটে সর্বত্র বিদ্যুৎ প্রবাহ একই থাকে, তাই সার্কিটের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত হওয়া বিদ্যুৎ প্রবাহ ইন্ডাক্টর এবং ক্যাপাসিটর দুটির মধ্য দিয়ে প্রবাহিত হওয়া বিদ্যুৎ প্রবাহের সমান।

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

এখন টার্মিনালগুলির মধ্যে সম্পূর্ণ ভোল্টেজটি ক্যাপাসিটর এবং ইনডাক্টরের উপর ভোল্টেজের যোগফলের সমান।

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

সিরিজ LC সার্কিটে রিঝোন্যান্স

যখন ফ্রিকোয়েন্সি বৃদ্ধি পায়, ইনডাক্টিভ রিঅ্যাকট্যান্স এর মাত্রাও বৃদ্ধি পায়

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

এবং ক্যাপাসিটিভ রিঅ্যাকট্যান্স এর মাত্রা হ্রাস পায়।

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

এখন রিজোন্যান্স অবস্থায় ইনডাকটিভ রিঅ্যাকট্যান্স এবং ক্যাপাসিটিভ রিঅ্যাকট্যান্স উভয়ের মান সমান হয়।

এখন একটি ইমপিডেন্স সিরিজ LC সার্কিটের দ্বারা দেওয়া হয়

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

যেখানে, $\omega_0$ একটি রিঝোন্যান্ট কৌণিক ফ্রিকুয়েন্সি (রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ড)।

এখন কৌণিক রিঝোন্যান্ট ফ্রিকুয়েন্সি হল $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , তখন ইমপিডেন্স হয়

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

সুতরাং, রিঝোন্যান্ট শর্তে যখন $\omega = \omega_0$ মোট বৈদ্যুতিক ইমপিডেন্স Z শূন্য হবে, অর্থাৎ XL এবং XC পরস্পর বাতিল করে দেবে। তাই, ধারাবাহিক LC সার্কিটে প্রদত্ত বিদ্যুৎ সর্বোচ্চ হবে ( $I = \frac {V} {Z}$ )।

অতএব, ধারাবাহিক LC সার্কিট, যখন লোডের সাথে ধারাবাহিকভাবে সংযুক্ত হবে, তখন এটি একটি ব্যান্ড-পাস ফিল্টার হিসাবে কাজ করবে যার রিঝোন্যান্ট ফ্রিকুয়েন্সিতে ইমপিডেন্স শূন্য হবে।

রেজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সির নিচে অর্থাৎ $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . তাই বর্তনীটি ক্যাপাসিটিভ।
রেজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সির উপরে অর্থাৎ $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . তাই বর্তনীটি ইনডাকটিভ।
রেজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে অর্থাৎ $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . এই অবস্থায় বিদ্যুৎ সর্বাধিক এবং ইম্পিডেন্স সর্বনিম্ন। এই অবস্থায়, বর্তনীটি একটি অ্যাক্সেপ্টর বর্তনী হিসাবে কাজ করতে পারে।

প্যারালাল LC বর্তনী

প্যারালাল LC বর্তনীতে, ইনডাক্টর এবং ক্যাপাসিটর উভয়ই প্যারালালে সংযুক্ত যা চিত্রে দেখানো হয়েছে।

Parallel LC Circuit — প্যারালাল LC বর্তনী

প্যারালেল সার্কিটের বিভিন্ন উপাদানের প্রতিটি টার্মিনালের ভোল্টেজ একই। তাই টার্মিনালের মধ্যে ভোল্টেজ ইনডাক্টরের মধ্যে ভোল্টেজ এবং ক্যাপাসিটরের মধ্যে ভোল্টেজের সমান।

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

এখন প্যারালেল LC সার্কিটের মধ্য দিয়ে প্রবাহমান মোট বিদ্যুৎ ইনডাক্টরের মধ্য দিয়ে প্রবাহমান বিদ্যুৎ এবং ক্যাপাসিটরের মধ্য দিয়ে প্রবাহমান বিদ্যুতের সমষ্টির সমান।

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

প্যারালেল LC সার্কিটে রিজোন্যান্স

রিজোন্যান্স অবস্থায় যখন ইনডাকটিভ রিঅ্যাকট্যান্স ( $X_L$ ) ক্যাপাসিটিভ রিঅ্যাকট্যান্স ( $X_C$ ) এর সমান, তখন প্রতিক্রিয়াশীল শাখার বিদ্যুৎ সমান এবং বিপরীত। তাই, তারা পরস্পরকে বাতিল করে সার্কিটে সর্বনিম্ন বিদ্যুৎ দেয়। এই অবস্থায় মোট ইমপিডেন্স সর্বোচ্চ।

রিজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সি হল

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

এখন সমান্তরাল LC সার্কিটের একটি প্রতিরোধ দেওয়া হচ্ছে

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

এখন কৌণিক রেজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সি হল $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , তাহলে প্রতিরোধ হয়

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

তাই রিজোন্যান্ট অবস্থায় যখন $\omega = \omega_0$ মোট বৈদ্যুতিক প্রতিরোধ Z অসীম হবে এবং সমান্তরাল LC সার্কিটে প্রদত্ত বিদ্যুৎ সর্বনিম্ন ( $I = \frac {V} {Z}$ )।

তাই সমান্তরাল LC সার্কিট, যখন লোডের সাথে ধারাবাহিকভাবে সংযুক্ত হবে, তখন রিজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে অসীম প্রতিরোধ সহ একটি ব্যান্ড-স্টপ ফিল্টার হিসাবে কাজ করবে। সমান্তরাল LC সার্কিট যখন লোডের সাথে সমান্তরালভাবে সংযুক্ত হবে, তখন এটি একটি ব্যান্ড-পাস ফিল্টার হিসাবে কাজ করবে।

রিজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সির নিচে যখন f<f0, XL >> XC। তাই সার্কিটটি আবেশী।
রিজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সির উপরে যখন f>f0, XC >> XL। তাই সার্কিটটি ধারাবিশিষ্ট।
রিজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে যখন f = f0, XL = XC, বিদ্যুৎ সর্বনিম্ন এবং প্রতিরোধ সর্বোচ্চ। এই অবস্থায়, সার্কিটটি একটি বাতিলকারী সার্কিট হিসাবে কাজ করতে পারে।

LC সার্কিট সমীকরণ

বিদ্যুৎ ও ভোল্টেজ সমীকরণ

প্রাথমিক অবস্থায়:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

অস্থিরতার সময়:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

LC সার্কিটের অন্তরজ সমীকরণ

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

ধারাবাহিক LC সার্কিটের প্রতিরোধ

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

সমান্তরাল LC সার্কিটের প্রতিরোধ

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

সেটিং সময়

LC সার্কিটটি ইলেকট্রিক্যাল রেজোনেটর হিসাবে কাজ করতে পারে এবং বিদ্যুৎ ক্ষেত্র এবং চৌম্বক ক্ষেত্রের মধ্যে শক্তি সঞ্চার করে, যা রেজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সি নামে পরিচিত। যেহেতু যেকোনো অস্থির ব্যবস্থা কিছু সময়ের মধ্যে স্থিতিশীল অবস্থায় পৌঁছায়, যা সেটিং সময় নামে পরিচিত।

প্রতিক্রিয়া কমে গেলে এবং এটি তার স্থিতিশীল মানে পৌঁছালে এবং তারপর থেকে তার চূড়ান্ত মানের ± 2% এর মধ্যে থাকলে, তাকে সেটিং সময় বলা হয়।

LC সার্কিটের ধারণক

ধরুন $I(t)$ হল সার্কিট দিয়ে প্রবাহিত হওয়া তাৎক্ষণিক ধারণক। আবেশকের উপর ভোল্টেজ ড্রপটি ধারণক $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ এবং ক্যাপাসিটরের উপর ভোল্টেজ ড্রপটি $V = \frac {Q}{C}$ , যেখানে Q হল ক্যাপাসিটরের ধনাত্মক প্লেটে সঞ্চিত আধান।

এখন কিরচফের ভোল্টেজ সূত্র অনুযায়ী, একটি বন্ধ লুপের বিভিন্ন উপাদানগুলির মধ্যে প্রবাহিত হওয়া পটেনশিয়াল ড্রপের যোগফল শূন্যের সমান।

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

উপরোক্ত সমীকরণকে L দ্বারা ভাগ করে এবং t এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে আমরা পাই

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (৪) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

এখন সরল হারমোনিক দোলনের ধারায় বর্তমানটি হল:

(৫) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

যেখানে $I_0 > 0$ এবং $\phi$ ধ্রুবক।

সমীকরণ (5) এর মান (4) তে বসিয়ে পাই,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

এই সমীকরণ থেকে আমরা বলতে পারি যে, LC সার্কিটটি একটি দোলনশীল সার্কিট এবং এটি একটি ফ্রিকোয়েন্সিতে দোলন করে যাকে রিজোন্যান্ট ফ্রিকোয়েন্সি বলা হয়।

LC সার্কিট ভোল্টেজ

এখন সমীকরণ (3) অনুসারে, একটি ইনডাক্টরের মধ্যে উৎপন্ন ভোল্টেজ হল ক্যাপাসিটরের মধ্যে ভোল্টেজের বিপরীত।

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

সমীকরণ (৫) থেকে বর্তমানের সমীকরণ প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

অন্য কথায় বললে বর্তমান শূন্য হলে ভোল্টেজ সর্বোচ্চ হয় এবং বিপরীতটাও ঘটে। ভোল্টেজ দোলনের আয়তন বর্তমান দোলনের আয়তনের $\sqrt\frac{L}{C}$ গুণিত হয়।

LC সার্কিটের ট্রান্সফার ফাংশন

ইনপুট ভোল্টেজ থেকে ক্যাপাসিটরের উপর ভোল্টেজের জন্য ট্রান্সফার ফাংশন হল

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

একইভাবে, ইনপুট ভোল্টেজ থেকে ইনডাক্টরের পরিসীমা পর্যন্ত ভোল্টেজের জন্য ট্রান্সফার ফাংশন হল

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

LC সার্কিটের প্রাকৃতিক প্রতিক্রিয়া

ধরা যাক ক্যাপাসিটর আগে থেকেই সম্পূর্ণরূপে ডিচার্জ করা হয়েছে এবং সুইচ (K) খোলা অবস্থায় খুব দীর্ঘ সময় ধরে রাখা হয়েছে এবং এটি t=0 মুহূর্তে বন্ধ করা হয়েছে।

t=0– সুইচ K খোলা

এটি একটি প্রাথমিক অবস্থা তাই আমরা লিখতে পারি,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

কারণ ইনডাক্টর দিয়ে প্রবাহিত বিদ্যুৎ এবং ক্যাপাসিটরের উপর ভোল্টেজ অচিরাতে পরিবর্তিত হতে পারে না।

সমস্ত t>=0+ সুইচ K বন্ধ

এখন বিদ্যুৎ সূত্রটিতে ভোল্টেজ সূত্র প্রবর্তিত হয়। তাই সূত্রে KVL প্রয়োগ করলে আমরা পাই,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

এখানে ক্যাপাসিটরের উপর ভোল্টেজ বিদ্যুতের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে।

উপরের সমীকরণটি ইন্টিগ্রো-ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নামে পরিচিত। উপরের সমীকরণের উভয় পক্ষকে t এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে আমরা পাই,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(৭) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

সমীকরণ (৭) একটি LC সার্কিটের দ্বিতীয় মাত্রার অন্তরজ সমীকরণ নির্দেশ করে।

প্রতিস্থাপন করুন $\frac{d^2}{dt^2}$ s২ দিয়ে, আমরা পাই,

(৮) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

এখন উপরোক্ত সমীকরণের মূলগুলি হল

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

এখানে $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ হল দোলনের স্বাভাবিক কম্পাঙ্ক।

LC সার্কিটের ফ্রিকোয়েন্সি রিস্পন্স

ইমপিডেন্স পদ্ধতি ব্যবহার করে: ফ্রিকোয়েন্সি রিস্পন্স সিস্টেমের জন্য সাধারণ সমীকরণ হল

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

ধরা যাক আউটপুট ভোল্টেজ ক্যাপাসিটরের টার্মিনালগুলোতে ঘটে এবং উপরের সার্কিটে পটেনশিয়াল ডিভাইডার নিয়ম প্রয়োগ করা হয়

(৯) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

যেখানে, $Z_C =$ ক্যাপাসিটরের ইমপিডেন্স $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ ইনডাক্টরের ইমপিডেন্স $= {j \omega L}$

সমীকরণ (৯) এ প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

ধরা যাক আউটপুট ভোল্টেজ ইনডাক্টরের উপর ঘটে, উপরের সার্কিটে পটেনশিয়াল ডিভাইডার নিয়ম প্রয়োগ করুন

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

উপরের সমীকরণে $Z_C$ এবং $Z_L$ এর মান প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(১২) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

সমীকরণ (১০) এবং (১২) জটিল আকারে L-C সার্কিটের ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া নির্দেশ করে।

LC সার্কিটের অন্তরজ সমীকরণ

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

উপরের সমীকরণটিকে ইন্টিগ্রো-ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ বলা হয়। এখানে ক্যাপাসিটরের উপর ভোল্টেজ বর্তমানের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে।

এখন, উপরের সমীকরণটির উভয় পক্ষকে t-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে পাওয়া যায়,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(১৩) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

উপরের সমীকরণটি LC সার্কিটের দ্বিতীয়-ক্রম অন্তরজ সমীকরণ নির্দেশ করে।

$\frac{d^2}{dt^2}$ কে s2 দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই,

(১৪) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

এখন, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ তাই, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , এটি উপরের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

LC সার্কিটের চার্জিং এবং ডিচার্জিং

একটি LC সার্কিটে ইনডাক্টর এবং ক্যাপাসিটর উভয়ই শক্তি সঞ্চয়কারী উপাদান, অর্থাৎ ইনডাক্টর এর মধ্যে শক্তি সঞ্চয় করে চৌম্বক ক্ষেত্র (B), এর মধ্য দিয়ে প্রবাহিত হওয়া বিদ্যুত প্রবাহের উপর নির্ভর করে, এবং ক্যাপাসিটর তার পরিবহনকারী প্লেটগুলির মধ্যে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র (E) এ শক্তি সঞ্চয় করে, এর উপর নির্ভর করে এর উপর বিভব।

ধরা যাক প্রথমত, ক্যাপাসিটরে q চার্জ রয়েছে, এবং তারপর সার্কিটের সমস্ত শক্তি প্রাথমিকভাবে ক্যাপাসিটরের বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রে সঞ্চিত আছে। ক্যাপাসিটরে সঞ্চিত শক্তি হল

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

এখন যদি একটি ইনডাক্টর একটি চার্জ করা ক্যাপাসিটরের সাথে সংযুক্ত হয়, তাহলে ক্যাপাসিটরের উপর ভোল্টেজ ইনডাক্টর দিয়ে বিদ্যুৎ প্রবাহ ঘটায়, যা ইনডাক্টরের চারপাশে চৌম্বক ক্ষেত্র তৈরি করে, ক্যাপাসিটর ডিচার্জ শুরু করে এবং ক্যাপাসিটরের উপর ভোল্টেজ শূন্য হয়ে যায় যখন চার্জ বিদ্যুৎ প্রবাহ দ্বারা ব্যবহৃত হয় ( $I = \frac{q}{t}$ )।

এখন ক্যাপাসিটর সম্পূর্ণরূপে ডিচার্জ হয়েছে এবং সমস্ত শক্তি ইনডাক্টরের চৌম্বক ক্ষেত্রে সঞ্চিত হয়। এই মুহূর্তে, বিদ্যুৎ প্রবাহ তার সর্বোচ্চ মানে থাকে এবং ইনডাক্টরে সঞ্চিত শক্তি হয় ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ )।

রেজিস্টরের অনুপস্থিতিতে, সার্কিটে কোনও শক্তি বিলুপ্ত হয় না। তাই, ক্যাপাসিটরে সর্বোচ্চ সঞ্চিত শক্তি ইনডাক্টরে সর্বোচ্চ সঞ্চিত শক্তির সমান।

এই মুহূর্তে ইনডাক্টরের চারপাশে সঞ্চিত চৌম্বক ক্ষেত্রের শক্তি ফারাডের বৈদ্যুত-চৌম্বক আবেশের সূত্র অনুযায়ী কয়েলের উপর ভোল্টেজ তৈরি করে (ফারাডের বৈদ্যুত-চৌম্বক আবেশের সূত্র) ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ )। এই প্রবৃদ্ধ ভোল্টেজ ক্যাপাসিটর দিয়ে বিদ্যুৎ প্রবাহ ঘটায় এবং ক্যাপাসিটর বিপরীত পোলারিটির ভোল্টেজে পুনরায় চার্জ শুরু করে।

এই চার্জ এবং ডিচার্জ প্রক্রিয়া আবার শুরু হবে, ইনডাক্টর দিয়ে বিদ্যুৎ প্রবাহ পূর্ববর্তী মতো বিপরীত দিকে ঘটবে।

তাই LC সার্কিটের চার্জ এবং ডিচার্জ চক্রাকারে হতে পারে এবং শক্তি ক্যাপাসিটর এবং ইনডাক্টরের মধ্যে পরস্পর দোলায়মান হয় যতক্ষণ না অভ্যন্তরীণ রোধ দোলনগুলি বন্ধ করে দেয়।

চিত্রটি চার্জ এবং ডিচার্জ ভোল্টেজ এবং বিদ্যুৎ তরঙ্গপ্রকৃতি দেখায়।

Charging and Discharging Lc Circuit Waveform — চার্জ এবং ডিচার্জ ভোল্টেজ এবং বিদ্যুৎ তরঙ্গপ্রকৃতি

LC সার্কিটের প্রয়োগ

LC সার্কিটের প্রয়োগগুলি হল:

LC সার্কিটের প্রয়োগ বিভিন্ন ইলেকট্রনিক ডিভাইসে বিশেষ করে রেডিও উপকরণে যেমন ট্রান্সমিটার, রেডিও রিসিভার, টিভি রিসিভার, আম্প্লিফায়ার, অসিলেটর, ফিল্টার, টিউনার এবং ফ্রিকোয়েন্সি মিক্সারে ব্যবহৃত হয়।
LC সার্কিট একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে সিগন্যাল তৈরি করার জন্য বা একটি জটিল সিগন্যাল থেকে একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে সিগন্যাল গ্রহণ করার জন্যও ব্যবহৃত হয়।
একটি LC সার্কিটের প্রধান উদ্দেশ্য সাধারণত সর্বনিম্ন ড্যাম্পিং সহ দোলায়মান হওয়া, তাই রোধ সম্ভব সর্বনিম্ন করা হয়।
একটি সিরিজ রেজোন্যান্স সার্কিট প্রদান করে ভোল্টেজ বৃদ্ধি।
একটি সমান্তরাল রেজোন্যান্স সার্কিট প্রদান করে বিদ্যুৎ বৃদ্ধি।