Analýza LC obvodů: série a paralelní obvody, rovnice a přenosová funkce

Electrical4u

Pole: Základní elektrotechnika

China

Co je LC obvod?

LC obvod (také známý jako LC filtr nebo LC síť) je definován jako elektrický obvod složený z pasivních prvků obvodu, kterými jsou cívka (L) a kapacitor (C) spojené spolu. Je také nazýván rezonančním obvodem, nádržovým obvodem nebo laděným obvodem.

Díky absenci odporu v ideální formě obvodu, LC obvod ne spotřebovává žádnou energii. To se liší od ideálních forem RC obvodů, RL obvodů, nebo RLC obvodů, které spotřebovávají energii díky přítomnosti odporníku.

Nicméně v praktickém obvodu bude LC obvod vždy spotřebovávat nějakou energii kvůli nenulovému odporu součástek a spojovacích drátů.

Proč se obvod LC nazývá laděný obvod nebo nádržový obvod?

Náboj proudí sem a tam mezi deskami kondenzátoru a skrz cívku. Energie osciluje mezi kondenzátorem a cívkou, dokud vnitřní odpor komponentů a spojovacích drátů nedovede k zániku oscilací.

Funkce tohoto obvodu je podobná laděné akci, matematicky známé jako harmonický oscilátor, který je podobný kyvadlu, kyvajícímu se sem a tam, nebo vodě, přetékající sem a tam v nádrži; proto se tento obvod nazývá laděný obvod nebo nádržový obvod.

Tento obvod může působit jako elektrický rezonátor a ukládat energii oscilující na frekvenci, která se nazývá rezonanční frekvence.

Sériový obvod LC

V sériovém obvodu LC jsou cívka a kondenzátor spojeny v sérii, jak je znázorněno na obrázku.

V sériovém obvodu je proud stejný všude v obvodu, a proto je proud toku roven proudu procházejícímu cívkou a kondenzátorem.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Celkové napětí mezi terminály je rovno součtu napětí na kondenzátoru a napětí na cíve.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Rezonance v sériovém LC obvodu

Když se frekvence zvyšuje, zvyšuje se také velikost indukční reaktance.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

a velikost kapacitní reaktance klesá.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Nyní v rezonančním stavu se velikost induktivní reaktance a kapacitní reaktance stává stejnou.

Nyní je impedance sériového LC obvodu dána vztahem

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Nyní v rezonančním stavu se velikost induktivní reaktance a kapacitní reaktance stává stejnou.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Kde $\omega_0$ je rezonanční kruhová frekvence (radiány za sekundu).

Nyní je rezonanční kruhová frekvence $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , pak se impedance stane

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Tedy v rezonančním stavu, když $\omega = \omega_0$ celková elektrická impedance Z bude nulová, což znamená, že XL a XC se navzájem vyruší. tedy, proud dodávaný do sériového LC obvodu je maximální ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Proto sériový LC obvod, když je připojen v sérii s nákladem, bude fungovat jako propustný pásmový filtr s nulovou impedancí na rezonanční frekvenci.

Při frekvenci nižší než rezonanční frekvence tedy $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Tedy obvod je kapacitivní.
Při frekvenci vyšší než rezonanční frekvence tedy $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Tedy obvod je induktivní.
Při rezonanční frekvenci tedy $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . proud je maximální a impedancí minimální. V tomto stavu může obvod fungovat jako přijímací obvod.

Paralelní LC obvod

V paralelním LC obvodu jsou cívka a kondenzátor spojeny paralelně, jak je znázorněno na obrázku.

Parallel LC Circuit — Paralelní LC obvod

Napětí mezi každým terminálem různých prvků v paralelním obvodu je stejné. Proto je napětí mezi terminály rovno napětí na cívečce a napětí na kondenzátoru.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Celkový proud protékající paralelním LC obvodem je roven součtu proudu protékajícího cívečkou a proudu protékajícího kondenzátorem.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Rezonance v paralelním LC obvodu

V rezonačním stavu, kdy induktivní reaktance ( $X_L$ ) je rovna kapacitní reaktanci ( $X_C$ ), jsou reaktivní proudy v odvětvích rovny a opačně orientovány. Proto se navzájem ruší a dávají minimální proud v obvodu. V tomto stavu je celková impedace maximální.

Rezonanční frekvence je dána vztahem

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Teď je impedancí paralelní LC obvodu dána vztahem

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Teď je úhlová rezonanční frekvence $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , pak se impedancí stane

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Tedy v rezonančním stavu, když $\omega = \omega_0$ celkový elektrický impedancí Z bude nekonečný a proud dodávaný paralelnímu LC obvodu bude minimální ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Proto paralelní LC obvod, když je připojen sériově s nákladem, působí jako pásmový závorový filtr s nekonečnou impedancí na rezonanční frekvenci. Paralelní LC obvod připojen paralelně s nákladem působí jako pásmový propustný filtr.

Na frekvenci nižší než rezonanční frekvence, tedy f<f0, XL >> XC. Tedy obvod je induktivní.
Na frekvenci vyšší než rezonanční frekvence, tedy f>f0, XC >> XL. Tedy obvod je kapacitivní.
Na rezonanční frekvenci, tedy f = f0, XL = XC, proud je minimální a impedancí je maximální. V tomto stavu může obvod působit jako odmítací obvod.

Rovnice LC obvodu

Rovnice pro proud a napětí

V počátečním stavu:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

Při kmitání:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Diferenciální rovnice obvodu LC

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedance cirkvitu LC v sérii

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Impedance paralelního LC obvodu

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Dosažení ustáleného stavu

LC obvod může fungovat jako elektrický rezonátor a ukládat energii, která osciluje mezi elektrickým polem a magnetickým polem na frekvenci zvané rezonanční frekvence. Protože jakýkoli oscilující systém dosáhne ustáleného stavu v nějakém čase, známém jako doba dosažení ustáleného stavu.

Čas potřebný pro snížení odpovědi a dosažení ustálené hodnoty, při které se zůstává v rozmezí ±2% konečné hodnoty, se nazývá doba dosažení ustáleného stavu.

Proud v LC obvodu

Předpokládejme, že $I(t)$ je okamžitý proud pramenící obvodem. Napěťový spád napříč cívkou je vyjádřen v termínech proudu $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ a napěťový spád napříč kondenzátorem je $V = \frac {Q}{C}$ , kde Q je náboj uložený na pozitivní desce kondenzátoru.

Podle Kirchhoffova zákona o napětí je součet potenciálních klesání v různých částech uzavřené smyčky roven nule.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Pokud vydělíme předchozí rovnici L a zderivujeme ji podle t, dostaneme

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Nyní je proud v jednoduchých harmonických kmitání dáno vztahem:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Kde $I_0 > 0$ a $\phi$ jsou konstanty.

Dosazením hodnoty rovnice (5) do (4) dostáváme,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Z uvedené rovnice lze vyvodit, že LC obvod je oscilující obvod a osciluje s frekvencí nazývanou rezonanční frekvence.

Napětí v LC obvodu

Nyní podle rovnice (3) je indukované napětí na cívce rovno zápornému napětí na kondenzátoru.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Dosadíme rovnici pro proud z rovnice (5), dostaneme

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

Jinak řečeno, napětí dosáhne maxima, když proud dosáhne nuly a naopak. Amplituda oscilace napětí je amplitudou oscilace proudu vynásobenou $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Přenosová funkce obvodu LC

Přenosová funkce od vstupního napětí k napětí na kondenzátoru je

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Podobně je přenosová funkce od vstupního napětí k napětí na cíve

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Přirozená odezva obvodu LC

Předpokládejme, že kondenzátor je počátečně plně vyboulený a spínač (K) je otevřen po velmi dlouhou dobu a uzavřen v čase t=0.

V čase t=0– je spínač K otevřen

Jedná se o počáteční stav, proto můžeme napsat,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Protože proud procházející cívkou a napětí na kondenzátoru nemohou okamžitě změnit svou hodnotu.

Pro všechny t>=0+ je přepínač K zavřen

Nyní je do obvodu zaveden napěťový zdroj. Aplikací pravidla KVL (Kruhového zákona Kirchhoffa) na tento obvod, dostaneme,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Zde je napětí na kondenzátoru vyjádřeno v závislosti na proudu.

Výše uvedená rovnice se nazývá integro-diferenciální rovnice. Derivací obou stran této rovnice podle t, dostaneme,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Rovnice (7) naznačuje diferenciální rovnici druhého řádu pro obvod LC.

Nahraďte $\frac{d^2}{dt^2}$ s s2, dostaneme,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Kořeny výše uvedené rovnice jsou

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Zde $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ je přirozená frekvence oscilace.

Frekvenční charakteristika LC obvodu

Použitím metody impedancí: Obecná rovnice pro frekvenční odezvu systému je

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Předpokládejme, že výstupní napětí se vyskytuje na terminálech kondenzátoru, použijte pravidlo dělení napětí na výše uvedený obvod

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Kde, $Z_C =$ impedancí kondenzátoru $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ impedancí cívky $= {j \omega L}$

Dosazením do rovnice (9) dostaneme

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Předpokládejme, že výstupní napětí se objevuje na cívkovém článku, použijte pravidlo dělení napětí k výše uvedené obvod

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Dosazením hodnoty $Z_C$ a $Z_L$ do výše uvedené rovnice získáme

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Rovnice (10) a (12) ukazují frekvenční odezvu L-C obvodu v komplexním tvaru.

Diferenciální rovnice L-C obvodu

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Výše uvedená rovnice se nazývá integro-diferenciální rovnice. Napětí na kondenzátoru je zde vyjádřeno pomocí proudu.

Nyní, když odvodíme tuto rovnici podle t, dostaneme:

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Výše uvedená rovnice vyjadřuje diferenciální rovnici druhého řádu pro obvod LC.

Nahraďte $\frac{d^2}{dt^2}$ s2, dostaneme,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Nyní, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ tedy, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , dosazením do výše uvedené rovnice dostaneme,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Nabíjení a vybíjení LC obvodu

V LC obvodu jsou cívka a kondenzátor oba úložnými prvky, tj. cívka ukládá energii v jejím magnetickém poli (B), v závislosti na proudu, který jí prochází, a kondenzátor ukládá energii v elektrickém poli (E) mezi svými vodičovými deskami, v závislosti na napětí mezi nimi.

Předpokládejme, že počátečně obsahuje kondenzátor náboj q, a pak je všechna energie obvodu počátečně uložena v elektrickém poli kondenzátoru. Energie uložená v kondenzátoru je

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Pokud je cívka připojena k nabité kondenzátorové části, napětí na kondenzátoru způsobí proudění proudu cez cívku, což vytvoří magnetické pole okolo cívky. Kondenzátor začne vybíjet a napětí na kondenzátoru se sníží na nulu, jak se náboj spotřebuje proudem ( $I = \frac{q}{t}$ ).

Teď je kondenzátor úplně vybíjen a všechna energie je uložena v magnetickém poli cívky. V tomto okamžiku je proud na své maximální hodnotě a energie uložená v cívce je dána vztahem ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Vzhledem k absence odporu se v obvodu neodvádí žádná energie. Tedy, maximální energie uložená v kondenzátoru je rovna maximální energii uložené v cívce.

V tomto okamžiku energie uložená v magnetickém poli okolo cívky indukuje napětí na cívkové cestě podle Faradayho zákona elektromagnetické indukce ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Toto indukované napětí způsobí proudění proudu cez kondenzátor a kondenzátor začne nabíjet s napětím opačné polaritou.

Tento proces nabíjení a vybíjení začne znovu, s proudem proudícím v opačném směru cez cívku, jako předtím.

Tedy nabíjení a vybíjení LC obvodu může probíhat cyklicky a energie osciluje mezi kondenzátorem a cívkou, dokud vnitřní odpor nezpůsobí, že oscilace zaniknou.

Obrázek ukazuje vlnové tvarové napětí a proud při nabíjení a vybíjení.

Nabíjení a vybíjení LC obvodu - vlnový tvar — Vlnový tvar napětí a proudu při nabíjení a vybíjení

Aplikace LC obvodů

Aplikace LC obvodů zahrnují:

Aplikace LC obvodů se často objevují v mnoha elektronických zařízeních, zejména v rádiovém vybavení, jako jsou vysílače, přijímače rádia a televize, zesilovače, oscilátory, filtry, ladicí obvody a frekvenční mixery.
LC obvody se také používají pro generování signálů na určité frekvenci nebo pro vytvoření signálu z komplexnějšího signálu na určité frekvenci.
Hlavním účelem LC obvodu je obvykle oscilovat s minimálním tlumením, proto se odpor snižuje co nejvíce.
Sériový rezonanční obvod poskytuje výškové zvětšení.
Paralelní rezonanční obvod poskytuje proudové zvětšení.