Анализ на LC верига: сериен и паралелен вериг, уравнения и преходна функция

Electrical4u

Поле: Основни електротехника

China

Какво е LC верига?

LC верига (също известна като LC филтър или LC мрежа) се дефинира като електрическа верига, състояща се от пасивни елементи на електрическа верига, като индуктивност (L) и кондензатор (C), свързани заедно. Тя се нарича също резонансна верига, танкова верига или настроена верига.

Поради липсата на резистор в идеалната форма на веригата, LC веригата не изразходва енергия. Това е различно от идеалните форми на RC вериги, RL вериги, или RLC вериги, които изразходват енергия поради наличието на резистор.

Въпреки това, в практическия вариант на веригата, LC веригата винаги ще изразходва някаква енергия поради ненулевото съпротивление на компонентите и свързващите жici.

Защо LC-веригата се нарича настроена верига или резервоарна верига?

Зарядът се движи напред и назад между пластините на кондензатора и през индуктора. Енергията осцилнира между кондензатора и индуктора, докато вътрешното съпротивление на компонентите и свързващите жици не накарат осцилациите да изчезнат.

Действието на тази верига е като настроено действие, математически известно като хармоничен осцилатор, което е подобно на махало, което се люлее напред и назад, или на вода, която се движи напред и назад в резервоар; поради тази причина, веригата се нарича настроена верига или резервоарна верига.

Веригата може да действа като електрически резонатор и да съхранява енергия, осцилнираща на честота, наречена резонансна честота.

Сериозна LC-верига

В сериозната LC-верига, индукторът и кондензаторът са свързани последователно, както е показано на фигурата.

Тъй като в сериозната верига токът е еднакъв навсякъде в веригата, то токът, който протича, е равен на тока през индуктора и кондензатора.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Сега общото напрежение между краищата е равно на сумата от напрежението в кондензатора и напрежението в индуктивността.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Резонанс в серия LC цеп

Когато честотата се увеличава, големината на индуктивната реактивна съпротива също се увеличава

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

и големината на капацитивната реактивна съпротива намалява.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Сега при резонансно състояние големината на индуктивното и капацитивното реактивно съпротивление става равна.

Сега импеданс на LC веригата в série е даден от

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Където $\omega_0$ е резонансната ъглова честота (радиани в секунда).

Сега резонансната ъглова честота е $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , тогава импедансът става

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Така при резонансно състояние, когато $\omega = \omega_0$ общият електрически импеданс Z ще бъде нула, което означава, че XL и XC се компенсират взаимно. Следователно, токът, подаден към LC верига в ред, е максимален ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Следователно LC верига в ред, когато е свързана в ред с товара, ще действа като пропускащ филтър на лента, имащ нулев импеданс на резонансната честота.

При честота под нарезонансната честота, т.е. $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Следователно, веригата е ёмкостна.
При честота над нарезонансната честота, т.е. $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Следователно, веригата е индуктивна.
При резонансна честота, т.е. $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . токът е максимален и импедансът е минимален. В това състояние, веригата може да действа като приемник.

Паралелна LC верига

В паралелната LC верига, индукторът и кондензаторът са свързани паралелно, както е показано на фигурата.

Parallel LC Circuit — Паралелна LC верига

Напругата върху всеки терминал на различните елементи в успоредна верига е еднаква. Следователно напрегнатостта върху терминалите е равна на напрегнатостта върху индуктора и напрегнатостта върху кондензатора.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Сега общият ток, протичащ през успоредната LC верига, е равен на сумата от тока, протичащ през индуктора, и тока, протичащ през кондензатора.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Резонанс в успоредна LC верига

При резонансни условия, когато индуктивното реактивно съпротивление ( $X_L$ ) е равно на капацитивното реактивно съпротивление ( $X_C$ ), реактивният ток във всяка грана е равен и обратен. Следователно те се компенсират помежду си, давайки минимален ток в веригата. В това състояние общото импеданс е максимален.

Резонансната честота се определя по формулата

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Сега импедансът на паралелната LC верига е даден от

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Сега ъгловата резонансна честота е $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , тогава импедансът става

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Таким образом, при резонансном състояние, когато $\omega = \omega_0$ общата електрическа импеданс Z ще бъде безкрайна и токът, доставян до паралелен LC контур, е минимален ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Следователно, паралелният LC контур, когато е свързан поредно с натоварването, ще действа като филтър за блокиране на лента с безкрайна импеданс при резонансната честота. Паралелният LC контур, свързан паралелно с натоварването, ще действа като филтър за пропускане на лента.

При честоти под резонансната честота, т.е. f<f0, XL >> XC. Следователно, контурът е индуктивен.
При честоти над резонансната честота, т.е. f>f0, XC >> XL. Следователно, контурът е капацитивен.
При резонансната честота, т.е. f = f0, XL = XC, токът е минимален, а импедансът е максимален. В това състояние, контурът може да действа като отхвърлящ контур.

Уравнения на LC контура

Уравнения за ток и напрежение

При началното състояние:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

При колебания:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Диференциално уравнение на LC верига

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Импеданс на сериен LC контур

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Импеданс на паралелен LC контур

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Време за установяване

LC контурът може да действа като електрически резонатор и съхранява енергия, която осцилира между електричното поле и магнитното поле на честота, наречена резонансна честота. Тъй като всяка осцилираща система достига до стационарно състояние в някакъв момент, известен като време за установяване.

Времето, необходимо за реакцията, за да намалее и стане стабилна при своята стационарна стойност и да остане след това в рамките на +- 2% от финалната си стойност, се нарича време за установяване.

Ток в LC контура

Предположим, че $I(t)$ е моментният ток, протичащ през контура. Нападението в индуктивността се изразява чрез тока $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ , а нападението в кондензатора е $V = \frac {Q}{C}$ , където Q е зарядът, съхранен на положителната плочка на кондензатора.

Сега, според закона на Кирхоф за напрежението, сумата от потенциалните падове в различните компоненти на затворена верига е равна на нула.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Разделяйки горното уравнение на L и диференцирайки го спрямо t, получаваме

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Сега токът в едно просто гармонично колебание се дава от:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Където $I_0 > 0$ и $\phi$ са константи.

При заместване на стойността на уравнение (5) в (4) получаваме,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Така от горното уравнение можем да кажем, че LC веригата е колебателна верига и тя колебае с честота, наречена резонансна честота.

Напруга в LC верига

Сега, според уравнение (3), индуцираната напруга в индуктивността е минус напрегата в кондензатора.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Заместете уравнението за тока от уравнение (5), получаваме

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

С други думи, напрежението достига максимум, когато токът достига нула и обратно. Амплитудата на колебанията на напрежението е амплитудата на колебанията на тока, умножена по $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Преходна функция на LC контура

Преходната функция от входното напрежение до напрежението в кондензатора е

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

По същество, трансферната функция от входното напрежение към напрежението в кондензатора е

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Естествена реакция на LC верига

Да предположим, че кондензаторът е изцяло разladen и ключът (K) е дълго време отворен, а при t=0 е затворен.

При t=0– ключ K е отворен

Това е начално състояние, следователно можем да запишем,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Тъй като токът през индуктора и напрежението в кондензатора не могат да се променят мигновено.

За всички t>=0+ ключът K е затворен

Сега напрегателният източник е въведен в края. Следователно, прилагайки KVL (Закон за запазване на напрежението) към края, получаваме,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Тук напрежението в кондензатора е изразено чрез тока.

Посочното уравнение се нарича интегро-диференциално уравнение. Диференцирайки двете страни на посочното уравнение спрямо t, получаваме,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Уравнение (7) указва на диференциално уравнение от втори ред за LC верига.

Заместете $\frac{d^2}{dt^2}$ с s2, получаваме,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Сега корените на горното уравнение са

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Тук $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ е естествената честота на колебанията.

Честотна характеристика на LC веригата

Използвайки метода на импедансата: Общото уравнение за честотна характеристика на системата е

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Приемаме, че изходното напрежение се появява върху терминалите на кондензатора, приложете правилото за делител на потенциала към горната верига

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Където, $Z_C =$ импеданс на кондензатора $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ импеданс на индуктора $= {j \omega L}$

Замествайки го в уравнение (9), получаваме

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Приемете, че изходното напрежение се появява в индуктора, приложете правилото за делене на потенциала към горния цеп.

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Заместете стойността на $Z_C$ и $Z_L$ в горното уравнение, получаваме

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Уравнения (10) и (12) показват честотния отговор на LC верига в комплексна форма.

Диференциално уравнение на LC верига

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Показаното по-горе уравнение се нарича интегро-диференциално уравнение. Напругата през кондензатора е изразена чрез тока.

Сега, диференцирайки горното уравнение от двете страни спрямо t, получаваме,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Показаното уравнение указва вторият ред диференциално уравнение на LC-веригата.

Заместете $\frac{d^2}{dt^2}$ с s2, получаваме,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Сега, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ следователно, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , като го въведем в горното уравнение, получаваме,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Зареждане и разтоварване на LC контур

В LC контура индукторът и кондензаторът са елементи за съхранение, т.е. индукторът съхранява енергия в своя магнитно поле (B), в зависимост от тока, минаващ през него, а кондензаторът съхранява енергия в електричното поле (E) между своите проводящи платки, в зависимост от напрежението, приложено към него.

Предположете, че в началото кондензаторът съдържа заряд q и всичката енергия на контура е изначало съхранена в електричното поле на кондензатора. Енергията, съхранена в кондензатора, е

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Ако сега индуктор е свързан към зареден кондензатор, напрежението върху кондензатора ще причини ток да протече през индуктора, което произвежда магнитно поле около индуктора, кондензаторът започва да се разтоварва и напрежението върху кондензатора намалява до нула, докато зарядът се използва от тока ( $I = \frac{q}{t}$ ).

Сега кондензаторът е напълно разтоварен и всичката енергия е съхранена в магнитното поле на индуктора. В този момент токът е на максимална стойност и енергията, съхранена в индуктора, е дадена от ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Поради липсата на резистор, няма дисипация на енергия в цепта. Следователно, максималната енергия, съхранена в кондензатора, е равна на максималната енергия, съхранена в индуктора.

В този момент съхранената енергия в магнитното поле около индуктора индуцира напрежение върху бобината според закона на Фарадей за електромагнитната индукция ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Това индуцирано напрежение причинява ток да протече през кондензатора и кондензаторът започва да се зарежда с напрежение от противоположна полярност.

Процесът на зареждане и разтоварване ще започне отново, с тока, протичащ в обратна посока през индуктора, както преди.

Така зареждането и разтоварването на LC контура може да се извършва циклично и енергията да осцилне напред-назад между кондензатора и индуктора, докато вътрешното съпротивление не накара осцилациите да спрат.

Фигурата показва формите на напрежението и тока при зареждане и разтоварване.

Форми на напрежението и тока при зареждане и разтоварване на LC контур — Форми на напрежението и тока при зареждане и разтоварване

Приложения на LC контура

Приложенията на LC контуровете включват:

Приложенията на LC контура обикновено включват множество електронни устройства, особено радиоапаратура като предаватели, радиоприемници, телевизионни приемници, усилватели, осцилатори, филтри, тюнери и смесители за честота.
LC контурите се използват също за генериране на сигнали на определена честота или приемане на сигнал от по-сложен сигнал на определена честота.
Основната цел на LC контура е обикновено да осцилне с минимално демпфирование, затова съпротивлението се прави колкото е възможно по-ниско.
Сериен резонансен контур предоставя увеличение на напрежението.
Паралелен резонансен контур предоставя увеличение на тока.

Какво е демпфирование?

Демпфированието е намаление на амплитудата на осцилацията или вълновото движение с времето. Резонансът е увеличение на амплитудата, когато демпфированието намалява.

Изявление: Уважавайте оригинала, добри статии заслужават да се споделят, ако има нарушение на авторските права, моля, свържете се за изтриване.

Дайте бакшиш и поощрете автора

Теми:

Теория на електричните вериги

RLC верижка

За експертите

Electrical4u

China

Област на експертиза

Basic Electrical

Профессионална статия

607