LC回路解析：直列および並列回路、方程式および伝達関数

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フィールド: 基本電気

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LC回路とは何か

LC回路（LCフィルタまたはLCネットワークとも呼ばれる）は、電気回路であり、パッシブ回路要素であるインダクタ（L）とコンデンサ（C）が接続されたものです。また、共振回路、タンク回路、またはチューニング回路とも呼ばれます。

理想的な形の回路には抵抗器が存在しないため、LC回路はエネルギーを消費しません。これは、理想的な形のRC回路、RL回路、またはRLC回路とは異なります。これらの回路では、抵抗器の存在によりエネルギーが消費されます。

ただし、実際の回路では、部品や接続配線の非ゼロ抵抗により、LC回路は常に一部のエネルギーを消費します。

LC回路がチューニング回路またはタンク回路と呼ばれる理由

電荷はコンデンサーのプレート間を往復し、インダクタを通ります。エネルギーはコンデンサーとインダクタの間で振動し、部品や接続線の内部抵抗により振動が徐々に衰えていきます。

この回路の動作は、数学的には調和振動子として知られており、振り子の往復運動やタンク内の水の往復流動に似ています。そのため、この回路はチューニング回路またはタンク回路と呼ばれています。

この回路は電気的共振器として機能し、共鳴周波数と呼ばれる周波数でエネルギーを蓄積して振動します。

直列LC回路

直列LC回路では、インダクタとコンデンサーが直列に接続されています。これは図に示されています。

直列回路では、回路全体で電流が同じであるため、インダクタとコンデンサーを通る電流は等しくなります。

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

今、端子間の全電圧はコンデンサとインダクタの電圧の合計に等しい。

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

直列LC回路の共振

周波数が増加するとインダクティブリアクタンスの大きさも増加する。

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

そしてキャパシティブリアクタンスの大きさは減少する。

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

共振状態では、インダクティブリアクタンスとキャパシティブリアクタンスの大きさが等しくなります。

シリーズLC回路のインピーダンスは以下の式で与えられます。

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

共振状態では、インダクティブリアクタンスとキャパシティブリアクタンスの大きさが等しくなります。

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

ここで、 $\omega_0$ は共振角周波数（ラジアン/秒）です。

共振角周波数は $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ であり、インピーダンスは次のようになります

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

したがって、共振条件で $\omega = \omega_0$ 電気インピーダンスZはゼロとなり、XLとXCが互いにキャンセルされます。そのため、直列LC回路に供給される電流は最大となります（ $I = \frac {V} {Z}$ ）。

したがって、負荷と直列に接続された直列LC回路は、共振周波数でインピーダンスがゼロとなるバンドパスフィルタとして機能します。

共振周波数以下の周波数、つまり $f < f_0$ の場合、 $X_C >> X_L$ となります。したがって、回路は容量性です。
共振周波数以上の周波数、つまり $f>f_0$ の場合、 $X_L >> X_C$ となります。したがって、回路は感応性です。
共振周波数、つまり $f = f_0$ の場合、 $X_L = X_C$ となります。この状態では、電流は最大になりインピーダンスは最小になります。この状態では、回路は受容回路として機能することができます。

並列LC回路

並列LC回路では、コイルとコンデンサーが並列に接続されています。これは図に示されています。

並列回路の各要素の端子間の電圧は同じです。したがって、端子間の電圧はインダクタとコンデンサの電圧と同じです。

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

並列LC回路を流れる総電流は、インダクタを流れる電流とコンデンサを流れる電流の合計に等しい。

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

並列LC回路における共振

共振条件において、インダクタンスリアクタンス（ $X_L$ ）がキャパシタンスリアクタンス（ $X_C$ ）と等しくなるとき、リアクティブブランチの電流は等しくかつ反対方向になります。したがって、それらは互いに相殺し、回路内の最小電流を生じます。この状態では、全インピーダンスは最大となります。

共振周波数は以下の式で与えられます

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

並列LC回路のインピーダンスは次の式で与えられます

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

角振動数は $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ であり、インピーダンスは以下のようになります

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

したがって、共振条件において $\omega = \omega_0$ 全電気インピーダンスZは無限大となり、並列LC回路に供給される電流は最小となります（ $I = \frac {V} {Z}$ ）。

したがって、並列LC回路を負荷と直列に接続すると、共振周波数で無限大のインピーダンスを持つバンドストップフィルターとして機能します。並列LC回路を負荷と並列に接続すると、バンドパスフィルターとして機能します。

共振周波数より低い周波数、つまりf<f0の場合、XL >> XCとなるため、回路はインダクティブです。
共振周波数より高い周波数、つまりf>f0の場合、XC >> XLとなるため、回路はキャパシティブです。
共振周波数、つまりf = f0の場合、XL = XCとなり、電流は最小でインピーダンスは最大となります。この状態では、回路は拒否回路として機能できます。

LC回路の方程式

電流および電圧の方程式

初期条件において：

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

振動時:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

LC回路の微分方程式

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

直列LC回路のインピーダンス

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

並列LC回路のインピーダンス

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

設定時間

LC回路は電気共振器として機能し、電界と磁界間でエネルギーを共鳴周波数で振動させることができます。任意の振動系はいずれかの時点で定常状態に達し、これを設定時間と呼びます。

応答が減少して定常値に安定し、その後最終値の±2%以内に留まるまでの時間を設定時間と呼びます。

LC回路の電流

瞬時電流 $I(t)$ が回路を流れていると仮定します。インダクタの電圧降下は電流 $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ の関数として表現され、コンデンサの電圧降下は $V = \frac {Q}{C}$ で表されます。ここでQはコンデンサの正極板に蓄積された電荷です。

キルヒホッフの電圧則によれば、閉ループ内の各コンポーネントにかかる電位降下の合計はゼロになります。

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

上記の式をLで割り、tについて微分すると以下のようになります。

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

単純な高調波振動における電流は以下のようになります。

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

ここで $I_0 > 0$ および $\phi$ は定数です。

式(5)の値を(4)に入れると、次のようになります。

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

したがって、上記の式から、LC回路は振動回路であり、共振周波数と呼ばれる周波数で振動することがわかります。

LC回路の電圧

次に、式（3）によれば、インダクタに誘導される電圧はコンデンサの電圧のマイナス値です。

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

式（5）の電流の方程式を代入すると

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

つまり、電流がゼロになるとき電圧は最大値に達し、その逆もまた真である。電圧の振幅は電流の振幅に $\sqrt\frac{L}{C}$ を乗じたものとなる。

LC回路の伝達関数

入力電圧からコンデンサの電圧までの伝達関数は以下の通りです。

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

同様に、入力電圧からインダクタの電圧までの伝達関数は

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

LC回路の自然応答

コンデンサーが最初に完全に放電されていると仮定し、スイッチ（K）が非常に長い時間開いた状態で、t=0で閉じられる。

t=0– スイッチKは開いている

これは初期条件であるため、次のように書くことができます。

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

インダクタを通る電流とコンデンサーの両端にかかる電圧は瞬時に変化することはありません。

すべての t>=0+ スイッチ K が閉じられます

ここで、回路に電圧源が導入されます。したがって、KVLを回路に適用すると、次のようになります。

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

ここでは、コンデンサーの両端にかかる電圧は電流で表されます。

上記の方程式は積分微分方程式と呼ばれます。上記の方程式の両辺をtについて微分すると、次のようになります。

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

式(7)はLC回路の2階微分方程式を示しています。

ここで $\frac{d^2}{dt^2}$ をs2に置き換えると、以下のようになります。

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

上記の方程式の根は以下の通りです。

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

ここで $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ は自然振動の周波数です。

LC回路の周波数応答

インピーダンス法を使用：周波数応答システムの一般的な式は以下の通りです。

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

出力電圧がコンデンサ端子に生じると仮定し、上記回路にポテンシャルディバイダルールを適用します。

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

ここで $Z_C =$ コンデンサのインピーダンス $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ インダクタのインピーダンス $= {j \omega L}$

これを式(9)に代入すると

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

インダクタに出力電圧が生じると仮定し、上記回路に電圧分配則を適用する

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

上記式に $Z_C$ と $Z_L$ の値を代入すると

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

式 (10) と (12) は、複素形式での L-C 回路の周波数応答を示しています。

LC 回路の微分方程式

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

上記の方程式は積分微分方程式と呼ばれます。ここでは、コンデンサーにかかる電圧が電流で表されています。

次に、上記の方程式を t について両辺を微分すると、以下のようになります。

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

上記の式は、LC回路の2階微分方程式を示しています。

ここで、 $\frac{d^2}{dt^2}$ をs2に置き換えると、以下のようになります。

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

次に、 $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ であり、したがって、 $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ となるため、これを上記の式に代入すると、以下のようになります。

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

LC回路の充電と放電

LC回路では、インダクタとコンデンサはどちらもエネルギーを蓄積する要素です。つまり、インダクタはその内部の磁場（B）に、通過する電流に応じてエネルギーを蓄積し、コンデンサはその導体プレート間の電場（E）に、適用される電圧に応じてエネルギーを蓄積します。

初期状態でコンデンサに電荷qが含まれていると仮定すると、回路全体のエネルギーは最初にコンデンサの電場に蓄積されます。コンデンサに蓄積されたエネルギーは

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

次に、インダクタが充電されたコンデンサーに接続されると、コンデンサーの電圧により、インダクタを通過する電流が流れます。これにより、インダクタ周囲に磁場が生成され、コンデンサーは放電し始め、電流の流れによって電荷が消費されるにつれてコンデンサーの電圧はゼロになります（磁場）。このとき、電流はI = q/tで表されます。

ここで、コンデンサーは完全に放電され、すべてのエネルギーがインダクタの磁場に蓄積されます。この瞬間、電流は最大値に達し、インダクタに蓄積されたエネルギーはE_L = (1/2) LI^2で与えられます。

抵抗がないため、回路ではエネルギーが消散しません。したがって、コンデンサーに蓄積された最大エネルギーは、インダクタに蓄積された最大エネルギーと等しくなります。

この瞬間、インダクタ周囲の磁場に蓄積されたエネルギーにより、コイルに誘導電圧が生じます。これはファラデーの電磁誘導の法則に基づいてe = N dφ/dtで表されます。この誘導電圧により、コンデンサーを通過する電流が流れ、コンデンサーは反対の極性を持つ電圧で再充電を開始します。

この充電と放電のプロセスは、以前と同じ方向とは逆向きにインダクタを通過する電流とともに再び始まります。

このように、LC回路の充電と放電は周期的に行われ、内部抵抗が振動を止めるまで、コンデンサとインダクタの間でエネルギーが往復します。

図は、充電と放電の電圧および電流波形を示しています。

LC回路の応用

LC回路の応用には以下があります：

LC回路の応用は主に多くの電子機器、特に送信機、ラジオ受信機、テレビ受信機、増幅器、発振器、フィルター、チューナー、周波数ミキサーなどのラジオ機器に使用されます。
LC回路はまた、特定の周波数での信号生成や、より複雑な信号から特定の周波数の信号の抽出にも使用されます。
LC回路の主な目的は通常、最小限の減衰で振動することであり、そのため抵抗はできるだけ低くします。
直列共振回路は電圧増大を提供します。
並列共振回路は電流増大を提供します。