Analiza LC kroga: Zaporedni in vzporedni krogi enačbe in prenosna funkcija

Electrical4u

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Kaj je LC vez?

LC vez (tudi znana kot LC filter ali LC omrežje) se definira kot električna vez, sestavljena iz pasivnih elementov vezja, inductorja (L) in kondenzatorja (C), ki sta povezana skupaj. Tako vez se tudi imenuje resonančna vez, tank vez ali nastrojena vez.

Zaradi odsotnosti upornika v idealni obliki vezja, LC vez ne porablja energije. To je drugače pri idealnih oblikah RC vezij, RL vezij ali RLC vezij, ki porabljajo energijo zaradi prisotnosti upornika.

Vendar pa bo v praktičnem vezju LC vez vedno porabila neko količino energije zaradi nenegativne upornosti komponent in povezujočih vodov.

Zakaj se LC krog imenuje nastrojeni krog ali rezervoarski krog?

Nalok se pretiska med ploščami kondenzatorja in skozi induktor. Energija oscilira med kondenzatorjem in induktorjem, dokler jo notranji upor komponent in povezav ne ustavi.

Dejanje tega kroga je podobno nastrojenemu dejanju, matematično znano kot harmonični oscilator, ki je podoben nihalu, ki se premika naprej in nazaj, ali vodi, ki se pretiska naprej in nazaj v rezervoarju; zato se krog imenuje nastrojeni krog ali rezervoarski krog.

Krog lahko deluje kot električni resonator in shranjuje energijo, ki oscilira na frekvenci, ki se imenuje resonantna frekvenca.

Zaporedni LC krog

V zaporednem LC krogu so induktor in kondenzator povezana zaporedno, kot je prikazano na sliki.

Ker je tok v zaporednem krogu enak po vsem krogu, je tok skozi induktor in kondenzator enak.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Skupna napetost na terminalih je enaka vsoti napetosti na kondenzatorju in napetosti na induktorju.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Rezonanca v serijskem LC vezju

Ko se frekvenca poveča, se tudi velikost induktivne reaktivne upornosti poveča.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

Velikost kapacitivne reaktivne upornosti pa pada.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Pri rezonančnih pogojih velikosti induktivnega in kapacitivnega reaktivnega upora postanejo enaki.

Zdaj je upor serije LC kroga določen s predpisom

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Pri rezonančnih pogojih velikosti induktivnega in kapacitivnega reaktivnega upora postanejo enaki.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = kotna frekvenca)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Kjer je $\omega_0$ resonančna kota hitrost (v radianih na sekundo).

Sedaj je resonančna kota hitrost $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , nato postane impedanca

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Torej, pri resonančnem stanju, ko je $\omega = \omega_0$ skupna električna impedanca Z bo enaka nič, kar pomeni, da se XL in XC izničita med seboj. Tako je tok, ki se podaja seriji LC vezja, največji ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Torej, serija LC vezja, ko je povezana v serijo z obremenitvijo, deluje kot propustni filter za pasovno frekvenco z impedanco enako nič pri resonančni frekvenci.

Pri frekvenci pod rezonančno frekvenco, torej $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Torej je krog kapacitiven.
Pri frekvenci nad rezonančno frekvenco, torej $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Torej je krog induktiven.
Pri rezonančni frekvenci, torej $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . Tok je maksimalen in upor minimalen. V tem stanju lahko krog deluje kot sprejemnik.

Paralelni LC krog

V paralelnem LC krogu sta induktor in kondenzator povezana v paralelo, kot je prikazano na sliki.

Napetost na vsakem terminalu različnih elementov v vzporedni vezavi je enaka. Zato je napetost na terminalih enaka napetosti na induktorju in napetosti na kondenzatorju.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Skupni tok, ki teče skozi vzporedno LC vezavo, je enak vsoti toka, ki teče skozi induktor, in toka, ki teče skozi kondenzator.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Rezonanca v vzporedni LC vezavi

V rezonančnem stanju, ko je induktivna reaktivnost ( $X_L$ ) enaka kapacitivni reaktivnosti ( $X_C$ ), je reaktivni tok v vejah enak in nasproten. Zato se izenačita in se izničita, kar da minimalen tok v vezavi. V tem stanju je skupna impedanca največja.

Rezonančna frekvenca je dana z

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Uporabna impedanca vzporednega LC kroga je podana z

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Angularna resonančna frekvenca je $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , potem pa se impedanca spremeni v

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Tako pri resonančnem stanju, ko je $\omega = \omega_0$ skupna električna impedanca Z neskončna in tok, ki se pripelje v paralelni LC krog, minimalen ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Zato bo paralelni LC krog, če je povezan zaporedno z opto, deloval kot band-stop filter s popolnoma neskončno impedanco na resonančni frekvenci. Paralelni LC krog, povezan vzporedno z opto, bo deloval kot band-pass filter.

Na frekvencah pod resonančno frekvenco, torej f<f0, XL >> XC. Torej je krog induktiven.
Na frekvencah nad resonančno frekvenco, torej f>f0, XC >> XL. Torej je krog kapacitiven.
Na resonančni frekvenci, torej f = f0, XL = XC, tok je minimalen in impedanca maksimalna. V tem stanju lahko krog deluje kot odvisilni krog.

Enačbe LC kroga

Enačba toka in napetosti

Pri začetnem stanju:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

Pri nihajnem gibanju:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Diferencialna enačba LC vezja

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Utripna upornost serije LC vezja

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Utež paralelnega LC kruga

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Nastavni čas

LC krog lahko deluje kot električni resonator in shranjuje energijo, ki oscilira med električnim in magnetnim poljem na frekvenci, imenovani resonančni frekvenci. Ker vsak oscilatorski sistem doseže stanje ravnotežja nekaj časa, to je znano kot nastavni čas.

Čas, ki ga potrebuje odziv, da se zmanjša in postane stabilen pri svoji stacionarni vrednosti in ostane tam znotraj +- 2% končne vrednosti, se imenuje nastavni čas.

Tok v LC krogu

Predpostavimo, da je $I(t)$ trenutni tok, ki teče skozi krog. Padec napetosti na induktorju je izražen v smislu toka $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ in padec napetosti na kondenzatorju je $V = \frac {Q}{C}$ , kjer je Q nabojev, shranjenih na pozitivnem plošči kondenzatorja.

Glede na Kirchhoffov zakon o napetosti je vsota padca potenciala v različnih komponentah zaprtega kruga enaka nič.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Če delimo zgornjo enačbo z L in jo odvajamo glede na t, dobimo

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Sedaj je tok v enostavnih harmoničnih nihanj podan z:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Kjer je $I_0 > 0$ in $\phi$ konstanti.

Če vrednost enačbe (5) vstavimo v (4), dobimo:

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Tako lahko iz zgornje enačbe rečemo, da je LC vezija nihajoča vezija in nihajoča na frekvenci, ki se imenuje resonančna frekvenca.

Napetost v LC veziji

Sedaj glede na enačbo (3) je inducirana napetost na tokovniku minus napetost na kondenzatorju.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Če vstavimo enačbo za tok iz enačbe (5), dobimo

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

Z drugimi besedami, napetost doseže maksimum, ko tok pride do nič, in obratno. Amplituda nihanja napetosti je amplituda nihanja toka pomnožena s $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Prenosna funkcija LC vezja

Prenosna funkcija od vhodne napetosti do napetosti na kondenzatorju je

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Podobno je prenosna funkcija od vhodne napetosti do napetosti na kondenzatorju

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Naravni odziv LC vezja

Predpostavimo, da je kondenzator na začetku popolnoma razrjan in da je klepet (K) dolgo časa bil odprt in ga zapičemo ob t=0.

Ob t=0– klepet K je odprt

To je začetni pogoj, zato lahko zapišemo,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Ker tok skozi induktor in napetost na kondenzatorju ne moreta trenutno spremeniti.

Za vse t>=0+ je stikalo K zaprto

N zdaj je v krog vključen vir napetosti. Z uporabo zakona o konturni napetosti (KVL) za ta krog, dobimo,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Tukaj je napetost na kondenzatorju izražena s tokom.

Gornja enačba se imenuje integro-diferencialna enačba. Če odvajamo obe strani gornje enačbe glede na t, dobimo,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Enačba (7) kaže na diferencialno enačbo drugega reda za LC krog.

Zamenjajte $\frac{d^2}{dt^2}$ s s2, dobimo,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Koreni zgornje enačbe so

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Tukaj je $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ naravna frekvenca oscilacije.

Frekvenčni odziv LC vezja

Z uporabo metode impedanc: Splošna enačba za sistem frekvenčnega odziva je

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Predpostavimo, da izhodna napetost nastane na kapacitorskih terminalih, uporabimo pravilo potencialne deliteljice za zgornje vezje

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Kjer, $Z_C =$ upornost kondenzatorja $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ upornost induktorja $= {j \omega L}$

Če to vstavimo v enačbo (9), dobimo

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Predpostavimo, da se izhodna napetost pojavi na induktorju, uporabimo pravilo deljenja potenciala za zgornji krog

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Vstavimo vrednosti $Z_C$ in $Z_L$ v zgornjo enačbo, dobimo

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Enačba (10) in (12) kažeta frekvenčni odziv L-C kruga v kompleksni obliki.

Diferencialna enačba LC kruga

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Zgoraj navedena enačba se imenuje integro-diferencialna enačba. Tukaj je napetost na kondenzatorju izražena z tokom.

Sedaj, če diferenciramo zgornjo enačbo na obeh straneh glede na t, dobimo,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Zgornja enačba kaže diferencialno enačbo drugega reda za LC krog.

Zamenjajmo $\frac{d^2}{dt^2}$ z s2, dobimo,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Sedaj, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , zato, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , vstavimo to v zgornjo enačbo in dobimo,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Nalaganje in razlaganje LC vezja

V LC vezju sta induktor in kondenzator oba elementa za shranjevanje, to je, induktor shranjuje energijo v svojem magnetnem polju (B), odvisno od tokov skozi njega, in kondenzator shranjuje energijo v električnem polju (E) med svojimi prevodnimi ploščami, odvisno od napetosti na njih.

Predpostavimo, da ima kapacitor na začetku naboj q, in tako je na začetku vse energije vezja shranjene v električnem polju kapacitorja. Energija, shranjena v kapacitorju, je

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Če je induktor povezan na naložen kondenzator, bo napetost na kondenzatorju povzročila tok skozi induktor, ki ustvari magnetno polje okoli induktorja, kondenzator začne razlagati in napetost na kondenzatorju se zmanjša na nič, ko se naboj iztroši s tokom ( $I = \frac{q}{t}$ ).

Zdaj je kondenzator popolnoma razlagan in vse energije so shranjene v magnetnem polju induktorja. V tem trenutku je tok na svoji maksimalni vrednosti in energija shranjena v induktorju je dana s ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Brez uporabnikov ni nobene širjenosti energije v vezju. Torej je največja shranjena energija v kondenzatorju enaka največji shranjeni energiji v induktorju.

V tem trenutku shranjena energija v magnetnem polju okoli induktorja povzroči napetost na čevi glede na Faradayev zakon elektromagnetske indukcije ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Ta inducirana napetost povzroči tok skozi kondenzator in kondenzator začne ponovno nalagati s napetostjo nasprotne polaritete.

Ta postopek nalaganja in razlaganja se bo ponovil, le da bo tok tekel v nasprotni smeri skozi induktor kot prej.

Tako se nabiranje in raznabiranje LC kruga lahko dogaja ciklično in energija oscilira med kondenzatorjem in induktorjem, dokler notranji upor ne povzroči, da oscillacije izginejo.

Slika prikazuje valovne oblike napetosti in toka pri nabiranju in raznabiranju.

Valovne oblike napetosti in toka pri nabiranju in raznabiranju LC kruga — Valovne oblike napetosti in toka pri nabiranju in raznabiranju

Uporaba LC krugov

Uporabe LC krugov vključujejo:

Uporabe LC krugov so glavno prisotne v mnogih elektronskih napravah, zlasti v radijskem opremi, kot so predajalniki, radijski sprejemniki, TV sprejemniki, pojačevalniki, oscilatorji, filtri, načinjalki in frekvenčni mešalniki.
LC krugi se uporabljajo tudi za ustvarjanje signalov na določeni frekvenci ali za sprejemanje signala iz bolj kompleksnega signala na določeni frekvenci.
Glavna namen LC kruga je običajno oscilirati z najmanjšim priguševanjem, zato je upor nareden čim nižji.
Vrsto resonančnega kruga zagotavlja pospešitev napetosti.
Paralelno resonančni krug zagotavlja pospešitev toka.