Análise de circuito LC: Circuitos en serie e paralelo ecuacións e función de transferencia

Electrical4u

Campo: Electrónica Básica

China

Que é un circuito LC?

Un circuito LC (tamén coñecido como filtro LC ou rede LC) defínese como un circuito eléctrico que consiste en os elementos pasivos do circuito, un inductor (L) e un condensador (C) conectados xuntos. Tamén chámase circuito resonante, circuito tanque ou circuito sintonizado.

Debido á ausencia dun resistor na forma ideal do circuito, un circuito LC non consume enerxía. Isto é diferente das formas ideais de circuitos RC, circuitos RL ou circuitos RLC, que consumen enerxía debido á presenza dun resistor.

Dito isto, nun circuito práctico, un circuito LC sempre consumirá algo de enerxía debido á resistencia non nula dos compoñentes e dos cables de conexión.

Por que un circuito LC chámase circuito sintonizado ou circuito tanque?

A carga flúe de ida e volta entre as placas do condensador e a través do inductor. A enerxía oscila entre o condensador e o inductor ata que a resistencia interna dos compoñentes e dos cables conectados faga que as oscilacións cesen.

A acción deste circuito é como unha acción sintonizada, coñecida matematicamente como un oscilador harmónico, que é semellante a un péndulo que se balancea de ida e volta ou a auga que flúe de ida e volta nun tanque; por esta razón, o circuito chámase circuito sintonizado ou circuito tanque.

O circuito pode actuar como un resonador eléctrico e almacenar enerxía que oscila á frecuencia chamada frecuencia de resonancia.

Circuíto LC en serie

No circuíto LC en serie, o inductor e o condensador están conectados en serie, como se mostra na figura.

Dado que nun circuito en serie a corrente é a mesma en todas partes do circuito, a corrente que flúe é igual á corrente a través do inductor e do condensador.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Agora a tensión total entre os terminais é igual á suma da tensión a través do condensador e a tensión a través do inductor.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Resonancia no circuito LC en serie

Cando aumenta a frecuencia, tamén aumenta a magnitude da reactancia inductiva.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

e a magnitude da reactancia capacitiva diminúe.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Agora, nunha condición de resonancia, a magnitude da reactividade indutiva e da reactividade capacitiva son iguais.

Agora unha impedancia do circuito en serie LC dáse por

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Agora, nunha condición de resonancia, a magnitude da reactividade indutiva e da reactividade capacitiva son iguais.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = frecuencia angular)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Onde, $\omega_0$ é unha frecuencia angular de resonancia (radiáns por segundo).

Agora a frecuencia angular de resonancia é $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , entón a impedancia convértese en

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Así, na condición de resonancia cando $\omega = \omega_0$ a impedancia eléctrica total Z será cero, o que significa que XL e XC anúlanse mutuamente. polo tanto, a corrente suministrada a un circuito LC en serie é máxima ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Polo tanto, o circuito LC en serie, cando está conectado en serie coa carga, actuará como un filtro de paso de banda con impedancia cero na frecuencia de resonancia.

A frecuencia inferior á frecuencia de resonancia, é dicir, $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Polo tanto, o circuito é capacitivo.
A frecuencia superior á frecuencia de resonancia, é dicir, $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Polo tanto, o circuito é inductivo.
A frecuencia de resonancia, é dicir, $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . A corrente é máxima e a impedancia é mínima. Neste estado, o circuito pode actuar como un circuito acceptor.

Circuíto LC en paralelo

No circuíto LC en paralelo, o inductor e o condensador están conectados en paralelo, como se mostra na figura.

O voltaxe entre cada terminal de diferentes elementos nun circuito en paralelo é a mesma. Polo tanto, a voltaxe entre os terminais é igual á voltaxe a través do inductor e a voltaxe a través do condensador.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Agora, a corrente total que fluye polo circuito LC en paralelo é igual á suma da corrente que fluye polo inductor e a corrente que fluye polo condensador.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Resonancia no circuito LC en paralelo

Nas condicións de resonancia, cando a reactividade indutiva ( $X_L$ ) é igual á reactividade capacitiva ( $X_C$ ), a corrente na rama reactiva é igual e oposta. Polo tanto, anúlanse mutuamente para dar unha corrente mínima no circuito. Neste estado, a impedancia total é máxima.

A frecuencia de resonancia dáse por

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Agora a impedancia do circuito LC paralelo dáse por

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Agora a frecuencia angular de resón está dada por $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , entón a impedancia convértese en

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Así, na condición de resonancia cando $\omega = \omega_0$ o impedimento eléctrico total Z será infinito e a corrente suministrada a un circuito LC en paralelo será mínima ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Por tanto, o circuito LC en paralelo, cando se conecta en serie coa carga, actuará como un filtro de banda rexeitado con impedimento infinito na frecuencia de resonancia. O circuito LC en paralelo conectado en paralelo coa carga actuará como un filtro de banda pasante.

A frecuencias inferiores á frecuencia de resonancia, é dicir, f<f0, XL >> XC. Polo tanto, o circuito é inductivo.
A frecuencias superiores á frecuencia de resonancia, é dicir, f>f0, XC >> XL. Polo tanto, o circuito é capacitivo.
Na frecuencia de resonancia, é dicir, f = f0, XL = XC, a corrente é mínima e o impedimento é máximo. Neste estado, o circuito pode actuar como un circuito rexeitor.

Equacións do circuito LC

Equacións de corrente e voltaxe

Nas condicións iniciais:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

Na oscilación:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Equación diferencial do circuito LC

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (onde, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedancia do circuito LC en serie

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Impedancia do circuito LC paralelo

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Tempo de estabelecemento

O circuito LC pode actuar como un resonador eléctrico e almacenar enerxía que oscila entre o campo eléctrico e o campo magnético a unha frecuencia chamada frecuencia de resonancia. Dado que calquera sistema oscilatorio alcanza un estado estable en algún momento, coñecido como tempo de estabelecemento.

O tempo necesario para que a resposta decreza e se estabilice no seu valor de estado estable, permanecendo despois dentro de ±2% do seu valor final, chámase tempo de estabelecemento.

Corrente do circuito LC

Supóñase que $I(t)$ é a corrente instantánea que fluye polo circuito. A caída de tensión a través do inductor exprésase en termos da corrente $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ e a caída de tensión a través do condensador é $V = \frac {Q}{C}$ , onde Q é a carga almacenada na placa positiva do condensador.

Segundo a lei da tensión de Kirchhoff, a suma das caídas de potencial a través dos diversos componentes dun circuito en anillo pechado é igual a cero.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Dividindo a ecuación anterior por L e derivándoa respecto a t, obtemos

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (onde, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Agora, a corrente nunha oscilación harmónica simple está dada por:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Onde $I_0 > 0$ e $\phi$ son constantes.

Ao introducir o valor da ecuación (5) en (4), obtemos,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Así, dende a ecuación anterior, podemos dicir que o circuito LC é un circuito oscilante e oscila a unha frecuencia chamada frecuencia de resonancia.

Tensión do circuito LC

Agora, segundo a ecuación (3), a tensión inducida nun inductor é menos a tensión a través do condensador.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Substituíndo a ecuación da corrente dende a ecuación (5), obtemos

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

En outras palabras, a tensión alcanza o seu máximo cando a corrente chega a cero e viceversa. A amplitud da oscilación da tensión é a da oscilación da corrente multiplicada por $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Función de transferencia do circuito LC

A función de transferencia desde a tensión de entrada ata a tensión a través do condensador é

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (onde, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

De forma semellante, a función de transferencia dende a tensión de entrada ata a tensión a través do inductor é

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Resposta natural do circuito LC

Supoñamos que o condensador está inicialmente totalmente descargado e o interruptor (K) está aberto durante moito tempo e pechado en t=0.

En t=0– o interruptor K está aberto

Esta é unha condición inicial, polo que podemos escribir,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Porque a corrente a través do inductor e o voltaxe a través do condensador non poden cambiar instantaneamente.

Para todo t>=0+ o interruptor K está pechado

Agora a fonte de voltaxe é introducida no circuito. Polo tanto, aplicando a Llei de Kirchhoff dos Voltaxes ao circuito, obtemos,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Aquí o voltaxe a través do condensador exprésase en termos da corrente.

A ecuación anterior chámase ecuación integro-diferencial. Diferenciando ambos os lados da ecuación anterior respecto a t, obtemos,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

A ecuación (7) indica unha ecuación diferencial de segundo orde dun circuito LC.

Sustitúe $\frac{d^2}{dt^2}$ por s2, obtemos,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Agora as raíces da ecuación anterior son

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Aquí, $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ é a frecuencia natural de oscilación.

Resposta de frecuencia do circuito LC

Usando o método de impedancia: A ecuación xeral para a resposta de frecuencia do sistema é

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Supóñase que a tensión de saída ocorre nos terminais do condensador, aplícase a regra do divisor de potencial ao circuito anterior

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Onde, $Z_C =$ impedancia do condensador $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ impedancia do inductor $= {j \omega L}$

Substituíndo na ecuación (9), obtemos

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Supoñamos que a tensión de saída ocorre a través do inductor, aplícase a regra do divisor de potencial ao circuito anterior

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Substitúese o valor de $Z_C$ e $Z_L$ na ecuación anterior, obtemos

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

A ecuación (10) e (12) indica a resposta en frecuencia dun circuito L-C na forma complexa.

Ecuación diferencial do circuito LC

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

A ecuación anterior chámase ecuación integro-diferencial. Aquí a tensión a través do condensador exprésase en termos da corrente.

Agora, derivando a ecuación anterior ambos os lados respecto a t, obtemos,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

A ecuación anterior indica a ecuación diferencial de segundo orde do circuito LC.

Substituímos $\frac{d^2}{dt^2}$ por s2, obtemos,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Agora, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ polo tanto, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , substituíndo na ecuación anterior obtemos,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Circuíto LC: Carga e Descarga

Nun circuíto LC, o inductor e o condensador son elementos de almacenamento, é dicir, o inductor almacena enerxía no seu campo magnético (B), dependendo da corrente que pasa por el, e o condensador almacena enerxía no campo eléctrico (E) entre as súas placas condutoras, dependendo da tensión que hai entre elas.

Supoñamos que inicialmente, o condensador contén unha carga q, e entón toda a enerxía do circuito está inicialmente almacenada no campo eléctrico do condensador. A enerxía almacenada no condensador é

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Agora, se un inductor está conectado a un condensador cargado, a tensión no condensador provocará que circule corrente polo inductor, o que produce un campo magnético arredor do inductor, o condensador comeza a descargarse e a tensión no condensador reducise a cero á medida que a carga se usa pola corrente ( $I = \frac{q}{t}$ ).

Neste momento, o condensador está completamente descargado e toda a enerxía está almacenada no campo magnético do inductor. Nese instante, a corrente está no seu valor máximo e a enerxía almacenada no inductor dáse por ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Debido á ausencia dun resistor, non se disipa enerxía no circuito. Así, a enerxía máxima almacenada no condensador é igual á enerxía máxima almacenada no inductor.

Neste instante, a enerxía almacenada no campo magnético arredor do inductor induce unha tensión na bobina segundo a lei de Faraday da indución electromagnética ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Esta tensión inducida provoca que circule corrente polo condensador e o condensador comeza a recargar con unha tensión de polaridade oposta.

Este proceso de carga e descarga volverá a comezar, coa corrente circulando na dirección oposta polo inductor como antes.

Así, a carga e descarga do circuito LC pode ser de xeito cíclico e a enerxía oscila entre o condensador e o inductor ata que a resistencia interna faga que as oscilacións desaparezan.

A figura amosa a forma de onda da tensión e corrente de carga e descarga.

Forma de onda de carga e descarga do circuito LC — Forma de onda de tensión e corrente de carga e descarga

Aplicacións do circuito LC

As aplicacións dos circuitos LC inclúen:

As aplicacións dun circuito LC implican principalmente moitos dispositivos electrónicos, particularmente equipos de radio como transmisores, receptores de radio e televisión, amplificadores, osciladores, filtros, sintonizadores e mixers de frecuencia.
Os circuitos LC tamén se usan para producir sinais a unha frecuencia determinada ou para aceptar un sinal dende un sinal máis complexo a unha frecuencia determinada.
O propósito principal dun circuito LC é xeralmente oscilar con mínima amortización, polo que a resistencia fai que sexa tan baixa como é posible.
Un circuito de resonancia en serie proporciona tensión magnificación.
Un circuito de resonancia en paralelo proporciona corrente magnificación.

Que é a amortización?

A amortización é a diminución da amplitude dunha oscilación ou movemento de onda ao longo do tempo. A resonancia é o aumento da amplitude á medida que a amortización disminúe.

Declaración: Respetar o orixinal, os artigos de calidade merecen ser compartidos, se hai algún dereito de autor por favor contacte para eliminar.

Dá unha propina e anima ao autor

Temas:

Teoría de circuitos

Circuíto RLC

Sobre os expertos

Electrical4u

China

Área de especialización

Basic Electrical

Artigo profesional

607