LC سرکٹ کا تجزیہ: سلسلہ وار اور متوازی سرکٹ، مساوات اور ترانسفر فنکشن

Electrical4u

فیلڈ: بنیادی برق

China

LC سرکٹ کیا ہے؟

LC سرکٹ (جسے LC فلٹر یا LC نیٹ ورک بھی کہا جاتا ہے) کو ایک برقی سرکٹ کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے، جس میں غیر فعال سرکٹ عناصر شامل ہوتے ہیں، جیسے انڈکٹر (L) اور ایک کیپیسٹر (C) مل کر منسلک ہوتے ہیں۔ اسے ریزوننٹ سرکٹ، ٹینک سرکٹ یا ٹیونڈ سرکٹ بھی کہا جاتا ہے۔

ایک ایدیل سرکٹ کی وجہ سے ریزسٹر کی غیر موجودگی کی وجہ سے LC سرکٹ کوئی توانائی استعمال نہیں کرتا۔ یہ RC سرکٹس، RL سرکٹس، یا RLC سرکٹس کے ایدیل فارمز کے مقابلے میں مختلف ہے، جن میں ریزسٹر کی موجودگی کی وجہ سے توانائی استعمال ہوتی ہے۔

تاہم، عملی سرکٹ میں، LC سرکٹ کوئی توانائی استعمال کرتا ہے کیونکہ کمپوننٹس اور کنکشنگ واائرز کی غیر صفر ریزسٹنس کی وجہ سے۔

کیا کیسے ایل سی سرکٹ کو ٹیونڈ سرکٹ یا ٹینک سرکٹ کہا جاتا ہے؟

شارج کنڈینسروں کے پلیٹوں کے درمیان اور انڈکٹر کے ذریعے آگے پیچھے بہتا ہے۔ توانائی کنڈینسر اور انڈکٹر کے درمیان تکرار کرتی رہتی ہے تا جب تک کہ کمپوننٹس اور کنکشن وائرز کی اندری ریزسٹنس تکرار کو ختم نہ کر دے۔

اس سرکٹ کا عمل میوزکل آئیڈیال ٹیونڈ ایکشن کے مطابق ہوتا ہے، جسے ریاضیاتی طور پر ہارمونک آسسیلیٹر کہا جاتا ہے، جو ایک پینڈولم کے آگے پیچھے ہلتے ہوئے یا پانی کے ایک ٹینک میں آگے پیچھے بہتے ہوئے کے مشابہ ہوتا ہے؛ اس لیے یہ سرکٹ ٹیونڈ سرکٹ یا ٹینک سرکٹ کہلاتا ہے۔

ایسے سرکٹ کو الیکٹریکل ریزونیٹر کے طور پر کام کرنا ہوتا ہے اور فریکوئنسی کے تحت توانائی کو تکرار کرتا ہے جسے ریزوننٹ فریکوئنسی کہا جاتا ہے۔

سلسلہ وار ایل سی سرکٹ

سلسلہ وار ایل سی سرکٹ میں، انڈکٹر اور کنڈینسر دونوں کو سلسلہ وار جڑا ہوتا ہے جسے شکل میں دکھایا گیا ہے۔

کیونکہ سلسلہ وار سرکٹ میں کرنٹ کا فلو سرکٹ کے ہر جگہ ایک ہوتا ہے، اس لیے کرنٹ کا فلو انڈکٹر اور کنڈینسر دونوں کے ذریعے برابر ہوتا ہے۔

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

ابتدائی طور پر ترمینلز کے درمیان کل وولٹیج کاپیسٹر اور انڈکٹر کے درمیان وولٹیج کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

سلسلہ وار LC سرکٹ میں ریزوننس

جب فریکوئنسی میں اضافہ ہوتا ہے تو انڈکٹو ریزکٹنس کی مقدار میں بھی اضافہ ہوتا ہے۔

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

اور کیپیسٹو ریزکٹنس کی مقدار میں کمی آتی ہے۔

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

اب تکانیت کے شرائط میں انڈکٹو ری اکٹنس اور کیپیسٹو ری اکٹنس کی قدر برابر ہوجاتی ہے۔

اب سیریز LC سرکٹ کا امپیڈنس درج ذیل طور پر دیا جاتا ہے

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

اب تکانیت کے شرائط میں انڈکٹو ری اکٹنس اور کیپیسٹو ری اکٹنس کی قدر برابر ہوجاتی ہے۔

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

جہاں، $\omega_0$ موجی تعدد (ریڈیئنز فی سیکنڈ) ہے۔

اب موجی تعدد ہے $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ ، تو مزاحمت کی قدر ہوگی

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

اس لحاظ سے ریزوننس کی صورت میں جب $\omega = \omega_0$ کل برقی مزاحمت Z صفر ہوگی یعنی XL اور XC آپس میں منسوخ ہوں گے۔ اس لیے، سیریز LC سرکٹ کو فراہم کردہ کرنٹ زیادہ سے زیادہ ہوگا ( $I = \frac {V} {Z}$ )۔

لہذا سیریز LC سرکٹ، جب لوڈ کے ساتھ سیریز میں جڑا ہوتا ہے، ریزوننٹ تعدد پر صفر مزاحمت کے ساتھ ایک بینڈ پاس فلٹر کے طور پر عمل کرتا ہے۔

رنگ کے ذریعے تالیف شدہ تعدد سے نیچے کی فریکوئنسی پر یعنی $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . اس لیے مدار کاپیسٹروں کی طرح ہوتا ہے۔
رنگ کے ذریعے تالیف شدہ تعدد سے اوپر کی فریکوئنسی پر یعنی $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . اس لیے مدار انڈکٹروں کی طرح ہوتا ہے۔
رنگ کے ذریعے تالیف شدہ تعدد پر یعنی $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . کرنٹ زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے اور امپیڈنس کم سے کم ہوتا ہے۔ اس حالت میں، مدار قبول کرنے والے مدار کی طرح عمل کر سکتا ہے۔

متوازی LC مدار

متوازی LC مدار میں، انڈکٹر اور کیپیسٹر دونوں متوازی طور پر جڑے ہوتے ہیں جو فگر میں دکھایا گیا ہے۔

پارلیل سرکٹ میں مختلف عناصر کے ہر ٹرمینل پر وولٹیج ایک جیسا ہوتا ہے۔ اس لیے ٹرمینلز کے درمیان وولٹیج انڈکٹر اور کیپیسٹر کے درمیان وولٹیج کے برابر ہوتا ہے۔

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

اب پارلیل LC سرکٹ میں فلو کرنے والا کل کرنٹ انڈکٹر کے ذریعے فلو کرنے والے کرنٹ اور کیپیسٹر کے ذریعے فلو کرنے والے کرنٹ کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

پارلیل LC سرکٹ میں ریزوننس

ریزوننس کی صورت میں جب انڈکٹو ری اکٹنس ( $X_L$ ) کیپیسٹو ری اکٹنس ( $X_C$ ) کے برابر ہوتا ہے، ری اکٹو برانچ کرنٹ مساوی اور متضاد ہوتا ہے۔ اس لیے، وہ آپس میں کنسل ہوجاتے ہیں تاکہ سرکٹ میں کم سے کم کرنٹ ملتا ہے۔ اس حالت میں کل زد گیری کا انتہائی حد تک بڑھ جاتا ہے۔

ریزوننس فریکوئنسی کچھ یوں دی جاتی ہے

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

ابتدائی طور پر سیریز LC کے مدار کا امپیڈنس درج ذیل فارمولے سے دیا جاتا ہے

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

اب زاویہ ریزوننس فریکوئنسی $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ ہوتی ہے، تو امپیڈنس

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

اس کے بعد جب $\omega = \omega_0$ کل برقی مانع Z لامحدود ہوگا اور سیریز LC کرکٹ کو فراہم کردہ دورانیہ کم سے کم ہوگا ( $I = \frac {V} {Z}$ )۔

اس لیے پیرالیل LC کرکٹ، جب لوڈ کے ساتھ سیریز میں جڑی ہوتی ہے تو وہ ریزوننٹ فریکوئنسی پر لامحدود مانع کے ساتھ بینڈ-سٹاپ فلٹر کے طور پر کام کرتی ہے۔ پیرالیل LC کرکٹ کو جب لوڈ کے ساتھ پیرالیل میں جوڑا جاتا ہے تو وہ بینڈ-پاس فلٹر کے طور پر کام کرتی ہے۔

جب فریکوئنسی ریزوننٹ فریکوئنسی سے کم ہو یعنی f<f0، XL >> XC۔ اس لیے کرکٹ انڈکٹو کی طرح ہوتی ہے۔
جب فریکوئنسی ریزوننٹ فریکوئنسی سے زیادہ ہو یعنی f>f0، XC >> XL۔ اس لیے کرکٹ کیپیسٹو کی طرح ہوتی ہے۔
جب ریزوننٹ فریکوئنسی یعنی f = f0، XL = XC، دورانیہ کم سے کم ہوگا اور مانع زیادہ سے زیادہ ہوگا۔ اس حالت میں، کرکٹ ریجیکٹر کرکٹ کے طور پر کام کرسکتی ہے۔

LC کرکٹ کے مساوات

دورانیہ اور ولٹیج کے مساوات

پہلی صورتحال میں:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

در تلاش:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

مساوات تفریقی کرنل سرکت

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

سلسلہ وار LC سرکٹ کی حائلت

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

پیش‌بینی متقابل کروت LC متوازی

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

وقت تنظیم

کروت LC می‌تواند به عنوان یک نوسان‌ساز الکتریکی عمل کند و انرژی بین میدان الکتریکی و مغناطیسی در فرکانسی به نام فرکانس رزونانس ذخیره شود. از آنجا که هر سیستم نوسانی پس از مدتی به حالت پایدار می‌رسد، که به آن وقت تنظیم گفته می‌شود.

وقت لازم برای رسیدن پاسخ به حالت پایدار و باقی ماندن در حدود ±۲٪ از مقدار نهایی خود به عنوان وقت تنظیم شناخته می‌شود.

جریان کروت LC

فرض کنید $I(t)$ جریان لحظه‌ای در کروت است. کاهش ولتاژ در سلف به صورت تابعی از جریان $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ و کاهش ولتاژ در خازن $V = \frac {Q}{C}$ است، که Q بار ذخیره شده روی صفحه مثبت خازن است.

اب کرچھوف کے ولٹیج قانون کے مطابق، بند لوپ کے مختلف حصوں پر پوٹینشل ڈراپ کا مجموعہ صفر کے برابر ہوتا ہے۔

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

اس مساوات کو L سے تقسیم کرتے ہوئے اور t کے لحاظ سے تفریق کرتے ہوئے ہم کچھ حاصل کرتے ہیں

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

ابتدائی تالیف میں کرنٹ کا ابتدائی فارم حاصل کیا جاتا ہے:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

جبہ کہاں $I_0 > 0$ اور $\phi$ مستقل ہیں۔

مساوات (5) کی قدر کو (4) میں رکھنے پر ہم کچھ یوں دیکھتے ہیں،

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

اس سے پتہ چلتا ہے کہ LC کرکٹ ایک تناولی کرکٹ ہے اور یہ ایک کرنل فریکوئنسی کے نام سے تناول کرتی ہے۔

LC کرکٹ وولٹیج

اب مساوات (3) کے مطابق، انڈکٹر پر پیدا ہونے والا وولٹیج کپیسٹر پر موجود وولٹیج کا منفی ہوتا ہے۔

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

معادلہ (5) سے کرنٹ کا معادلہ رکھنے پر ہم کو ملتا ہے

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

دوسروں کے الفاظ میں، جب کرنٹ صفر تک پہنچتا ہے تو ولٹیج زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے اور انضمام سے۔ ولٹیج کی دھماکتی دھماکتی کرنٹ کی دھماکتی کو $\sqrt\frac{L}{C}$ سے ضرب دینے پر ملتا ہے۔

LC سرکٹ کا نقل و حمل کا فنکشن

اینپٹ ولٹیج سے کیپیسٹر پر ولٹیج تک کا نقل و حمل کا فنکشن یہ ہے

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

اس کے مطابق، آن پٹ ولٹیج سے کنڈینسر کے سروس کے درمیان منتقلی فنکشن

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

LC سرکٹ کا قدرتی جواب

فرض کرتے ہیں کہ کنڈینسر شروع میں مکمل طور پر ڈچھلیا ہوا ہے اور سوئچ (K) بہت لمبے عرصے تک کھلا رکھا گیا ہے اور t=0 پر بند کیا گیا ہے۔

t=0– سوئچ K کھلا ہے

یہ ایک ابتدائی حالت ہے، لہذا ہم لکھ سکتے ہیں،

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

کیونکہ انڈکٹر کے ذریعے سے گزرنے والی کرنٹ اور کنڈینسر پر وولٹیج فوراً تبدیل نہیں ہو سکتی۔

سب t>=0+ کے لئے سوچ کے سوچ کو بند کردیا جاتا ہے

اب وولٹیج سروس کو سرکٹ میں شامل کیا گیا ہے۔ لہذا سرکٹ پر KVL کا اطلاق کرتے ہوئے، ہم کچھ حاصل کرتے ہیں،

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

یہاں کنڈینسر پر وولٹیج کرنٹ کے حوالے سے ظاہر کیا گیا ہے۔

اس کو انتگرال-دفرینشیل مساوات کہا جاتا ہے۔ اوپر والی مساوات کو t کے لحاظ سے دونوں طرف سے دفرینشیشن کرتے ہوئے، ہم کچھ حاصل کرتے ہیں،

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

معادلہ (7) کے ذریعے ایک LC سرکٹ کا دوسرے درجہ تفاضلی مساوات ظاہر کی جاتی ہے۔

اب $\frac{d^2}{dt^2}$ کو s2 سے بدل کر، ہم حاصل کرتے ہیں،

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

اب اس مساوات کے ریشه ہیں

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

یہاں، $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ طبیعی تردد ہے۔

LC سرکٹ کا فریکوئنسی ریسپانس

ایمپیڈینس کے طریقے سے استعمال کرتے ہوئے: فریکوئنسی ریسپانس نظام کے لیے عام مساوات ہے

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

فرض کیجئے کہ آؤٹ پٹ ولٹیج کنڈینسر کے ٹرمینلز پر واقع ہوتا ہے، اوپر والے سرکٹ پر پوٹینشل ڈائیور کے نکٹ کو لاگو کریں

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

جہاں، $Z_C =$ کیپیسٹر کا معاوِزہ $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ انڈکٹر کا معاوِزہ $= {j \omega L}$

اس کو مساوات (9) میں ڈالنے سے حاصل ہوتا ہے

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

فرض کیجئے کہ آؤٹ پٹ وولٹیج انڈکٹر پر پائی جاتی ہے، اوپر دیے گئے سروس کے لئے پوٹینشل ڈوائیڈر کا نظریہ لاگو کریں

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

اوپر دی گئی مساوات میں $Z_C$ اور $Z_L$ کی قدر داخل کریں، ہم کچھ یوں حاصل کرتے ہیں

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

معادلات (10) و (12) تunjāwīn tālūs kām L-C circuit ka frequency response complex form mein.

LC Circuit Differential Equation

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Upar wali equation integro-differential equation ke naam se jaantī hai. Yahan capacitor par voltage current ke terms mein express kiya gaya hai.

Ab, upar wali equation dono sides t ke respect mein differentiate karne par, humein milta hai,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

اس مساوات کے ذریعہ LC سرکٹ کا دوسرے درجے کا تفرقی مساوات ظاہر کیا جاتا ہے۔

$\frac{d^2}{dt^2}$ کو s² سے بدل کر، ہم کچھ اس طرح حاصل کرتے ہیں،

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

اب، $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ لہذا، $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$، اسے اوپر والی مساوات میں رکھنے پر ہم کچھ اس طرح حاصل کرتے ہیں،

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

LC کرکٹ کا چارجنگ اور ڈیسچارجنگ

LC کرکٹ میں انڈکٹر اور کنڈینسر دونوں توانائی کے ذخیرہ عناصر ہیں، یعنی انڈکٹر میں توانائی اپنے مغناطیسی میدان (B) میں ذخیرہ ہوتی ہے، جو اس کے سے گزرنے والے کرنٹ پر منحصر ہوتی ہے، اور کنڈینسر توانائی اپنے برقی میدان (E) میں ذخیرہ کرتا ہے، جو اس کے درمیان کنڈکٹنگ پلیٹس کے وولٹیج پر منحصر ہوتی ہے۔

فرض کیجئے کہ شروع میں، کنڈینسر میں ایک کرنٹ q موجود ہے، اور پھر کرکٹ کی تمام توانائی شروع میں کنڈینسر کے برقی میدان میں ذخیرہ ہوتی ہے۔ کنڈینسر میں ذخیرہ توانائی ہے

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

اگر ایک انڈکٹر کو چارج شدہ کنڈینسر کے ساتھ جوڑا جائے تو، کنڈینسر پر موجود ولٹیج انڈکٹر میں کرنٹ کا روانہ ہونے کا باعث بنتی ہے، جس سے انڈکٹر کے آس پاس میگناٹک فیلڈ تیار ہوتا ہے۔ کنڈینسر کا ڈیسچارجنگ شروع ہوجاتا ہے اور کنڈینسر پر موجود ولٹیج کرنٹ کے روانہ ہونے کے ساتھ صفر ہوجاتا ہے ( $I = \frac{q}{t}$ )۔

اب کنڈینسر کامیابی سے ڈیسچارجد ہوگیا ہے اور تمام توانائی انڈکٹر کے میگناٹک فیلڈ میں ذخیرہ ہوگئی ہے۔ اس لمحے پر، کرنٹ اپنے زیادہ سے زیادہ قدر پر ہوتا ہے اور انڈکٹر میں ذخیرہ توانائی کو یوں دیا جاتا ہے ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ )۔

رسسٹر کی غیر موجودگی کی وجہ سے سرکٹ میں کوئی توانائی ضائع نہیں ہوتی۔ اس طرح، کنڈینسر میں ذخیرہ زیادہ سے زیادہ توانائی انڈکٹر میں ذخیرہ زیادہ سے زیادہ توانائی کے برابر ہوتی ہے۔

اس لمحے پر انڈکٹر کے آس پاس کے میگناٹک فیلڈ میں ذخیرہ توانائی کوئل کے ساتھ ولٹیج پیدا کرتا ہے جس کی بنیاد ہے فارڈے کا الیکٹرومیگناٹک انڈکشن کا قانون ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ )۔ یہ پیدا ہونے والا ولٹیج کرنٹ کو کنڈینسر کے ذریعے روانہ ہونے کا باعث بنتا ہے اور کنڈینسر کا چارجنگ دوبارہ شروع ہوجاتا ہے جس کی ولٹیج کی قطبیت متضاد ہوتی ہے۔

یہ چارجنگ اور ڈیسچارجنگ کا عمل پھر سے شروع ہوجائے گا، انڈکٹر کے ذریعے کرنٹ کا روانہ ہونے کی سمت کو پہلے کی طرح کے مخالف کرکے۔

اس طرح کپیسٹر اور انڈکٹر کے درمیان توانائی کا گھٹاؤ اور بڑھاؤ حلقہ وار ہو سکتا ہے۔ توانائی کپیسٹر اور انڈکٹر کے درمیان آگے پیچھے دوڑتی رہتی ہے جب تک کہ داخلی مزاحمت لرزشوں کو ختم نہ کر دے۔

تصویر میں شارج اور ڈیشارج ولٹیج اور کرنٹ کی موج کی شکل دکھائی گئی ہے۔

شارج اور ڈیشارج LC سرکٹ کی موج کی شکل — شارج اور ڈیشارج ولٹیج اور کرنٹ کی موج کی شکل

LC سرکٹ کے اطلاقات

LC سرکٹ کے اطلاقات شامل ہیں:

LC سرکٹ کے اطلاقات کئی الیکٹرانک ڈیوائسز میں شامل ہوتے ہیں، خصوصاً ریڈیو معدات جیسے ٹرانسمیٹرز، ریڈیو ریسیورز، ٹی وی ریسیورز، امپلی فائرز، آسیلیٹرز، فلٹرز، ٹیونرز اور فریکوئنسی مکسرز۔
LC سرکٹ کو کسی خاص فریکوئنسی پر سگنل بنانے یا کسی مزید پیچیدہ سگنل سے کسی خاص فریکوئنسی پر سگنل قبول کرنے کے لئے استعمال کیا جاتا ہے۔
LC سرکٹ کا اصل مقصد عام طور پر کم تہہ کے ساتھ لرزنا ہوتا ہے، لہذا مزاحمت کو زیادہ سے زیادہ کم کیا جاتا ہے۔
سلسلہ وار ریزوننس سرکٹ کو ولٹیج میگنیفیکیشن فراہم کرتا ہے۔
موازی ریزوننس سرکٹ کو کرنٹ میگنیفیکیشن فراہم کرتا ہے۔