Análisis de circuitos LC: Circuitos en serie y paralelo, ecuaciones y función de transferencia

Electrical4u

Campo: Electricidad Básica

China

¿Qué es un circuito LC?

Un circuito LC (también conocido como filtro LC o red LC) se define como un circuito eléctrico compuesto por los elementos pasivos del circuito, un inductor (L) y un condensador (C) conectados entre sí. También se le llama circuito resonante, circuito de tanque o circuito sintonizado.

Debido a la ausencia de un resistor en la forma ideal del circuito, un circuito LC no consume energía. Esto es diferente de las formas ideales de los circuitos RC, circuitos RL, o circuitos RLC, que consumen energía debido a la presencia de un resistor.

Sin embargo, en un circuito práctico, un circuito LC siempre consumirá algo de energía debido a la resistencia no nula de los componentes y los cables de conexión.

¿Por qué un circuito LC se llama circuito sintonizado o circuito de tanque?

La carga fluye de un lado a otro entre las placas del condensador y a través del inductor. La energía oscila entre el condensador y el inductor hasta que la resistencia interna de los componentes y los cables de conexión hace que las oscilaciones desaparezcan.

La acción de este circuito es como una acción sintonizada, matemáticamente conocida como un oscilador armónico, que es similar a un péndulo balanceándose de un lado a otro o al agua que fluye de un lado a otro en un tanque; por esta razón, el circuito se llama circuito sintonizado o circuito de tanque.

El circuito puede actuar como un resonador eléctrico y almacenar energía oscilando a la frecuencia llamada frecuencia de resonancia.

Circuito LC en serie

En el circuito LC en serie, el inductor y el condensador están conectados en serie, como se muestra en la figura.

Dado que en un circuito en serie la corriente es la misma en todas partes del circuito, la corriente que fluye es igual a la corriente que pasa tanto por el inductor como por el condensador.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Ahora, el voltaje total en los terminales es igual a la suma del voltaje a través del condensador y el voltaje a través del inductor.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Resonancia en circuito LC en serie

Cuando la frecuencia aumenta, la magnitud de la reactancia inductiva también aumenta.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

y la magnitud de la reactancia capacitiva disminuye.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Ahora, en una condición de resonancia, la magnitud de la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva se igualan.

Ahora, la impedancia del circuito LC en serie está dada por

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Ahora, en una condición de resonancia, la magnitud de la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva se igualan.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Donde, $\omega_0$ es la frecuencia angular de resonancia (radianes por segundo).

Ahora, la frecuencia angular de resonancia es $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , entonces la impedancia se convierte en

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Así, en la condición de resonancia cuando $\omega = \omega_0$ la impedancia eléctrica total Z será cero, lo que significa que XL y XC se anulan mutuamente. Por lo tanto, la corriente suministrada a un circuito LC en serie es máxima ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Por lo tanto, el circuito LC en serie, cuando se conecta en serie con la carga, actuará como un filtro de paso de banda con impedancia cero en la frecuencia de resonancia.

A una frecuencia inferior a la frecuencia resonante es decir $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Por lo tanto, el circuito es capacitivo.
A una frecuencia superior a la frecuencia resonante es decir $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Por lo tanto, el circuito es inductivo.
A la frecuencia resonante es decir $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . la corriente es máxima y la impedancia es mínima. En este estado, el circuito puede actuar como un circuito aceptor.

Circuito LC en paralelo

En el circuito LC en paralelo, el inductor y el capacitor están conectados en paralelo, como se muestra en la figura.

El voltaje en cada terminal de los diferentes elementos en un circuito paralelo es el mismo. Por lo tanto, el voltaje en los terminales es igual al voltaje en el inductor y al voltaje en el condensador.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Ahora, la corriente total que fluye a través del circuito LC paralelo es igual a la suma de la corriente que fluye a través del inductor y la corriente que fluye a través del condensador.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Resonancia en el circuito LC paralelo

En la condición de resonancia, cuando la reactancia inductiva ( $X_L$ ) es igual a la reactancia capacitiva ( $X_C$ ), la corriente de rama reactiva es igual y opuesta. Por lo tanto, se anulan mutuamente para dar una corriente mínima en el circuito. En este estado, la impedancia total es máxima.

La frecuencia de resonancia está dada por

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Ahora, la impedancia del circuito LC paralelo se da por

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Ahora, la frecuencia angular de resonancia es $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , entonces la impedancia se convierte en

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Por lo tanto, en la condición de resonancia cuando $\omega = \omega_0$ la impedancia eléctrica total Z será infinita y la corriente suministrada al circuito LC paralelo será mínima ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Por lo tanto, el circuito LC paralelo, cuando se conecta en serie con la carga, actuará como un filtro de banda rechazada con impedancia infinita en la frecuencia de resonancia. El circuito LC paralelo conectado en paralelo con la carga actuará como un filtro de banda pasante.

A una frecuencia inferior a la frecuencia de resonancia, es decir, f<f0, XL >> XC. Por lo tanto, el circuito es inductivo.
A una frecuencia superior a la frecuencia de resonancia, es decir, f>f0, XC >> XL. Por lo tanto, el circuito es capacitivo.
A la frecuencia de resonancia, es decir, f = f0, XL = XC, la corriente es mínima y la impedancia es máxima. En este estado, el circuito puede actuar como un circuito rechazador.

Ecuaciones del circuito LC

Ecuación de corriente y voltaje

En la condición inicial:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

Durante la oscilación:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Ecuación diferencial del circuito LC

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedancia del circuito LC en serie

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Impedancia del circuito LC en paralelo

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Tiempo de establecimiento

El circuito LC puede actuar como un resonador eléctrico y almacenar energía que oscila entre el campo eléctrico y el campo magnético a una frecuencia llamada frecuencia de resonancia. Dado que cualquier sistema oscilatorio llega a una condición de estado estable en algún momento, conocido como tiempo de establecimiento.

El tiempo necesario para que la respuesta disminuya y se estabilice en su valor de estado estable y permanezca dentro de un ±2% de su valor final se llama tiempo de establecimiento.

Corriente del circuito LC

Suponga que $I(t)$ es la corriente instantánea que fluye a través del circuito. El voltaje caído sobre el inductor se expresa en términos de la corriente $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ y el voltaje caído sobre el capacitor es $V = \frac {Q}{C}$ , donde Q es la carga almacenada en la placa positiva del capacitor.

Ahora, de acuerdo con la ley de voltaje de Kirchhoff, la suma de las caídas de potencial en los diversos componentes de un circuito cerrado es igual a cero.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Dividiendo la ecuación anterior por L y diferenciándola con respecto a t, obtenemos

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (donde, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Ahora, la corriente en una simple armónica de oscilaciones se da por:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Donde $I_0 > 0$ y $\phi$ son constantes.

Al sustituir el valor de la ecuación (5) en (4) obtenemos,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 \sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 \sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} \cos ax = -a\sin ax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Por lo tanto, de la ecuación anterior, podemos decir que el circuito LC es un circuito oscilante y oscila a una frecuencia llamada frecuencia resonante.

Voltaje del Circuito LC

Ahora, según la ecuación (3), el voltaje inducido en un inductor es menos el voltaje a través del condensador.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Sustituyendo la ecuación de corriente de la ecuación (5), obtenemos

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

En otras palabras, el voltaje alcanza su máximo cuando la corriente llega a cero y viceversa. La amplitud de la oscilación del voltaje es la de la oscilación de la corriente multiplicada por $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Función de transferencia del circuito LC

La función de transferencia desde el voltaje de entrada hasta el voltaje a través del condensador es

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

De manera similar, la función de transferencia desde el voltaje de entrada hasta el voltaje a través del inductor es

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Respuesta Natural del Circuito LC

Supongamos que el condensador está inicialmente completamente descargado y el interruptor (K) se mantiene abierto durante mucho tiempo, y se cierra en t=0.

En t=0– el interruptor K está abierto

Esta es una condición inicial, por lo que podemos escribir,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Porque la corriente a través del inductor y el voltaje a través del capacitor no pueden cambiar instantáneamente.

Para todo t>=0+ el interruptor K está cerrado

Ahora se introduce la fuente de voltaje en el circuito. Por lo tanto, aplicando KVL al circuito, obtenemos,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Aquí, el voltaje a través del capacitor se expresa en términos de la corriente.

La ecuación anterior se llama ecuación integro-diferencial. Diferenciando ambos lados de la ecuación anterior con respecto a t, obtenemos,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

La ecuación (7) indica una ecuación diferencial de segundo orden de un circuito LC.

Reemplazamos $\frac{d^2}{dt^2}$ con s2, obtenemos,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Ahora las raíces de la ecuación anterior son

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Aquí $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ es la frecuencia natural de oscilación.

Respuesta en Frecuencia del Circuito LC

Usando el método de impedancia: La ecuación general para la respuesta en frecuencia del sistema es

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Suponga que el voltaje de salida ocurre a través de los terminales del condensador, aplique la regla del divisor de tensión al circuito anterior

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Donde, $Z_C =$ impedancia del condensador $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ impedancia del inductor $= {j \omega L}$

Sustituyéndolo en la ecuación (9), obtenemos

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Supongamos que el voltaje de salida ocurre a través del inductor, aplique la regla del divisor de tensión al circuito anterior

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Sustituya el valor de $Z_C$ y $Z_L$ en la ecuación anterior, obtenemos

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Las ecuaciones (10) y (12) indican la respuesta en frecuencia de un circuito L-C en forma compleja.

Ecuación diferencial del circuito LC

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

La ecuación anterior se llama ecuación integro-diferencial. Aquí, el voltaje a través del condensador se expresa en términos de la corriente.

Ahora, derivando la ecuación anterior en ambos lados con respecto a t, obtenemos,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

La ecuación anterior indica la ecuación diferencial de segundo orden del circuito LC.

Reemplazamos $\frac{d^2}{dt^2}$ por s2, obtenemos,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Ahora, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ por lo tanto, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , si lo sustituimos en la ecuación anterior obtenemos,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Carga y descarga de un circuito LC

En un circuito LC, tanto el inductor como el condensador son elementos de almacenamiento, es decir, el inductor almacena energía en su campo magnético (B), dependiendo de la corriente que pasa por él, y el condensador almacena energía en el campo eléctrico (E) entre sus placas conductoras, dependiendo del voltaje aplicado a través de él.

Supongamos que inicialmente, el condensador contiene una carga q, y entonces toda la energía del circuito está inicialmente almacenada en el campo eléctrico del condensador. La energía almacenada en el condensador es

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Ahora, si se conecta un inductor a través de un condensador cargado, el voltaje a través del condensador causará que fluya corriente a través del inductor, lo que produce un campo magnético alrededor del inductor, el condensador comienza a descargarse y el voltaje a través del condensador se reduce a cero a medida que la carga se usa por el flujo de corriente ( $I = \frac{q}{t}$ ).

En este momento, el condensador está completamente descargado y toda la energía está almacenada en el campo magnético del inductor. En este instante, la corriente está en su valor máximo y la energía almacenada en el inductor se da por ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Debido a la ausencia de un resistor, no hay disipación de energía en el circuito. Por lo tanto, la máxima energía almacenada en el condensador es igual a la máxima energía almacenada en el inductor.

En este instante, la energía almacenada en el campo magnético alrededor del inductor induce un voltaje a través del bobinado según la ley de inducción electromagnética de Faraday ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Este voltaje inducido causa que fluya corriente a través del condensador y el condensador comienza a recargarse con un voltaje de polaridad opuesta.

Este proceso de carga y descarga comenzará nuevamente, con la corriente fluyendo en la dirección opuesta a través del inductor como antes.

Así, la carga y descarga del circuito LC pueden ser cíclicas y la energía oscila entre el condensador y el inductor hasta que la resistencia interna hace que las oscilaciones desaparezcan.

La figura muestra la forma de onda de voltaje y corriente de carga y descarga.

Forma de Onda de Carga y Descarga del Circuito LC — Forma de Onda de Voltaje y Corriente de Carga y Descarga

Aplicaciones del Circuito LC

Las aplicaciones de los circuitos LC incluyen:

Las aplicaciones de un circuito LC se involucran principalmente en muchos dispositivos electrónicos, particularmente en equipos de radio como transmisores, receptores de radio y TV, amplificadores, osciladores, filtros, sintonizadores y mezcladores de frecuencia.
Los circuitos LC también se utilizan para producir señales a una frecuencia particular o para aceptar una señal de una señal más compleja a una frecuencia particular.
El propósito principal de un circuito LC es generalmente oscilar con el mínimo amortiguamiento, por lo que la resistencia se hace tan baja como sea posible.
Un circuito de resonancia en serie proporciona amplificación de voltaje.
Un circuito de resonancia en paralelo proporciona amplificación de corriente.

¿Qué es el Amortiguamiento?

El amortiguamiento es la disminución de la amplitud de una oscilación o movimiento de onda con el tiempo. La resonancia es el aumento de la amplitud a medida que disminuye el amortiguamiento.

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