Ανάλυση Κύκλου LC: Σειριακά και Παράλληλα Κύκλους, Εξισώσεις και Διασπορική Συνάρτηση

Electrical4u

Πεδίο: Βασική ηλεκτροτεχνία

China

Τι είναι ένα κύκλωμα LC;

Ένα κύκλωμα LC (επίσης γνωστό ως φίλτρο LC ή δίκτυο LC) ορίζεται ως ηλεκτρικό κύκλωμα που αποτελείται από τα παθητικά στοιχεία κυκλώματος, ένα ενδυναμιστή (L) και ένα καταστηματικό (C) που είναι συνδεδεμένα μαζί. Αυτό είναι επίσης γνωστό ως κύκλωμα συντονισμού, κύκλωμα συντόνισης ή κύκλωμα ρυθμισμένης συχνότητας.

Λόγω της απουσίας ενός αντιστοιχιστή στην ιδεαλική μορφή του κυκλώματος, ένα κύκλωμα LC δεν καταναλώνει ενέργεια. Αυτό διαφέρει από τις ιδεαλικές μορφές των κυκλωμάτων RC, κυκλωμάτων RL, ή κυκλωμάτων RLC, που καταναλώνουν ενέργεια λόγω της παρουσίας ενός αντιστοιχιστή.

Ωστόσο, σε ένα πρακτικό κύκλωμα, ένα κύκλωμα LC θα καταναλώνει πάντα κάποια ενέργεια λόγω της μη μηδενικής αντίστασης των συστατικών και των συνδετικών καλωδίων.

Γιατί ένα κύκλωμα LC ονομάζεται συντονισμένο κύκλωμα ή κύκλωμα δεξαμενής;

Η φορτία ρέει επανειλημμένα μεταξύ των πλακών του καταναλωτή και μέσω του αυξαντή. Η ενέργεια αλλάζει μεταξύ του καταναλωτή και του αυξαντή μέχρι η εσωτερική αντίσταση των συστατικών και των συνδετικών καλωδίων να κάνει τις ταλάντες να λήξουν.

Η λειτουργία αυτού του κυκλώματος είναι όπως μια συντονισμένη δράση, γνωστή μαθηματικά ως αρμονικός ταλαντωτής, η οποία είναι παρόμοια με έναν κρεμαστό να ταλαντώνεται επανειλημμένα ή νερό να ρέει επανειλημμένα σε μια δεξαμενή· γι' αυτό το λόγο, το κύκλωμα ονομάζεται συντονισμένο κύκλωμα ή κύκλωμα δεξαμενής.

Το κύκλωμα μπορεί να λειτουργήσει ως ηλεκτρικός συντονιστής και να αποθηκεύσει ενέργεια που ταλαντώνεται στη συχνότητα που ονομάζεται συντονισμένη συχνότητα.

Σειριακό κύκλωμα LC

Στο σειριακό κύκλωμα LC, ο αυξαντής και ο καταναλωτής είναι συνδεδεμένοι σε σειρά, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Επειδή σε ένα σειριακό κύκλωμα ο ρεύστης είναι ο ίδιος σε όλη την καταστρώμα, ο ρεύστης που ρέει είναι ίσος με τον ρεύστη που ρέει μέσω του αυξαντή και του καταναλωτή.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Τώρα η συνολική τάση στους πόλους είναι ίση με το άθροισμα της τάσης πέραν του καταναλωτή και της τάσης πέραν του ενδυνάμωση.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Συντονισμός σε σειριακό κύκλωμα LC

Όταν αυξάνεται η συχνότητα, αυξάνεται και η μέγεθος της επινοϊκής αντίδρασης.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

και το μέγεθος της καταναλωτικής αντίδρασης μειώνεται.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Τώρα, σε συνθήκες αντήχησης, η μέγεθος της επινοημένης αντίδρασης και της χωρητικής αντίδρασης γίνεται ίσος.

Τώρα, το περιπλάνηση του σειριακού κυκλώματος LC δίνεται από

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Τώρα, σε συνθήκες αντήχησης, η μέγεθος της επινοημένης αντίδρασης και της χωρητικής αντίδρασης γίνεται ίσος.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Όπου, $\omega_0$ είναι η συντονική γωνιακή συχνότητα (βαθμοί ανά δευτερόλεπτο).

Τώρα η συντονική γωνιακή συχνότητα είναι $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , τότε η αντίσταση γίνεται

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Επομένως, κατά τη συντονική συνθήκη, όταν $\omega = \omega_0$ η συνολική ηλεκτρική αντίσταση Z θα είναι μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι XL και XC αναιρούνται μεταξύ τους. Συνεπώς, ο ρεύματος που παρέχεται σε μια σειριακή LC διάταξη είναι μέγιστο ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Επομένως, η σειριακή LC διάταξη, όταν συνδέεται σε σειρά με το φορτίο, θα λειτουργεί ως φίλτρο πέρασης ζώνης με μηδενική αντίσταση στη συντονική συχνότητα.

- Σε συχνότητα κάτω από την συντονική συχνότητα δηλαδή $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Συνεπώς, το περίπτωσμα είναι χωρητικό.
- Σε συχνότητα πάνω από την συντονική συχνότητα δηλαδή $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Συνεπώς, το περίπτωσμα είναι μαγνητικό.
- Σε συντονική συχνότητα δηλαδή $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . Το ρεύμα είναι μέγιστο και η αντίσταση είναι ελάχιστη. Σε αυτή την κατάσταση, το περίπτωσμα μπορεί να λειτουργήσει ως παραλήψιμο περίπτωσμα.
Παράλληλο LC Περίπτωσμα

Στο παράλληλο LC περίπτωσμα, ο δεξαμενόφωνος και ο χωρητής είναι συνδεδεμένοι παράλληλα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Παράλληλο LC Περίπτωσμα

Η τάση σε κάθε πόλο διαφορετικών στοιχείων σε ένα παράλληλο κύκλωμα είναι η ίδια. Επομένως, η τάση στους πόλους είναι ίση με την τάση στον αυξαντή και την τάση στον κατασταλτή.
   $\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$
Τώρα, ο συνολικός ρευστός που ρέει μέσω του παράλληλου κυκλώματος LC είναι ίσος με το άθροισμα του ρευστού που ρέει μέσω του αυξαντή και του ρευστού που ρέει μέσω του κατασταλτή.
   $\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Συντονισμός σε Παράλληλο Κύκλωμα LC

Κατά την κατάσταση συντονισμού, όταν η αντίδραση αυξαντή ( $X_L$ ) είναι ίση με την αντίδραση κατασταλτή ( $X_C$ ), ο ρευστός των αντίδρασεων είναι ίσος και αντίθετος. Συνεπώς, αυτοί αναιρούνται μεταξύ τους, δίνοντας ελάχιστο ρευστό στο κύκλωμα. Σε αυτή την κατάσταση, η συνολική αντίσταση είναι μέγιστη.
Η συχνότητα συντονισμού δίνεται από
   $\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$
Τώρα η αντίσταση του παράλληλου κυκλώματος LC δίνεται από
   $\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$
Τώρα η γωνιακή συχνότητα συντονισμού είναι $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , τότε η αντίσταση γίνεται
(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$
Άρα, σε συνθήκες αντιστοιχίας όπου $\omega = \omega_0$ η συνολική ηλεκτρική αντίσταση Z θα είναι άπειρη και ο ρεύμα που παρέχεται σε ένα παράλληλο κύκλωμα LC θα είναι ελάχιστο ( $I = \frac {V} {Z}$ ).
Άρα, το παράλληλο κύκλωμα LC, όταν συνδεθεί σε σειρά με το φορτίο, θα λειτουργεί ως φίλτρο αποκλεισμού ζώνης με άπειρη αντίσταση στην συχνότητα αντιστοιχίας. Το παράλληλο κύκλωμα LC, όταν συνδεθεί παράλληλα με το φορτίο, θα λειτουργεί ως φίλτρο διέλευσης ζώνης.
- Σε συχνότητες κάτω από την συχνότητα αντιστοιχίας, δηλαδή f<f0, XL >> XC. Άρα το κύκλωμα είναι ινδουκτικό.
- Σε συχνότητες πάνω από την συχνότητα αντιστοιχίας, δηλαδή f>f0, XC >> XL. Άρα το κύκλωμα είναι καταναλωτικό.
- Σε συχνότητα αντιστοιχίας, δηλαδή f = f0, XL = XC, το ρεύμα είναι ελάχιστο και η αντίσταση είναι μέγιστη. Σε αυτή την κατάσταση, το κύκλωμα μπορεί να λειτουργήσει ως κύκλωμα απόρριψης.
Εξισώσεις κυκλώματος LC

Εξίσωση ρεύματος και τάσης
- Σε αρχικές συνθήκες:
$\begin{align*} I(0) = I_0 \sin\phi \end{align*}$
$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 \sin\phi \end{align*}$
- Κατά την ταλάντωση:
   $\begin{align*} I(t) = I_0 \sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 \sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Διαφορική εξίσωση κύκλου LC
   $\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Το εμπόδιο του σειριακού κύκλου LC

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$
Αντίσταση του Παράλληλου LC Κύκλου

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Χρόνος Ρύθμισης

Ο κύκλος LC μπορεί να λειτουργήσει ως ηλεκτρικός διέυθυνσης και να αποθηκεύει ενέργεια που ταλαντώνεται μεταξύ του ηλεκτρικού πεδίου και του μαγνητικού πεδίου σε μια συχνότητα που ονομάζεται συντονιστική συχνότητα. Επειδή κάθε ταλαντωτικό σύστημα φθάνει σε σταθερή κατάσταση μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, γνωστό ως χρόνος ρύθμισης.
Ο χρόνος που απαιτείται για την απόκριση να μειωθεί και να γίνει σταθερή στη σταθερή τιμή της και να παραμείνει εκεί μετά σε ± 2% της τελικής τιμής της ονομάζεται χρόνος ρύθμισης.

Τροφοδοσία Κύκλου LC

Υποθέστε ότι $I(t)$ είναι η στιγμιότυπη τροφοδοσία που ρέει μέσα από τον κύκλο. Η πτώση τάσης στον αντιδραστικό εκφράζεται σε όρους τροφοδοσίας $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ και η πτώση τάσης στο καταναλωτή είναι $V = \frac {Q}{C}$ , όπου Q είναι η φορτία που αποθηκεύεται στη θετική πλάκα του καταναλωτή.

Ένα κύκλωμα LC

Σύμφωνα με το νόμο της ισχύος Kirchhoff, η αθροίσματος των δυναμικών πέττων στα διάφορα συστατικά ενός κλειστού κύκλου είναι ίση με μηδέν.
(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$
Διαιρώντας την παραπάνω εξίσωση με L και διαφορικοποιώντας την σε σχέση με t, παίρνουμε

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$
Τώρα η συνεχής τρέχουσα σε μια απλή αρμονική κίνηση δίνεται από:
(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$
Όπου $I_0 > 0$ και $\phi$ είναι σταθερές.
Αντικαθιστώντας την τιμή της εξίσωσης (5) στην (4) παίρνουμε,
   $\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$
   $\begin{align*} -\omega^2 I_0 \sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 \sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} \cos ax = -a\sin ax] \end{align*}$
   $\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$
(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Άρα, από την παραπάνω εξίσωση, μπορούμε να πούμε ότι ο κύκλος LC είναι ένας ταλαντώτης κύκλος και ταλαντώνεται σε μια συχνότητα που ονομάζεται συντονική συχνότητα.

Τάση στον Κύκλο LC

Σύμφωνα με την εξίσωση (3), η επενδυτική τάση σε έναν διαβαθμιστή είναι αντίθετη με την τάση στο καταναλωτή.
   $\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$
Αντικαθιστούμε την εξίσωση του ρεύματος από την εξίσωση (5), παίρνουμε
   $\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$
Με άλλα λόγια, η τάση φθάνει στο μέγιστο όταν το ρεύμα φθάνει στο μηδέν και αντίστροφα. Η πλάτος της ταλάντωσης της τάσης είναι ο πολλαπλασιασμός του πλάτους της ταλάντωσης του ρεύματος με $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Συνάρτηση Μεταφοράς του LC Περιβάλλοντος

Η συνάρτηση μεταφοράς από την εισερχόμενη τάση στην τάση πάνω στο καταναλωτή είναι
   $\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$
Όμοια, η συνάρτηση μεταφοράς από την είσοδο ενέργειας στην ενέργεια που διατρέχει το καταναλωτή είναι
   $\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Φυσική Απόκριση Κύκλου LC

Υποθέτουμε ότι ο καταναλωτής είναι αρχικά πλήρως απολελυμένος και ο διαχειριστής (K) είναι ανοιχτός για πολύ μεγάλο διάστημα και κλείνει στο t=0.
- Στο t=0– ο διαχειριστής K είναι ανοιχτός
Αυτή είναι μια αρχική συνθήκη, άρα μπορούμε να γράψουμε,
$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$
$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$
Επειδή ο ρευστός μέσω του εγχύτη και η τάση δια του ελαστικού δεν μπορούν να αλλάξουν αμέσως.
- Για όλα τα t>=0+ ο διαχειριστής K είναι κλειστός
Τώρα, η πηγή τάσης εισάγεται στο κύκλωμα. Άρα, εφαρμόζοντας το KVL (Κύκλος Ανεξάρτητων Τάσεων) στο κύκλωμα, παίρνουμε,
   $\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$
Εδώ, η τάση δια του ελαστικού εκφράζεται σε σχέση με τον ρευστό.
Η παραπάνω εξίσωση ονομάζεται ολοκληρωτική-διαφορική εξίσωση. Διαφορίζοντας και τα δύο πλευρά της παραπάνω εξίσωσης ως προς το t, παίρνουμε,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Η εξίσωση (7) δείχνει μια διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθμού ενός κυκλώματος LC.
Αντικαταστήστε το $\frac{d^2}{dt^2}$ με s2, παίρνουμε,
(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Τώρα οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης είναι
   $\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$
Εδώ, $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ είναι η φυσική συχνότητα ταλάντωσης.

Απόκριση σε Συχνότητα του Κύκλου LC

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντίθεσης: Η γενική εξίσωση για την απόκριση σε συχνότητα του συστήματος είναι
   $\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$
- Υποθέτουμε ότι η τάση εξόδου παρουσιάζεται στα κατωφλιακά του καταναλωτή, εφαρμόζουμε τον κανόνα της δυναμικής διαίρεσης στο παραπάνω κύκλο
(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Όπου, $Z_C =$ Αντίσταση του καπακίτων $= \frac{1}{j \omega C}$
$Z_L =$ Αντίσταση του ενδυνάμωση $= {j \omega L}$
Αντικαθιστώντας το στην εξίσωση (9), παίρνουμε
$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$
(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
- Υποθέτουμε ότι η εξόδια τάση παρουσιάζεται στον αυξανόμενο, εφαρμόζουμε τον κανόνα διαίρεσης τάσης στο παραπάνω κύκλωμα
(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
Αντικαταστήστε την τιμή του $Z_C$ και $Z_L$ στην παραπάνω εξίσωση, παίρνουμε
   $\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$
(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
Η εξίσωση (10) και (12) δείχνει την απόκριση συχνότητας ενός πυκνωτή-διαλύτη (L-C) σε μιγαδική μορφή.

Διαφορική Εξίσωση Πυκνωτή-Διαλύτη (L-C)

   $\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$
Η παραπάνω εξίσωση ονομάζεται διαφορική-ολοκληρωτική εξίσωση. Σε αυτή την εξίσωση, η τάση στο καταθέτη εκφράζεται ως συνάρτηση του ρεύματος.
Τώρα, διαφορίζοντας την παραπάνω εξίσωση κατά t, παίρνουμε,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Η παραπάνω εξίσωση δείχνει τη διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθμού του κυκλώματος LC.
Αντικαταστήστε το $\frac{d^2}{dt^2}$ με s2, έχουμε,
(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
Τώρα, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ επομένως, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , αντικαταστήστε το στην παραπάνω εξίσωση και έχουμε,
   $\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Φόρτιση και ξεφόρτιση κύκλου LC

Σε ένα κύκλωμα LC, ο διαλογιστής και ο παρασυνδυαστής είναι και οι δύο στοιχεία αποθήκευσης, δηλαδή ο διαλογιστής αποθηκεύει ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο (B), εξαρτώμενα από την ροή που διέρχεται μέσα του, ενώ ο παρασυνδυαστής αποθηκεύει ενέργεια στο ηλεκτρικό πεδίο (E) μεταξύ των ηλεκτροδών του, εξαρτώμενα από την τάση που εφαρμόζεται σε αυτό.
Υποθέτουμε ότι αρχικά, ο παρασυνδυαστής περιέχει φόρτηση q, και έπειτα όλη η ενέργεια του κυκλώματος αρχικά αποθηκεύεται στο ηλεκτρικό πεδίο του παρασυνδυαστή. Η ενέργεια που αποθηκεύεται στον παρασυνδυαστή είναι
$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Φόρτωση και Απόφορτωση του LC Circuit

Αν ενα διαστέλτης συνδεθεί με ένα φορτισμένο χωρητή, η τάση στον χωρητή θα προκαλέσει ροή ρεύματος μέσω του διαστέλτη, παράγοντας ένα μαγνητικό πεδίο γύρω από τον διαστέλτη, ο χωρητής ξεκινά να αποφορτώνεται και η τάση στον χωρητή μειώνεται σε μηδέν καθώς το φορτίο χρησιμοποιείται από τη ροή ρεύματος ( $I = \frac{q}{t}$ ).
Τώρα ο χωρητής είναι εξολοκλήρου αποφορτωμένος και όλη η ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο του διαστέλτη. Σε αυτή τη στιγμή, το ρεύμα είναι στη μέγιστη του τιμή και η αποθηκευμένη ενέργεια στον διαστέλτη δίνεται από ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .
Λόγω της απουσίας ενός αντιστάτη, δεν υπάρχει διάσπαση ενέργειας στο περιβάλλον. Έτσι, η μέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στον χωρητή είναι ίση με τη μέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στον διαστέλτη.
Σε αυτή τη στιγμή, η αποθηκευμένη ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο γύρω από τον διαστέλτη προκαλεί μια τάση στον κύκλο σύμφωνα με το νόμο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής του Faraday ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Αυτή η επαγωγημένη τάση προκαλεί ροή ρεύματος μέσω του χωρητή και ο χωρητής ξεκινά να φορτώνεται με μια τάση αντίθετης πολικότητας.
Αυτή η διαδικασία φόρτωσης και απόφορτωσης θα ξεκινήσει ξανά, με το ρεύμα να ρέει στην αντίθετη κατεύθυνση μέσω του διαστέλτη όπως πριν.
Έτσι, η φόρτιση και αποφόρτιση του κυκλώματος LC μπορεί να γίνεται με κυκλικό τρόπο και η ενέργεια ταλαντώνεται εμπρός-πίσω μεταξύ του πυκνωτή και του πηνίου μέχρι η εσωτερική αντίσταση να σβήσει τις ταλαντώσεις.
Η εικόνα δείχνει την κυματομορφή τάσης και ρεύματος κατά τη φόρτιση και αποφόρτιση.

Κυματομορφή Τάσης και Ρεύματος Φόρτισης και Αποφόρτισης

Εφαρμογές Κυκλώματος LC

Οι εφαρμογές των κυκλωμάτων LC περιλαμβάνουν:
- Οι εφαρμογές ενός κυκλώματος LC αφορούν κυρίως πολλές ηλεκτρονικές συσκευές, ιδιαίτερα ραδιοσυσκευές όπως πομποί, δέκτες ραδιοφώνου, δέκτες τηλεόρασης, ενισχυτές, ταλαντωτές, φίλτρα, τυποποιητές και αναμικτές συχνοτήτων.
- Τα κυκλώματα LC χρησιμοποιούνται επίσης για την παραγωγή σημάτων σε μια συγκεκριμένη συχνότητα ή για την αποδοχή ενός σήματος από ένα πιο σύνθετο σήμα σε μια συγκεκριμένη συχνότητα.
- Ο κύριος σκοπός ενός κυκλώματος LC είναι συνήθως να ταλαντώνεται με ελάχιστη απόσβεση, οπότε η αντίσταση κατασκευάζεται όσο το δυνατόν χαμηλότερη.
- Ένα κύκλωμα σειράς με συντονισμό παρέχει μεγέθυνση τάσης.
- Ένα παράλληλο κύκλωμα συντονισμού παρέχει μεγέθυνση ρεύματος.
Τι είναι η Απόσβεση;

Η απόσβεση είναι η μείωση του πλάτους μιας ταλάντωσης ή κυματικής κίνησης με την πάροδο του χρόνου. Ο συντονισμός είναι η αύξηση του πλάτους καθώς η απόσβεση μειώνεται.
Δήλωση: Σεβαστείτε το πρωτότυπο, καλά άρθρα αξίζουν να μοιραστούν, εάν υπάρχει παραβίαση δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας παρακαλώ επικοινωνήστε για διαγραφή.