Аналіз LC-кола: Серійні та паралельні кола Рівняння та передавальна функція

Electrical4u

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке LC-контур?

LC-контур (також відомий як LC-фільтр або LC-мережа) — це електричний контур, що складається з пасивних елементів контуру: індуктора (L) та конденсатора (C), підключених разом. Його також називають резонансним контуром, резервуарним контуром або настроюваним контуром.

Завдяки відсутності резистора у ідеальній формі контуру, LC-контур не споживає енергії. Це відрізняється від ідеальних форм RC-контурів, RL-контурів або RLC-контурів, які споживають енергію через наявність резистора.

Проте в практичному контурі LC-контур завжди буде споживати деяку кількість енергії через ненульове опору компонентів та з'єднуючих дротів.

Чому LC-контур називають налаштованим контуром або резонансним контуром?

Заряд перетворюється між пластинами конденсатора та через індуктор. Енергія осцилює між конденсатором та індуктором, поки внутрішні опори компонентів та з'єднуючих дротів не припинять коливання.

Дія цього контуру подібна налаштованій дії, відомій як гармонічний осцилятор, що схожий на маятник, який коливається взад-вперед, або воду, яка потрапляє взад-вперед у резервуар; саме тому контур називають налаштованим контуром або резонансним контуром.

Цей контур може діяти як електричний резонатор, зберігаючи енергію, що коливається на частоті, відомій як резонансна частота.

Серійний LC-контур

У серійному LC-контурі індуктор та конденсатор підключені поспіль, як показано на малюнку.

Оскільки в серійному контурі струм однаковий в усіх точках контуру, то струм через індуктор та конденсатор також однаковий.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Загалом напруга на кінцях дорівнює сумі напруги на конденсаторі та напруги на індукторі.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Резонанс в серійному LC контурі

Коли частота зростає, величина індуктивного реактивного опору також зростає

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

і величина емпідансу конденсатора зменшується.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Тепер, у резонансному стані величина індуктивного та ємнісного реактивних опорів стає однаковою.

Тепер опір серійного LC контуру визначається як

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Тепер, у резонансному стані величина індуктивного та ємнісного реактивних опорів стає однаковою.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Де $\omega_0$ — це резонансна кутова частота (радіани за секунду).

Тепер кутова резонансна частота становить $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , тоді імпеданс стає

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Отже, при резонансних умовах, коли $\omega = \omega_0$ загальний електричний імпеданс Z буде дорівнювати нулю, що означає, що XL та XC знищують один одного. Тому, струм, поданий до серійного LC контура, максимальний ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Тому, коли серійний LC контур підключений в серію з навантаженням, він діє як полосовий фільтр з нульовим імпедансом на резонансній частоті.

При частоті нижчій за резонансну, тобто $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Отже, схема є ємнісною.
При частоті вищій за резонансну, тобто $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Отже, схема є індуктивною.
При резонансній частоті, тобто $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . струм максимальний, а опір мінімальний. У цьому стані схема може працювати як приймальна схема.

Паралельне LC коло

У паралельному LC колі індуктор і конденсатор з'єднані паралельно, як показано на малюнку.

Parallel LC Circuit — Паралельне LC коло

Напруга на кожному з кінців різних елементів в паралельному контурі однакова. Тому напруга на кінцях дорівнює напрузі на індукторі та напрузі на конденсаторі.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Тепер загальний струм, що пройшов через паралельний LC-контур, дорівнює сумі струму, що пройшов через індуктор, та струму, що пройшов через конденсатор.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Резонанс в паралельному LC-контурі

У резонансному стані, коли індуктивна реактивна опір ( $X_L$ ) дорівнює ємнісному реактивному опору ( $X_C$ ), реактивний струм у гілках дорівнює і протилежний. Тому вони компенсують один одного, забезпечуючи мінімальний струм в контурі. У цьому стані загальний імпеданс максимальний.

Резонансна частота визначається за формулою

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Тепер імпеданс паралельного LC контуру визначається як

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Тепер кутова резонансна частота є $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , тоді імпеданс стає

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Таким чином, при резонансних умовах, коли $\omega = \omega_0$ загальна електрична імпеданс Z буде нескінченна, а струм, підсилюваний до паралельного LC контуру, є мінімальним ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Тому паралельний LC контур, підключений послідовно з навантаженням, буде діяти як фільтр нижньої частоти з нескінченною імпедансом на резонансній частоті. Паралельний LC контур, підключений паралельно до навантаження, буде діяти як полосовий фільтр.

На частотах нижче резонансної, тобто f<f0, XL >> XC. Тому контур є індуктивним.
На частотах вище резонансної, тобто f>f0, XC >> XL. Тому контур є ємнісним.
На резонансній частоті, тобто f = f0, XL = XC, струм є мінімальним, а імпеданс максимальним. У цьому стані контур може діяти як фільтр-викидник.

Рівняння LC контуру

Рівняння струму та напруги

У початкових умовах:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

При коливаннях:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Диференціальне рівняння LC контуру

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Імпеданс послідовного LC-кола

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Імпеданс паралельного LC контуру

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Час установлення

LC контур може діяти як електричний резонатор, зберігаючи енергію, яка коливається між електричним і магнітним полями на частоті, відомій як резонансна частота. Оскільки будь-яка коливальна система досягає стаціонарного стану через певний час, відомий як час установлення.

Час, необхідний для того, щоб відповідь зменшилася і стала стаціонарною при своїй стаціонарній значенні, і залишалася в межах ± 2% від свого кінцевого значення, називається часом установлення.

Струм LC контуру

Припустимо, $I(t)$ — це моментальний струм, що проходить через контур. Напруга, що спадає на індукторі, виражається через струм $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ , а напруга, що спадає на конденсаторі, дорівнює $V = \frac {Q}{C}$ , де Q — заряд, збережений на додатній пластині конденсатора.

За законом Кірхгофа для напруг, сума потенційних спадів по різних компонентах замкнутого контура дорівнює нулю.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Поділивши це рівняння на L і продиференціювавши його за t, отримаємо

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Тепер струм у простій гармонічній коливанні має вигляд:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Там де $I_0 > 0$ і $\phi$ є константами.

Підставивши значення рівняння (5) у (4), отримуємо,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Таким чином, з вищенаведеного рівняння можна сказати, що LC-контур є коливальним контуром, і він коливається на частоті, яка називається резонансною частотою.

Напруга LC-контуру

Зараз, згідно з рівнянням (3), наведена напруга на індукторі дорівнює мінус напрузі на конденсаторі.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Підставивши рівняння струму з рівняння (5), отримуємо

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

Іншими словами, напруга досягає максимального значення, коли струм дорівнює нулю, і навпаки. Амплітуда коливань напруги є амплітудою коливань струму, помноженою на $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Передаточна функція LC-контурів

Передаточна функція від входової напруги до напруги на конденсаторі становить

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Аналогічно, передаточна функція від входової напруги до напруги на індукторі

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Природна відповідь LC контуру

Припустимо, що конденсатор спочатку повністю розряджений, а перемикач (K) залишається відкритим протягом дуже довгого часу, і він замикатиметься в момент t=0.

В момент t=0– перемикач K відкритий

Це початкова умова, тому ми можемо записати,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Оскільки струм через індуктор та напруга на конденсаторі не можуть змінитися моментально.

Для всіх t>=0+ перемикач K закритий

Зараз в цепі вводиться джерело напруги. Тому, застосовуючи закон Кірхгофа для напруг, ми отримуємо,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Тут напруга на конденсаторі виражається через струм.

Наведене рівняння називається інтегро-диференціальним рівнянням. Диференціюючи обидві сторони наведеного рівняння відносно t, ми отримуємо,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Рівняння (7) вказує на диференціальне рівняння другого порядку LC-кола.

Замінимо $\frac{d^2}{dt^2}$ на s2, отримаємо,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Тепер корені наведеного вище рівняння такі:

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Тут $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ — це природна частота коливань.

Частотна характеристика LC-ланцюга

Використовуючи метод імпедансу: загальне рівняння для системи частотної характеристики має вигляд

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Припустимо, що вихідна напруга виникає на затискачах конденсатора, застосуємо правило подільника потенціалів до наведеного вище ланцюга

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Де, $Z_C =$ імпеданс конденсатора $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ імпеданс індуктора $= {j \omega L}$

Підставивши це в рівняння (9), отримуємо

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Припустимо, що вихідне напруга з'являється на дроселі, застосуйте правило потенціального дільника до вищезазначеного кола

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Підставте значення $Z_C$ та $Z_L$ у вищенаведене рівняння, ми отримаємо

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Рівняння (10) і (12) показують частотну характеристику LC-схеми у комплексному вигляді.

Диференціальне рівняння LC-схеми

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Наведене вище рівняння називається інтегро-диференціальним рівнянням. Тут напруга на конденсаторі виражається через струм.

Тепер, диференціюючи це рівняння з обох боків по t, ми отримуємо,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Надане рівняння вказує на диференціальне рівняння другого порядку для LC-контурів.

Замінимо $\frac{d^2}{dt^2}$ на s2, отримаємо,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Тепер, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ тому, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , підставивши це в попереднє рівняння, отримаємо,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Зарядження та розрядження LC контуру

У LC контурі індуктор та конденсатор є елементами зберігання, тобто індуктор зберігає енергію в своєму магнітному полі (B), залежно від струму, що проходить через нього, а конденсатор зберігає енергію в електричному полі (E) між своїми провідними пластинами, залежно від напруги, що прикладена до нього.

Припустимо, що спочатку конденсатор містить заряд q, і всі енергія контуру початково зберігається в електричному полі конденсатора. Енергія, збережена в конденсаторі, дорівнює

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Якщо індуктор під'єднаний до зарядженого конденсатора, напруга на конденсаторі спричинить потік струму через індуктор, що виробляє магнітне поле навколо індуктора, конденсатор починає розряджатися, а напруга на конденсаторі зменшується до нуля, оскільки заряд використовується струмом ( $I = \frac{q}{t}$ ).

На цьому етапі конденсатор повністю розряджений, а вся енергія зберігається в магнітному полі індуктора. В цей момент струм досягає максимального значення, а енергія, збережена в індукторі, визначається за формулою ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Оскільки резистора немає, енергія не дисипується в контурі. Таким чином, максимальна енергія, збережена в конденсаторі, дорівнює максимальної енергії, збереженої в індукторі.

На цьому етапі енергія, збережена в магнітному полі навколо індуктора, викликає напругу на обмотці відповідно до закону Фарадея електромагнітної індукції ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Ця індуктована напруга спричиняє потік струму через конденсатор, і конденсатор починає заряджатися з напругою протилежної полярності.

Цей процес зарядження та розрядження почнеться знову, з потоком струму в протилежному напрямку через індуктор, як і раніше.

Таким чином, зарядження та розрядження LC-контуру можуть відбуватися циклічно, і енергія коливається між конденсатором та індуктором, поки внутрішнє опор не зробить коливання слабкими.

На малюнку показано напругу та струм під час зарядження та розрядження.

Напруга та струм під час зарядження та розрядження LC-контуру — Напруга та струм під час зарядження та розрядження

Застосування LC-контурів

Застосування LC-контурів включають:

Основні застосування LC-контурів включають багато електронних пристроїв, особливо радіообладнання, таке як передавачі, радіоприймачі, телевізори, підсилювачі, генератори, фільтри, налаштувачі та сумішники частот.
LC-контури також використовуються для створення сигналів певної частоти або вилучення сигналу певної частоти з більш складного сигналу.
Основна мета LC-контуру — коливатися з мінімальним демпфуванням, тому опір робиться якомога меншим.
Серійний резонансний контур надає напругу вищого рівня.
Паралельний резонансний контур надає струм вищого рівня.