Analiza LC kruga: Serijski i paralelni krugovi jednačine i prenosna funkcija

Electrical4u

Polje: Osnovna elektronika

China

Šta je LC kružna vez?

LC kružna vez (takođe poznata kao LC filter ili LC mreža) definiše se kao električna kružna vez koja se sastoji od pasivnih elemenata kružne veze, induktora (L) i kondenzatora (C), povezanih zajedno. Takođe se naziva rezonantna kružna vez, tank kružna vez ili podešena kružna vez.

Zbog odsustva otpornika u idealnom obliku kružne veze, LC kružna vez ne potroši energiju. To je različito od idealnih oblika RC kružnih veza, RL kružnih veza ili RLC kružnih veza, koje potrošavaju energiju zbog prisutnosti otpornika.

Ipak, u praktičnoj kružnoj vezi, LC kružna vez će uvijek potrošiti neku količinu energije zbog nenultog otpora komponenti i spojnih žica.

Zašto se LC krug zove akcentirani krug ili rezervoarski krug?

Napon napona se kreće unazad i naprijed između ploča kondenzatora i kroz induktor. Energija osciluje između kondenzatora i induktora dok interni otpor komponenti i spojnih žica ne dovede do prestanka oscilacija.

Rad ovog kruga je sličan akcentiranom radu, matematički poznatom kao harmonijski oscilator, što je slično pendulu koji se krece unazad i naprijed ili vodi koja teče unazad i naprijed u rezervoaru; zato se ovaj krug zove akcentirani krug ili rezervoarski krug.

Krug može delovati kao električni rezonator i čuvati energiju koja osciluje na frekvenciji koja se naziva rezonantna frekvencija.

Serijski LC krug

U serijskom LC krugu, induktor i kondenzator su povezani nizno, kako je prikazano na slici.

Pošto je struja u serijskom krugu ista svuda u krugu, to znači da je struja kroz induktor jednaka struji kroz kondenzator.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Sada je ukupni napon na terminalima jednak zbiru napona na kondenzatoru i naponskom padu na induktivnosti.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Rezonanca u serijskom LC krugu

Kada se frekvencija povećava, magnituda induktivne reaktivnosti takođe raste

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

a magnituda kapacitivne reaktivnosti opada.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Sada, u uslovima rezonancije, apsolutna vrednost induktivnog reaktansa i kapacitivnog reaktansa postaje jednaka.

Sada impedansa serije LC kruga data je sa

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Sada, u uslovima rezonancije, apsolutna vrednost induktivnog reaktansa i kapacitivnog reaktansa postaje jednaka.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Где, $\omega_0$ је резонантна угаона фреквенција (радијани по секунди).

Сада, угаона резонантна фреквенција је $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , онда импеданс постаје

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Дакле, при резонантним условима када је $\omega = \omega_0$ укупни електрични импеданс Z ће бити нула, што значи да се XL и XC поништавају један другог. стога, стројеви који су повезани серијски LC кружница добијају максималну струју ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Стога, серијска LC кружница, када је повезана серијски са опремом, понаша се као банд-пас филтер са нултим импедансом на резонантној фреквенцији.

Na frekvencama ispod rezonantne frekvencije, tj. $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Stoga je krug kapacitivni.
Na frekvencama iznad rezonantne frekvencije, tj. $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Stoga je krug induktivni.
Na rezonantnoj frekvenciji, tj. $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . Struja je maksimalna, a impedanca minimalna. U ovom stanju, krug može djelovati kao prihvatni krug.

Paralelni LC krug

U paralelnom LC krugu, induktor i kondenzator su spojeni paralelno, što je prikazano na slici.

Napon na svakom terminalu različitih elemenata u paralelnom kola je isti. Stoga napon na terminalima jednak je napetu na induktivnosti i naponu na kondenzatoru.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Sada ukupan tok struje kroz paralelno LC kolo jednak je zbiru struje koja teče kroz induktivnost i struje koja teče kroz kondenzator.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Rezonanca u paralelnom LC kolu

Pod uslovom rezonancije, kada induktivni reaktansi ( $X_L$ ) jednaki kapacitivnom reaktansu ( $X_C$ ), reaktivni tok struje je jednak i suprotan. Stoga se otklanjaju jedan drugi dajući minimalnu struju u kolu. U ovom stanju ukupni impedans je maksimalan.

Rezonantna frekvencija data je izrazom

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Sada je impedansa paralelne LC mreže data sa

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Sada je kutna rezonantna frekvencija $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , tada postaje impedansa

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Dakle, u rezonantnom stanju kada $\omega = \omega_0$ ukupni električni impedans Z bit će beskonačan, a struja koja se isporučuje paralelnom LC krugu je minimalna ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Stoga, paralelni LC krug, kada se spoji serijalno sa opteranjem, ponašaće se kao filtar za zastavljajući pojas sa beskonačnim impedansom na rezonantnoj frekvenciji. Paralelni LC krug spojen paralelno sa opteranjem ponašaće se kao filtar za propusajući pojas.

Na frekvencama ispod rezonantne frekvencije, tj. f<f0, XL >> XC. Stoga je krug induktivni.
Na frekvencama iznad rezonantne frekvencije, tj. f>f0, XC >> XL. Stoga je krug kapacitivni.
Na rezonantnoj frekvenciji, tj. f = f0, XL = XC, struja je minimalna, a impedans maksimalan. U ovom stanju, krug može da ponaša kao odbojni krug.

Jednačine LC kruga

Jednačine struje i napona

U početnom stanju:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

Pri oscilaciji:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Diferencijalna jednačina LC kruga

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedansa serijskog LC kruga

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Impedansa paralelnog LC kruga

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Vreme postavljanja

LC krug može da deluje kao električni rezonator i čuva energiju koja osciluje između električnog polja i magnetnog polja na frekvenciji poznatoj kao rezonantna frekvencija. Pošto svaki oscilatorni sistem dostiže u stanju stabilnosti u nekom trenutku, poznatom kao vreme postavljanja.

Vreme potrebno za odgovor da se smanji i stabilizuje na svojoj stacionarnoj vrednosti i ostane tamo unutar ±2% od svoje konačne vrednosti naziva se vreme postavljanja.

Struja u LC krugu

Pretpostavimo da je $I(t)$ trenutna struja koja teče kroz krug. Pad napona preko induktora izražen je u zavisnosti od struje $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ , a pad napona preko kondenzatora je $V = \frac {Q}{C}$ , gde je Q naboj sačuvan na pozitivnoj ploči kondenzatora.

Sada, prema Kirchhoffovom zakonu o naponu, zbir padova potencijala na različitim komponentama zatvorenog kontura jednak je nuli.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Dijeljenjem gornje jednačine sa L i diferenciranjem po t, dobijamo

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Sada je struja u jednostavnom harmonijskom talasu data sa:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Где $I_0 > 0$ и $\phi$ су константе.

Уметнувши вредност једначине (5) у (4) добијамо,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 \sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 \sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} \cos ax = -a\sin ax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Dakle, iz gornje jednačine možemo reći da je LC kružnica oscilujuća kružnica i osciluje na frekvenciji koja se naziva rezonantna frekvencija.

Napon u LC kružnici

Sada, prema jednačini (3), indukovani napon na induktivnosti je minus napon na kondenzatoru.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Uvrštavanje jednačine struje iz jednačine (5), dobijamo

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

Drugim rečima, napon dostiže maksimum kada struja dostigne nulu i obrnuto. Amplituda oscilacije napona je amplituda oscilacije struje pomnožena sa $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Prenosna funkcija LC kruga

Prenosna funkcija od ulaznog napona do napona na kondenzatoru je

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Slično, prenosna funkcija od ulazne napona do napona na induktivnosti je

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Prirodna odziv LC kruga

Pretpostavimo da je kondenzator inicijalno potpuno ispraznjen i da je prekidač (K) otvoren tokom dugo vremena i da se zatvara u trenutku t=0.

U trenutku t=0– prekidač K je otvoren

Ovo je početno stanje, stoga možemo napisati,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Jer struja kroz induktor i napona na kondenzatoru ne mogu se izmeniti trenutno.

Za sve t>=0+ prekidač K je zatvoren

Sada je ukršten izvor napona u krugu. Stoga primenjujući KVL na krug, dobijamo,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Napon na kondenzatoru je izražen preko struje.

Gornja jednačina se naziva integro-diferencijalna jednačina. Diferencirajući obe strane gornje jednačine po t, dobijamo,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Jednačina (7) pokazuje diferencijalnu jednačinu drugog reda za LC krug.

Zamenom $\frac{d^2}{dt^2}$ sa s2, dobijamo,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Sada koreni ove jednačine su

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Ovdje, $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ je prirodna frekvencija oscilacije.

Frekventni odziv LC kruga

Korišćenjem metode impedancije: Opšta jednačina za sistem frekventnog odziva jeste

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Pretpostavimo da izlazna napona nastupa na terminalima kondenzatora, primenite pravilo potencijalnog delioca na gore navedeni krug

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Где, $Z_C =$ импеданс кондензатора $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ импеданс индуктора $= {j \omega L}$

Замените у једначини (9), добијамо

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Pretpostavimo da izlazni napon nastaje preko induktiviteta, primenite pravilo deljenja potencijala na gornji krug

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Uvrstimo vrednosti $Z_C$ i $Z_L$ u gornju jednačinu, dobijamo

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Једначине (10) и (12) показују фреквентну одговору LC кола у комплексном облику.

Диференцијална једначина LC кола

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Претходна једначина се назива интегро-диференцијална једначина. Напон на кондензатору је изражен преко струје.

Сада, диференцирајући претходну једначину са обе стране по t, добијамо,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Gornja jednačina pokazuje diferencijalnu jednačinu drugog reda za LC krug.

Zamenite $\frac{d^2}{dt^2}$ sa s2, dobijamo,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Sada, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ dakle, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , stavljajući to u gornju jednačinu, dobijamo,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Naopterećivanje i ispraznjava LC kruga

U LC krugu, induktor i kondenzator su elementi za čuvanje energije, tj. induktor čuva energiju u svom magnetnom polju (B), u zavisnosti od struje kroz njega, a kondenzator čuva energiju u električnom polju (E) između svojih provodnih ploča, u zavisnosti od napona na njemu.

Pretpostavimo da na početku kondenzator sadrži naboj q, i da je sva energija kruga inicijalno sačuvana u električnom polju kondenzatora. Energija sačuvana u kondenzatoru je

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Ako se induktor poveže na napunjeni kondenzator, napon na kondenzatoru će dovesti do toka struje kroz induktor, što proizvede magnetno polje oko induktora, kondenzator počinje da se razrađuje i napon na kondenzatoru smanjuje na nulu kako se naboj iskoristi tokom struje ( $I = \frac{q}{t}$ ).

Sada je kondenzator potpuno razrađen i sva energija je sačuvana u magnetnom polju induktora. U ovom trenutku, struja je na svojoj maksimalnoj vrednosti i energija sačuvana u induktoru iznosi ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Zbog odsustva otpornika, nema disipacije energije u krugu. Stoga, maksimalna energija sačuvana u kondenzatoru jednaka je maksimalnoj energiji sačuvanoj u induktoru.

U ovom trenutku, sačuvana energija u magnetnom polju oko induktora indukuje napon na cevi prema Faradajevom zakonu elektromagnetske indukcije ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Ovaj indukovani napon dovodi do toka struje kroz kondenzator i kondenzator počinje da se puni sa naponom suprotne polariteta.

Proces punjenja i razrađivanja ponovo počinje, sa tokom struje koji teče u suprotnom smeru kroz induktor kao i pre.

Tako se punjenje i razrađivanje LC kruga može vršiti ciklično, a energija osciluje između kondenzatora i induktivnosti dok unutrašnji otpor ne dovede do zanicanja oscilacija.

Slika prikazuje talase napona i struje prilikom punjenja i razrađivanja.

Charging and Discharging Lc Circuit Waveform — Talasi napona i struje prilikom punjenja i razrađivanja

Primene LC krugova

Primene LC krugova uključuju:

Primene LC krugova uglavnom uključuju mnoge elektronske uređaje, posebno radio opremu, kao što su predajnici, radio prijemnici, televizijski prijemnici, pojačavači, oscilatori, filteri, tuneri i miješači frekvencija.
LC krugovi se takođe koriste za proizvodnju signala na određenoj frekvenciji ili prihvaćanje signala iz složenijeg signala na određenoj frekvenciji.
Glavna svrha LC kruga je obično da osciluje sa najmanjim prigušenjem, stoga se otpor smanjuje na minimum.
Serijinski rezonantni krug pruža pojacanje napona.
Paralelni rezonantni krug pruža pojacanje struje.