LC सर्किट विश्लेषण: श्रृंखला और समानांतर सर्किट, समीकरण और स्थानांतरण कार्य

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फील्ड: बुनियादी विद्युत

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LC सर्किट क्या है?

एक LC सर्किट (जिसे LC फ़िल्टर या LC नेटवर्क भी कहते हैं) विद्युत सर्किट के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो सक्रिय और निष्क्रिय परिपथ तत्वों से बना होता है, जिसमें एक इंडक्टर (L) और एक कैपासिटर (C) शामिल होते हैं। इसे रिझोनेंट सर्किट, टैंक सर्किट, या ट्यून्ड सर्किट भी कहते हैं।

आदर्श रूप में, चूंकि सर्किट में रिसिस्टर की अनुपस्थिति होती है, LC सर्किट कोई ऊर्जा खर्च नहीं करता। यह आदर्श रूप में RC सर्किट, RL सर्किट, या RLC सर्किट से अलग है, जो रिसिस्टर की उपस्थिति के कारण ऊर्जा खर्च करते हैं।

हालांकि, व्यावहारिक सर्किट में, LC सर्किट कोम्पोनेंट्स और कनेक्टिंग वायर्स के गैर-शून्य रिसिस्टेंस के कारण कुछ ऊर्जा खर्च करता है।

क्यों एलसी सर्किट को ट्यून्ड सर्किट या टैंक सर्किट कहा जाता है?

शार्ज एक दूसरे के बीच कंडेनसर के प्लेटों और इंडक्टर के माध्यम से आगे-पीछे बहता है। ऊर्जा कंडेनसर और इंडक्टर के बीच दोलन करती रहती है जब तक कि घटकों और कनेक्टिंग वायरों का आंतरिक प्रतिरोध दोलनों को गुम नहीं कर देता।

यह सर्किट की कार्यवाही एक ट्यून्ड कार्य की तरह होती है, जिसे गणितीय रूप से एक हार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में जाना जाता है, जो एक झूला आगे-पीछे झूलने या टैंक में पानी आगे-पीछे बहने जैसा होता है; इसी कारण से, सर्किट को ट्यून्ड सर्किट या टैंक सर्किट कहा जाता है।

सर्किट एक विद्युत रिजोनेटर के रूप में कार्य कर सकता है और ऊर्जा को रिजोनेंट फ्रीक्वेंसी के नाम से जाने जाने वाले फ्रीक्वेंसी पर दोलन कर सकता है। फ्रीक्वेंसी

श्रृंखला LC सर्किट

श्रृंखला LC सर्किट में, इंडक्टर और कंडेनसर दोनों श्रृंखला में जुड़े होते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

चूंकि श्रृंखला सर्किट में विद्युत धारा सर्किट के सभी भागों में समान होती है, इसलिए धारा का प्रवाह इंडक्टर और कंडेनसर दोनों के माध्यम से समान होता है।

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

अब टर्मिनल के मध्य कुल वोल्टेज कैपासिटर और इंडक्टर पर वोल्टेज के योग के बराबर है।

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

श्रृंखला LC सर्किट में रिझोनेंस

जब आवृत्ति बढ़ती है, तो इंडक्टिव रिअक्टेंस का परिमाण भी बढ़ता है।

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

और कैपासिटिव रिअक्टेंस का परिमाण घटता है।

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

अब रिझोनेंस की स्थिति में दोनों प्रेरक प्रतिक्रिया और धारित्र प्रतिक्रिया का परिमाण समान हो जाता है।

अब श्रृंखला LC परिपथ की आवर्तज निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

जहाँ, $\omega_0$ एक प्रतिध्वनि कोणीय आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकंड) है।

अब प्रतिध्वनि कोणीय आवृत्ति है $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , तो प्रतिरोध बन जाता है

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

इसलिए प्रतिध्वनि स्थिति में जब $\omega = \omega_0$ सम्पूर्ण विद्युत प्रतिरोध Z शून्य होगा इसका अर्थ है XL और XC एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। इसलिए, श्रृंखला LC परिपथ में आपूर्तित धारा अधिकतम होती है ( $I = \frac {V} {Z}$ )।

इसलिए, जब श्रृंखला LC परिपथ को लोड के साथ श्रृंखला में जोड़ा जाता है, तो यह एक बैंड-पास फिल्टर के रूप में कार्य करेगा, जिसका प्रतिध्वनि आवृत्ति पर प्रतिरोध शून्य होगा।

- निम्न अनुनादी आवृत्ति पर अर्थात् $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . इसलिए सर्किट का व्यवहार धारित्रीय होता है।
- उच्च अनुनादी आवृत्ति पर अर्थात् $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . इसलिए सर्किट का व्यवहार संधारित्रीय होता है।
- अनुनादी आवृत्ति पर अर्थात् $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . धारा अधिकतम होती है और प्रतिबाधा न्यूनतम होती है। इस स्थिति में, सर्किट एक स्वीकार्य सर्किट के रूप में कार्य कर सकता है।
समान्तर LC सर्किट

समान्तर LC सर्किट में, संधारित्र और इंडक्टर दोनों समान्तर जोड़े गए होते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

समान्तर LC सर्किट

समानांतर परिपथ के विभिन्न तत्वों के प्रत्येक सिरे पर वोल्टेज समान होता है। इसलिए सिरों पर वोल्टेज इंडक्टर पर वोल्टेज और कैपासिटर पर वोल्टेज के बराबर होता है।
   $\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$
अब समानांतर LC परिपथ में प्रवाहित होने वाली कुल धारा इंडक्टर में प्रवाहित होने वाली धारा और कैपासिटर में प्रवाहित होने वाली धारा के योग के बराबर होती है।
   $\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

समानांतर LC परिपथ में गैरजनन

गैरजनन की स्थिति में जब इंडक्टिव रिएक्टेंस ( $X_L$ ) कैपासिटिव रिएक्टेंस ( $X_C$ ) के बराबर होता है, तो रिएक्टिव शाखा धारा बराबर और विपरीत होती है। इसलिए, वे एक दूसरे को रद्द कर देती हैं और परिपथ में न्यूनतम धारा प्रदान करती हैं। इस स्थिति में कुल इम्पीडेंस अधिकतम होता है।
गैरजनन आवृत्ति दी गई है
   $\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$
अब समानांतर LC परिपथ का इंपीडेंस दिया जाता है
   $\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$
अब कोणीय अनुकूल आवृत्ति है $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , तो इंपीडेंस बन जाता है
(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$
इस प्रकार संप्रेषण शर्तों पर जब $\omega = \omega_0$ कुल विद्युत प्रतिबाधा Z अनंत होगी और समानांतर LC परिपथ में आपूर्तित धारा न्यूनतम होगी ( $I = \frac {V} {Z}$ )।
इसलिए, जब समानांतर LC परिपथ को लोड के सीरियल में जोड़ा जाता है, तो यह उन्नाद आवृत्ति पर अनंत प्रतिबाधा वाला बैंड-स्टॉप फिल्टर के रूप में कार्य करता है। जब समानांतर LC परिपथ को लोड के समानांतर में जोड़ा जाता है, तो यह बैंड-पास फिल्टर के रूप में कार्य करता है।
- उन्नाद आवृत्ति से निम्न आवृत्ति पर, अर्थात् f<f0, XL >> XC। इसलिए परिपथ आवेशी होता है।
- उन्नाद आवृत्ति से ऊपर आवृत्ति पर, अर्थात् f>f0, XC >> XL। इसलिए परिपथ विद्युत धारित्रीय होता है।
- उन्नाद आवृत्ति पर, अर्थात् f = f0, XL = XC, धारा न्यूनतम और प्रतिबाधा अधिकतम होती है। इस स्थिति में, परिपथ रिजेक्टर परिपथ के रूप में कार्य कर सकता है।
LC परिपथ समीकरण

धारा और वोल्टेज समीकरण
- आरंभिक स्थिति में:
$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$
$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$
- तरंगण के दौरान:
   $\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

LC सर्किट अवकल समीकरण
   $\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

श्रेणी LC सर्किट का इम्पीडेंस

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$
समान्तर LC सर्किट का इम्पीडेंस

   $\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

सेटिंग समय

LC सर्किट एक विद्युत रेझोनेटर के रूप में कार्य कर सकता है और विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच ऊर्जा को रिझोनेंट आवृत्ति पर उतार-चढ़ाव कर सकता है। किसी भी उतार-चढ़ाव प्रणाली को कुछ समय बाद एक स्थिर स्थिति में पहुंचना होता है, जिसे सेटिंग समय कहा जाता है।
प्रतिक्रिया को घटाने और अपने स्थिर स्थिति मूल्य पर स्थिर होने में लगने वाला समय, जो इसके अंतिम मूल्य के +- 2% के भीतर रहता है, को सेटिंग समय कहा जाता है।

LC सर्किट की धारा

मान लीजिए $I(t)$ सर्किट में प्रवाहित होने वाली तात्कालिक धारा है। इंडक्टर के पार वोल्टेज ड्रॉप को धारा $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है और कैपेसिटर के पार वोल्टेज ड्रॉप $V = \frac {Q}{C}$ है, जहाँ Q कैपेसिटर के धनात्मक प्लेट पर संचित आवेश है।

एलसी सर्किट

अब किर्चहॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार, बंद लूप के विभिन्न घटकों पर विभव पतन का योग शून्य के बराबर होता है।
(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$
उपरोक्त समीकरण को L से विभाजित करके और t के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$
अब सरल हार्मोनिक दोलन का वर्तमान इस प्रकार दिया जाता है:
(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$
जहाँ $I_0 > 0$ और $\phi$ स्थिरांक हैं।
समीकरण (5) का मान समीकरण (4) में रखने पर हम प्राप्त करते हैं,
   $\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$
   $\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$
   $\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$
   $\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$
(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

इस प्रकार, उपरोक्त समीकरण से हम कह सकते हैं कि LC सर्किट एक दोलनशील सर्किट है और यह एक अनुनाद आवृत्ति के रूप में दोलन करता है।

LC सर्किट वोल्टेज

अब समीकरण (3) के अनुसार, एक इंडक्टर पर प्रेरित वोल्टेज कैपेसिटर के पर वोल्टेज के ऋणात्मक है।
   $\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$
समीकरण (5) से धारा का समीकरण रखने पर हम प्राप्त करते हैं
   $\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$
दूसरे शब्दों में कहा जाए तो जब धारा शून्य हो जाती है तो वोल्टेज अधिकतम पहुंच जाता है और इसका विलोम भी सत्य है। वोल्टेज दोलन का आयाम धारा दोलन के आयाम से $\sqrt\frac{L}{C}$ से गुणा किया जाता है।

LC सर्किट का ट्रांसफर फंक्शन

कैपेसिटर पर वोल्टेज के लिए इनपुट वोल्टेज से ट्रांसफर फंक्शन है
   $\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$
इसी प्रकार, इनपुट वोल्टेज से इंडक्टर के माध्यम से वोल्टेज के लिए ट्रांसफ़र फंक्शन है
   $\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

LC सर्किट का प्राकृतिक प्रतिक्रिया

मान लीजिए कि कैपासिटर पूरी तरह से डिस्चार्ज हो गया है और स्विच (K) को बहुत लंबे समय तक खुला रखा गया है और इसे t=0 पर बंद किया जाता है।
- t=0 पर - स्विच K खुला है
यह एक प्रारंभिक स्थिति है, इसलिए हम लिख सकते हैं,
$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$
$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$
क्योंकि इंडक्टर के माध्यम से विद्युत धारा और कैपेसिटर पर वोल्टेज तत्काल बदल नहीं सकती।
- सभी t>=0+ स्विच K बंद है
अब परिपथ में वोल्टेज स्रोत पेश किया गया है। इसलिए परिपथ पर KVL लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
   $\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$
यहाँ कैपेसिटर पर वोल्टेज धारा के पदों में व्यक्त किया गया है।
उपरोक्त समीकरण को इंटीग्रो-डिफरेंशियल समीकरण कहा जाता है। उपरोक्त समीकरण के दोनों ओर t के सापेक्ष अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(७) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
समीकरण (७) एक LC सर्किट के द्वितीय क्रम के अवकल समीकरण को दर्शाता है।
$\frac{d^2}{dt^2}$ को s2 से प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
(८) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
अब उपरोक्त समीकरण के मूल हैं
   $\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$
यहाँ, $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति है।

LC सर्किट आवृत्ति प्रतिक्रिया

आवर्तिता प्रतिक्रिया प्रणाली के लिए सामान्य समीकरण इंपीडेंस विधि का उपयोग करके:
   $\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$
- मान लीजिए कि आउटपुट वोल्टेज कंडेनसर के टर्मिनल पर होता है, उपरोक्त सर्किट पर संभावित डिवाइडर नियम लागू करें
(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
जहाँ, $Z_C =$ कैपेसिटर का इम्पीडन्स $= \frac{1}{j \omega C}$
$Z_L =$ इंडक्टर का इम्पीडन्स $= {j \omega L}$
समीकरण (9) में इसे प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं
$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$
(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
- मान लीजिए कि आउटपुट वोल्टेज इंडक्टर पर होता है, उपरोक्त सर्किट पर वोल्टेज डिवाइडर नियम लागू करें
(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$
उपरोक्त समीकरण में $Z_C$ और $Z_L$ के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
   $\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$
(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$
समीकरण (10) और (12) एक L-C सर्किट के आवृत्ति प्रतिक्रिया को समिश्र रूप में दर्शाते हैं।

LC सर्किट अवकल समीकरण

   $\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$
उपरोक्त समीकरण को समाकलन-अवकलन समीकरण कहा जाता है। यहाँ कंडेनसर पर वोल्टेज को धारा के पदों में व्यक्त किया गया है।
अब, उपरोक्त समीकरण को t के सापेक्ष दोनों ओर अवकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
   $\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$
(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
उपरोक्त समीकरण LC परिपथ के द्वितीयक अवकल समीकरण को दर्शाता है।
स्थान पर s² रखें, हम प्राप्त करते हैं,
(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$
अब, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ इसलिए, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , इसे उपरोक्त समीकरण में रखने पर हम प्राप्त करते हैं,
   $\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$
   $\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

LC सर्किट चार्जिंग और डिस्चार्जिंग

एक LC सर्किट में इंडक्टर और कैपेसिटर दोनों एनर्जी स्टोरिंग तत्व होते हैं, यानी इंडक्टर चुंबकीय क्षेत्र (B) में एनर्जी स्टोर करता है, जो उसके माध्यम से बहने वाली धारा पर निर्भर करता है, और कैपेसिटर अपने चालक प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र (E) में एनर्जी स्टोर करता है, जो उसके पर लगने वाले वोल्टेज पर निर्भर करता है।
मान लीजिए कि शुरुआत में, कैपेसिटर में आवेश q है, और फिर सर्किट की सभी एनर्जी शुरुआत में कैपेसिटर के विद्युत क्षेत्र में संचित है। कैपेसिटर में संचित एनर्जी है
$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

LC सर्किट का चार्जिंग और डिस्चार्जिंग

अब यदि एक इंडक्टर एक चार्ज्ड कैपेसिटर पर जोड़ा गया है, तो कैपेसिटर पर वोल्टेज इंडक्टर में धारा के प्रवाह का कारण बनता है, जो इंडक्टर के चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है, कैपेसिटर डिस्चार्जिंग शुरू कर देता है और कैपेसिटर पर वोल्टेज धारा के प्रवाह से चार्ज का उपयोग होने पर शून्य हो जाता है ( $I = \frac{q}{t}$ ).
अब कैपेसिटर पूरी तरह से डिस्चार्ज हो गया है और सभी ऊर्जा इंडक्टर के चुंबकीय क्षेत्र में संचित है। इस समय, धारा अपने अधिकतम मान पर है और इंडक्टर में संचित ऊर्जा ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ द्वारा दी गई है।
रेझिस्टर की अनुपस्थिति के कारण, सर्किट में कोई ऊर्जा नहीं खोती है। इस प्रकार, कैपेसिटर में संचित अधिकतम ऊर्जा इंडक्टर में संचित अधिकतम ऊर्जा के बराबर है।
इस समय, इंडक्टर के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा इंडक्टर के कोइल पर एक वोल्टेज उत्पन्न करती है, फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ) के अनुसार। यह प्रेरित वोल्टेज कैपेसिटर के माध्यम से धारा के प्रवाह का कारण बनता है और कैपेसिटर विपरीत ध्रुवता के वोल्टेज के साथ पुनः चार्जिंग शुरू हो जाता है।
यह चार्जिंग और डिस्चार्जिंग प्रक्रिया फिर से शुरू होगी, इंडक्टर में पहले की तरह धारा के विपरीत दिशा में प्रवाहित होगी।
इस प्रकार एलसी सर्किट का चार्जिंग और डिस्चार्जिंग चक्रीय रूप से हो सकता है और ऊर्जा कंडेनसर और इंडक्टर के बीच तब तक आगे-पीछे दोलन करती रहती है जब तक आंतरिक प्रतिरोध दोलन को लुप्त नहीं कर देता।
चित्र में चार्जिंग और डिस्चार्जिंग वोल्टेज और करंट वेवफॉर्म दिखाया गया है।

चार्जिंग और डिस्चार्जिंग वोल्टेज और करंट वेवफॉर्म

एलसी सर्किट के अनुप्रयोग

एलसी सर्किट के अनुप्रयोग शामिल हैं:
- एलसी सर्किट के अनुप्रयोग बहुत से इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों, विशेष रूप से रेडियो उपकरणों जैसे ट्रांसमिटर, रेडियो रिसीवर, टीवी रिसीवर, एम्प्लिफायर, ऑसिलेटर, फिल्टर, ट्यूनर और फ्रीक्वेंसी मिक्सर में होते हैं।
- एलसी सर्किट का उपयोग किसी विशिष्ट फ्रीक्वेंसी पर सिग्नल उत्पन्न करने या एक जटिल सिग्नल से विशिष्ट फ्रीक्वेंसी पर सिग्नल स्वीकार करने के लिए भी किया जाता है।
- एलसी सर्किट का मुख्य उद्देश्य आमतौर पर न्यूनतम डैम्पिंग के साथ दोलन करना होता है, इसलिए प्रतिरोध को जितना कम संभव बनाया जाता है।
- श्रृंखला रिझोनेंस सर्किट वोल्टेज विस्तार प्रदान करता है।
- समान्तर रिझोनेंस सर्किट करंट विस्तार प्रदान करता है।
डैम्पिंग क्या है?

डैम्पिंग दोलन या तरंग गति के आयाम का समय के साथ घटना है। रिझोनेंस डैम्पिंग के घटने के साथ आयाम की वृद्धि होती है।
कथन: मूल का सम्मान करें, अच्छे लेख साझा करने योग्य हैं, यदि कोई उल्लंघन हो तो कृपया हटाने के लिए संपर्क करें।