Analiza LC kruga: Serijski i paralelni krugovi jednačine i prenosna funkcija

Electrical4u

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Što je LC krug?

LC krug (poznat i kao LC filter ili LC mreža) definira se kao električni krug sastavljen od pasivnih elemenata kruga, to jest induktora (L) i kapacitora (C) povezanih zajedno. Također se naziva rezonantni krug, tank circuit ili podmiješteni krug.

Zbog odsutnosti otpornika u idealnoj formi kruga, LC krug ne potroši energiju. To je različito od idealnih formi RC krugova, RL krugova ili RLC krugova, koji potrošavaju energiju zbog prisutnosti otpornika.

Ipak, u praktičnom krugu, LC krug uvijek će potrošiti neku količinu energije zbog nenultog otpora komponenti i spojnica.

Zašto se LC krug zove učinkovit krug ili rezervoarski krug?

Napetost napona se pomiče između ploča kondenzatora i kroz induktor. Energija oscilira između kondenzatora i induktora dok unutarni otpor komponenti i spojnih vodova ne stane oscilacije.

Rad ovog kruga sličan je učinkovitom radu, matematički poznatom kao harmonijski oscilator, koji je sličan pendulu koji se pomakne naprijed i natrag ili vodi koja teče naprijed i natrag u rezervoaru; zbog toga se krug zove učinkoviti krug ili rezervoarski krug.

Krug može djelovati kao električni rezonator i čuvati energiju koja oscilira na frekvenciji koja se naziva rezonantna frekvencija.

Serijski LC krug

U serijskom LC krugu, induktor i kondenzator su povezani u nizu, što je prikazano na slici.

Pošto je struja u serijskom krugu ista svuda u krugu, struja kroz induktor i kondenzator je jednaka.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Sada je ukupni napon na završnim čvorovima jednak zbroju napona na kondenzatoru i naponskom uporu.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Rezonanca u serijskom LC krugu

Kada se frekvencija poveća, magnituda induktivnog reaktansa također raste.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

i magnituda kapacitivnog reaktansa smanjuje se.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Sada, u rezonančnom stanju, magnituda induktivnog reaktanca i kapacitivnog reaktanca postaje jednaka.

Sada impedancija serije LC kruga dana je s

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Sada, u rezonančnom stanju, magnituda induktivnog reaktanca i kapacitivnog reaktanca postaje jednaka.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Gdje je, $\omega_0$ rezonantna kutna frekvencija (radijani po sekundi).

Sada je rezonantna kutna frekvencija $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , tada se impedanca pretvara u

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Dakle, u rezonantnom stanju kada je $\omega = \omega_0$ ukupna električna impedanca Z bit će nula što znači da se XL i XC potpuno poništavaju. Stoga, struja koja se isporučuje serijeskom LC krugu maksimalna je ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Stoga, serijski LC krug, kada je spojen serijski s optom, djelovat će kao propusni filter s nulom impedancijom na rezonantnoj frekvenciji.

Na frekvencama ispod rezonantne frekvencije tj. $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Stoga je krug kapacitivan.
Na frekvencama iznad rezonantne frekvencije tj. $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Stoga je krug induktivan.
Na rezonantnoj frekvenciji tj. $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . struja je maksimalna, a impedanca minimalna. U ovom stanju, krug može djelovati kao prihvatni krug.

Paralelni LC krug

U paralelnom LC krugu, induktor i kondenzator su spojeni paralelno, što je prikazano na slici.

Napon na svakom završetku različitih elemenata u paralelnom krugu jednak je. Stoga je napon na završecima jednak naponu na dužniku i naponu na kondenzatoru.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Sada je ukupan struja koji teče kroz paralelni LC krug jednak zbroju struje koja teče kroz dužnik i struje koja teče kroz kondenzator.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Rezonanca u paralelnom LC krugu

U rezonantnom stanju, kada induktivni reaktansi ( $X_L$ ) jednak kapacitivnom reaktansu ( $X_C$ ), reaktivna grana struja jednaka i suprotna. Stoga se one poništavaju međusobno dajući minimalnu struju u krugu. U ovom stanju je ukupni impedans maksimalan.

Rezonantna frekvencija dana je izrazom

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Sada je impedanca paralelne LC strujne petlje dana s

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Sada je kutna rezonantna frekvencija $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , tada se impedanca pretvara u

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Stoga, u rezonantnom stanju kada je $\omega = \omega_0$ ukupni električni impedans Z bit će beskonačan, a struja koja se isporučuje paralelnom LC krugu bit će minimalna ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Stoga, paralelni LC krug, kada je spojen serijalno s opterbu, djelovat će kao filtar za blokiranje pojaseva s beskonačnim impedansom na rezonantnoj frekvenciji. Paralelni LC krug spojen paralelno s opterbu djelovat će kao filtar za propusnog pojasa.

Na frekvencama ispod rezonantne frekvencije, tj. f<f0, XL >> XC. Stoga je krug induktivni.
Na frekvencama iznad rezonantne frekvencije, tj. f>f0, XC >> XL. Stoga je krug kapacitivan.
Na rezonantnoj frekvenciji, tj. f = f0, XL = XC, struja je minimalna, a impedans maksimalan. U ovom stanju, krug može djelovati kao odbacujući krug.

Jednadžbe LC kruga

Jednadžbe struje i napona

U početnom stanju:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

Pri oscilaciji:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

Diferencijalna jednadžba LC kruga

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedanca serije LC kruga

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Otpor paralelnog LC kruga

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Vrijeme uspostavljanja

LC krug može djelovati kao električni rezonator gdje energija titra između električnog i magnetskog polja na frekvenciji koja se naziva rezonantna frekvencija. Budući da svaki oscilatorni sustav dostiže stacionarno stanje nakon određenog vremena, to vrijeme je poznato kao vrijeme uspostavljanja.

Vrijeme potrebno da odziv opadne i postane stabilan na svojoj stacionarnoj vrijednosti te ostane unutar ±2% svoje konačne vrijednosti naziva se vrijeme uspostavljanja.

Struja u LC krugu

Pretpostavimo da je $I(t)$ trenutna struja koja teče kroz krug. Pada napona na induktivitetu izražava se preko struje $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ a pada napona na kondenzatoru je $V = \frac {Q}{C}$ , gdje je Q naboj pohranjen na pozitivnoj ploči kondenzatora.

Prema Kirchhoffovom zakonu o naprezanju, zbroj padova potencijala na različitim komponentama zatvorenog kruga jednak je nuli.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Dijeljenjem gornje jednadžbe s L i diferenciranjem po t, dobivamo

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Sada je struja u jednostavnom harmoničkom oscilatoru dana s:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Gdje je $I_0 > 0$ i $\phi$ konstante.

Uvrstimo li vrijednost jednadžbe (5) u (4), dobivamo:

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Tako iz gornje jednadžbe možemo reći da je LC krug oscilirajući krug i da oscilira na frekvenciji koja se naziva rezonantna frekvencija.

Napon u LC krugu

Sada, prema jednadžbi (3), inducirani napon na induktor je minus napon na kondenzator.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Uvrstimo jednadžbu struje iz jednadžbe (5), dobivamo

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

Drugi način izražavanja je da se napon postiže maksimum kada struja doseže nulu i obrnuto. Amplituda oscilacije napona jest amplituda oscilacije struje pomnožena s $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Prijenosna funkcija LC kruga

Prijenosna funkcija od ulaznog napona do napona na kondenzatoru je

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Slično tome, prijenosna funkcija iz ulaznog napona na napon preko induktiviteta je

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Prirodni odziv LC kruga

Pretpostavimo da je kondenzator u početku potpuno pražnjen, a sklopka (K) je dugo vremena ostavljena otvorena i zatvorena je u trenutku t=0.

U trenutku t=0– sklopka K je otvorena

Ovo je početni uvjet, stoga možemo napisati,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Zato što se struja kroz induktor i napon na kondenzatoru ne mogu odozgo promijeniti.

Za sve t>=0+ prekidač K je zatvoren

Sada je u krug uveden izvor napona. Stoga primjenom zakona Kirchoffa o obodnom naponu (KVL) na krug, dobivamo,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Ovdje je napon na kondenzatoru izražen u smislu struje.

Gornja jednadžba se naziva integro-diferencijalna jednadžba. Diferenciranjem obje strane gornje jednadžbe s obzirom na t, dobivamo,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Jednadžba (7) pokazuje diferencijalnu jednadžbu drugog reda za LC krug.

Zamijenite $\frac{d^2}{dt^2}$ s s2, dobivamo,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Sada korijeni ove jednadžbe su

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Ovdje je $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ prirodna frekvencija oscilacije.

Frekvencijska karakteristika LC kruga

Korištenjem metode impedancije: Opća jednadžba za frekvencijsku karakteristiku sustava je

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Pretpostavimo da izlazni napon nastupa na terminalima kondenzatora, primijenite pravilo potencijalnog dijelitelja na gore navedeni krug

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

gdje, $Z_C =$ impedancija kondenzatora $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ impedancija induktora $= {j \omega L}$

Uvrstimo to u jednadžbu (9), dobivamo

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Pretpostavimo da izlazni napon nastupa na induktor, primijenite pravilo dijeljenja potencijala na gornji krug

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Uvrstite vrijednosti $Z_C$ i $Z_L$ u gornju jednadžbu, dobivamo

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Jednadžbe (10) i (12) pokazuju frekventni odziv L-C kruga u kompleksnom obliku.

Diferencijalna jednadžba LC kruga

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Gornja jednadžba naziva se integro-diferencijalna jednadžba. Napetost na kondenzatoru izražena je pomoću struje.

Sada, diferencirajući gornju jednadžbu s obje strane po t, dobivamo,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Gornja jednadžba pokazuje diferencijalnu jednadžbu drugog reda za LC krug.

Zamijenite $\frac{d^2}{dt^2}$ s sa s2, dobivamo,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Sada, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ stoga, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , uvrstimo to u gornju jednadžbu, dobivamo,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Načinjenje i ispraznjava LC kruga

U LC krugu, induktor i kondenzator su elementi za pohranu energije, tj. induktor pohranjuje energiju u svom magnetskom polju (B), ovisno o struju koja kroz njega teče, a kondenzator pohranjuje energiju u električnom polju (E) između svojih provodnih ploča, ovisno o naponu na njemu.

Pretpostavimo da kapacitor inicijalno sadrži naboj q, a zatim sve energije kruga inicijalno su pohranjene u električnom polju kapacitora. Energija pohranjena u kapacitoru je

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Ako je induktor spojen na napunjenu kondenzator, napon na kondenzatoru će uzrokovati strujanje kroz induktor, što stvara magnetsko polje oko induktora, kondenzator počinje s ispraznjavanjem, a napon na kondenzatoru se smanjuje na nulu kako se naboj iskoristi strujanjem ( $I = \frac{q}{t}$ ).

Sada je kondenzator potpuno ispražnjen i sva energija je pohranjena u magnetskom polju induktora. U ovom trenutku, struja je na maksimalnoj vrijednosti, a energija pohranjena u induktoru izražava se formulom ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

Zbog odsustva otpornika, nema disipacije energije u krugu. Stoga, maksimalna energija pohranjena u kondenzatoru jednaka je maksimalnoj energiji pohranjenoj u induktoru.

U ovom trenutku, pohranjena energija u magnetskom polju oko induktora induciruje napon na cijevi prema Faradajevom zakonu elektromagnetske indukcije ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Ovaj inducirani napon uzrokuje strujanje kroz kondenzator, a kondenzator počinje s ponovnim napajanjem s naponom suprotne polariteta.

Proces napajanja i ispraznjava ponovo započinje, s strujom koja teče u suprotnom smjeru kroz induktor kao i prije.

Tako se punjenje i ispunjavanje LC kruga može događati ciklično, a energija oscilira između kondenzatora i induktora dok unutarnji otpor ne ugaši oscilacije.

Slika prikazuje valni oblik napona i struja tijekom punjenja i ispunjavanja.

Valni oblik napona i struja tijekom punjenja i ispunjavanja LC kruga — Valni oblik napona i struja tijekom punjenja i ispunjavanja

Primjene LC krugova

Primjene LC krugova uključuju:

Primjene LC krugova uglavnom se koriste u mnogim elektroničkim uređajima, posebno u radio opremi poput emitera, radio prijemnika, TV prijemnika, pojačala, oscilatora, filtera, tunera i mješača frekvencija.
LC krugovi koriste se također za proizvodnju signala na određenoj frekvenciji ili prihvaćanje signala iz složenijeg signala na određenoj frekvenciji.
Glavni cilj LC kruga je obično da oscilira s minimalnim prigušenjem, stoga se otpor čini što manjim.
Serijalni rezonančni krug pruža pojačanje napona.
Paralelni rezonančni krug pruža pojačanje struje.