LC-kretsanalyse: Seriekoblet og parallelkoblet kretser likninger og overføringsfunksjon

Electrical4u

Felt: Grunnleggende elektrisitet

China

Hva er et LC-krets?

En LC-krets (også kjent som en LC-filter eller LC-nettverk) defineres som en elektrisk krets bestående av de passive kretselementer en spenningsspoler (L) og en kapasitor (C) forbundet sammen. Den kalles også for en resonanskrets, tankkrets eller justert krets.

På grunn av fraværet av en motstand i den ideelle formen av kretsen, forbruker en LC-krets ingen energi. Dette er ulikt de ideelle formene av RC-kretser, RL-kretser, eller RLC-kretser, som forbruker energi på grunn av motstandsoppførsel.

Selv om det er sagt, vil en praktisk LC-krets alltid forbruke litt energi pga. ikke-null motstand i komponentene og koblingsledningene.

Hvorfor kalles en LC-sirkel for en justert sirkel eller tankesirkel?

Ladningen flyter fram og tilbake mellom kondensatorplater og gjennom induktoren. Energien oscillerer mellom kondensatoren og induktoren inntil den interne motstanden i komponentene og koblingsledene gjør at oscillasjonene døper ut.

Handlingen i denne sirkelen er som en justert handling, matematisk kjent som en harmonisk oscillator, som ligner på et pendul som svever frem og tilbake eller vann som flyter frem og tilbake i en tanke; derfor kalles sirkelen for en justert sirkel eller tankesirkel.

Sirkelen kan fungere som en elektrisk resonator og lagre energi som oscillerer ved frekvensen kalt resonansfrekvens.

Serie LC-sirkel

I serie LC-sirkelen er induktoren og kondensatoren koblet i serie, som vist på figuren.

Ettersom strømmen er den samme overalt i en serie-sirkel, er strømflyten lik gjennom både induktoren og kondensatoren.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Nå er den totale spenningen over terminalene lik summen av spenningen over kondensatoren og spenningen over induktoren.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Resonans i serie LC-krets

Når frekvensen øker, øker også størrelsen på induktiv reaktans.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

og størrelsen på kapasitiv reaktans minker.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Ved resonansbetingelse blir størrelsen til både induktiv reaktans og kapasitiv reaktans like stor.

Nå er impedans til serie-RC-kretsen gitt ved

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Ved resonansbetingelse blir størrelsen til både induktiv reaktans og kapasitiv reaktans like stor.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Der, $\omega_0$ er resonansvinkelfrekvensen (radianer per sekund).

Nå er den angulære resonansfrekvensen $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , da blir impedansen

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Ved resonanse, når $\omega = \omega_0$ vil det totale elektriske impedansen Z være null, noe som betyr at XL og XC opphever hverandre. Dermed er strømmen til en serie LC-krets maksimal ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Derfor vil en serie LC-krets, når den er koblet i serie med belastningen, fungere som en bandpassfilter med null impedans ved resonansfrekvensen.

Ved frekvens under resonansfrekvens, altså $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Derfor er kretsen kapasitiv.
Ved frekvens over resonansfrekvens, altså $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Derfor er kretsen induktiv.
Ved resonansfrekvens, altså $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . Strømmen er maksimal og impedansen er minimal. I denne tilstanden kan kretsen fungere som en akseptorkrets.

Parallell LC-krets

I en parallell LC-krets er spoler og kondensator koblet i parallelle, som vist i figuren.

Parallel LC Circuit — Parallell LC-krets

Spenningsfallet over hver terminal i et parallelkoblet krets er det samme. Derfor er spenningen over terminalene lik spenningen over spoler og kondensator.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Nå er den totale strømmen som flyter gjennom den parallelle LC-kretsen lik summen av strømmen som flyter gjennom spolen og strømmen som flyter gjennom kondensatoren.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Resonanse i parallell LC-krets

Ved resonansbetingelser, når induktiv reaktans ( $X_L$ ) er lik kapasitiv reaktans ( $X_C$ ), er reaktive grenstrømmer like og motsatt. Dermed nuller de hverandre ut for å gi minst mulig strøm i kretsen. I denne tilstanden er total impedans maksimal.

Resonansfrekvensen er gitt ved

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Nå er impedansen til parallelle LC-kretsen gitt ved

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Nå er vinkelfrekvensen ved resonans $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , da blir impedansen

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Så under resonansbetingelser når $\omega = \omega_0$ er den totale elektriske impedansen Z uendelig, og strømmen som leveres til et parallelle LC-krets er minimal ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Derfor vil en parallelle LC-krets, når den er koblet i serie med belastningen, fungere som en båndstoppfilter med uendelig impedanse ved resonanfrekvensen. En parallelle LC-krets koblet parallelt med belastningen vil fungere som et båndpassfilter.

Ved frekvens under resonanfrekvens, dvs. f<f0, XL >> XC. Derfor er kretsen induktiv.
Ved frekvens over resonanfrekvens, dvs. f>f0, XC >> XL. Derfor er kretsen kapasitiv.
Ved resonanfrekvens, dvs. f = f0, XL = XC, er strømmen minimal og impedansen maksimal. I dette tilfellet kan kretsen fungere som en avvisningskrets.

LC-kretslikninger

Strøm- og spenningslikninger

Ved begynnende betingelse:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

Ved svingning:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

LC krets differensialligning

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedans av serie LC-kretsen

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Impedansen i parallelle LC-kretsen

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Innstillingstid

LC-kretsen kan fungere som en elektrisk resonator og lagre energi som oscillerer mellom det elektriske feltet og det magnetiske feltet ved en frekvens kalt resonansfrekvens. Siden ethvert oscillende system når en stasjonær tilstand etter en viss tid, kjent som innstillingstid.

Tiden det tar for responsen å minske og bli stabil ved sin stasjonære verdi, og deretter forbli innenfor ± 2% av sin endelige verdi, kalles innstillingstid.

Strøm i LC-krets

Anta at $I(t)$ er den øyeblikkelige strømmen som strømmer gjennom kretsen. Spenningsnedgangen over induktoren uttrykkes ved strømmen $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ , og spenningsnedgangen over kondensatoren er $V = \frac {Q}{C}$ , der Q er ladningen lagret på den positive platen av kondensatoren.

Ifølge Kirchhoffs spenningss lov er summen av potensielle fall over de ulike komponentene i et lukket sirkuit lik null.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Ved å dele den ovennevnte ligningen med L og deriverer den med hensyn på t, får vi

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Nå er strømmen i en enkel harmonisk svingning gitt ved:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Hvor $I_0 > 0$ og $\phi$ er konstanter.

Sett verdien av ligning (5) inn i (4) får vi,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Dermed kan vi si at LC-kretsen er en oscillerende krets og den oscillatorer med en frekvens som kalles resonanfrekvens.

LC-kretsens spenning

Ifølge ligning (3) er den indukserte spenningen over en spole minus spenningen over kondensatoren.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Sett inn strømlikningen fra likning (5), får vi

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

Med andre ord, når strømmen når null, blir spenningsamplituden maksimal, og motsatt. Amplituden til spenningsoskillasjonen er strømamplituden multiplisert med $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Overføringsfunksjon for LC-krets

overføringsfunksjonen fra inngangsspennings til spenningen over kondensatoren er

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

På samme måte er overføringsfunksjonen fra inngangsspenningen til spenningen over induktoren

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Naturlig respons i LC-krets

La oss anta at kondensatoren er fullstendig utladdet og at bryteren (K) har vært åpen i lang tid, og den lukkes ved t=0.

Ved t=0– er bryter K åpen

Dette er en initialbetingelse, og vi kan derfor skrive,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Fordi strømmen gjennom spolen og spenningen over kondensatoren ikke kan endre seg øyeblikkelig.

For alle t>=0+ er bryter K lukket

Nå blir spenningkilden introdusert i kretsen. Ved å bruke KVL (Kirchhoffs Voltage Law) på kretsen, får vi,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Her uttrykkes spenningen over kondensatoren ved hjelp av strømmen.

Den ovennevnte ligningen kalles integro-differentialligningen. Ved å derivere begge sider av den ovennevnte ligningen med hensyn til t, får vi,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Ligning (7) indikerer en andreordens differensialligning for et LC-krets.

Erstatt $\frac{d^2}{dt^2}$ med s2, får vi,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Nå er røttene til den ovennevnte ligningen

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Her er $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ den naturlige frekvensen for svingninger.

LC-sirkuits frekvensrespons

Ved bruk av impedansemetoden: Den generelle ligningen for frekvensrespons-systemet er

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Anta at utgående spenning forekommer over kondensatorleddet, anvend potensialdelingsregelen til ovennevnte sirkuit

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Hvor, $Z_C =$ impedansen til kondensatoren $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ impedansen til spolen $= {j \omega L}$

Ved å sette inn i ligning (9), får vi

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Anta at utgangsspenningen forekommer over spoleren, bruk potensialdelingsregelen på den ovennevnte kretsen

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Erstatt verdien av $Z_C$ og $Z_L$ i den ovennevnte ligningen, får vi

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Ligning (10) og (12) viser frekvensresponsen til et L-C-krets i kompleks form.

LC-krets differensialligning

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Den ovenstående ligningen kalles integro-differensialligningen. Her uttrykkes spennings over kondensatoren ved hjelp av strøm.

Nå, ved å derivere den ovenstående ligningen på begge sider med hensyn til t, får vi,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Den ovennevnte ligningen viser den andreordens differensialligningen for LC-kretsen.

Erstatt $\frac{d^2}{dt^2}$ med s2, får vi,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Nå, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ derfor, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , sett det inn i den ovennevnte ligningen får vi,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

Opplading og tomning av LC-krets

I en LC-krets er både spoler og kondensator lagringsenheter, det vil si at spoler lagrer energi i sin magnetfelt (B), avhengig av strømmen gjennom den, og kondensator lagrer energi i elektriske felt (E) mellom sine lederplater, avhengig av spenningen over den.

Anta at kapasitoren først inneholder en ladning q, og at all energi i kretsen er opprinnelig lagret i det elektriske feltet til kapasitoren. Energien som er lagret i kapasitoren, er

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Hvis en spoler er koblet til en opladet kondensator, vil spenningen over kondensatoren føre til at strøm flyter gjennom spolen, som produserer et magnetfelt rundt spolen, og kondensatoren begynner å avlades, og spenningen over kondensatoren reduseres til null når ladningen brukes opp av strømmen ( $I = \frac{q}{t}$ ).

Nå er kondensatoren fullstendig avladet, og all energi er lagret i magnetfeltet rundt spolen. I dette øyeblikket er strømmen på sitt maksimale verdi, og energien lagret i spolen er gitt ved ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

På grunn av fraværet av en motstand, dissiperes det ingen energi i kretsen. Derfor er den maksimale energien lagret i kondensatoren lik den maksimale energien lagret i spolen.

I dette øyeblikket induseres en spenning over spolen ifølge Faradays lov om elektromagnetisk induksjon ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Denne induerte spenningen fører til at strøm flyter gjennom kondensatoren, og kondensatoren begynner å oplades med en spenning av motsatt polaritet.

Denne prosessen med oplading og avlading vil begynne igjen, med strømmen som flyter i motsatt retning gjennom spolen som før.

På denne måten kan opplading og avlading av LC-kretsen foregå på en sirkulær måte, og energien oscillerer frem og tilbake mellom kondensatoren og spolen inntil den interne motstanden gjør at oscillasjonene døper ut.

Figuren viser spennings- og strømformen under opplading og avlading.

Lading og avlading av LC-krets form — Lading og avlading av spenning og strøm form

LC Krets Anvendelser

Anvendelsene av LC kretser inkluderer:

Anvendelsen av en LC-krets involverer hovedsakelig mange elektroniske enheter, spesielt radioutstyr som sendere, radiomottakere, TV-mottakere, forsterkere, oscillatorer, filtre, tunere og frekvensmixere.
LC-kretser brukes også for å produsere signaler på en bestemt frekvens eller akseptere et signal fra et mer komplekst signal på en bestemt frekvens.
Hovedformålet med en LC-krets er vanligvis å oscillere med minimal demping, så motstanden holdes så lav som mulig.
En serie-resonans krets gir spenning forstøring.
En parallel resonans krets gir strøm forstøring.

Hva er Damping?

Demping er reduksjonen i amplituden til en oscillasjon eller bølgemønster over tid. Resonans er økningen i amplituden når dempingen reduseres.

Erklæring: Respektér den opprinnelige teksten, gode artikler er verdt å deles, hvis det foreligger brudd på rettigheter, vennligst kontakt oss for sletting.

Gi en tips og oppmuntre forfatteren

Emner:

Kretsteori

RLK-krets

Om eksperter

Electrical4u

China