LC-kretsanalys: Serie- och parallellkopplade kretsar ekvationer och överföringsfunktion

Electrical4u

Fält: Grundläggande elteknik

China

Vad är en LC-krets?

En LC-krets (även känd som en LC-filter eller LC-nätverk) definieras som en elektrisk krets bestående av de passiva kretselementen en induktor (L) och en kapacitans (C) kopplade samman. Den kallas också resonanskrets, tankkrets eller stämdd krets.

På grund av frånvaron av en motståndare i den idealiska formen av kretsen, konsumerar en LC-krets ingen energi. Detta skiljer sig från de idealiska formerna av RC-kretsar, RL-kretsar, eller RLC-kretsar, som konsumerar energi på grund av närvaron av en motståndare.

Detta sagt, i en praktisk krets kommer en LC-krets alltid att konsumera någon energi p.g.a. de icke-nollstora resistanserna hos komponenterna och anslutningsledningarna.

Varför kallas ett LC-krets för en justerad krets eller tankkrets?

Laddningen flödar fram och tillbaka mellan kondensatorns plattor och genom spolen. Energin oscillerar mellan kondensatorn och spolen tills komponenternas inre motstånd och kopplingsledningars motstånd gör att oscillationerna dör ut.

Kretsens funktion är som en justerad funktion, matematiskt känd som en harmonisk oscillator, vilket liknar en pendel som svänger fram och tillbaka eller vatten som flyter fram och tillbaka i en tank; därför kallas kretsen för en justerad krets eller tankkrets.

Kretsen kan fungera som en elektrisk resonator och lagra energi som oscillerar vid den frekvens som kallas resonansfrekvens.

Serie LC-krets

I serie LC-kretsen är spolen och kondensatorn båda anslutna i serie, vilket visas i figuren.

Eftersom strömmen i en seriekrets är densamma överallt i kretsen är strömmen genom både spolen och kondensatorn lika.

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

Nu är den totala spänningen över terminalerna lika med summan av spänningen över kondensatorn och spänningen över induktorn.

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

Resonans i serie LC-krets

När frekvensen ökar ökar också magnituden av induktiv reaktans.

$\begin{align*} X_L = \omega L = 2 \pi fL \end{align*}$

och magnituden av kapacitiv reaktans minskar.

$\begin{align*} X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} \end{align*}$

Nu vid resonans är magnituden av både induktiv reaktans och kapacitiv reaktans lika.

Nu är impedansen för serie LC-kretsen givet av

$\begin{align*} \begin{split} & Z_L_C_(_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C\ &= j \omega L + \frac{1}{j \omega C}\ &= j \omega L + \frac{j}{j^2 \omega C}\ &= j \omega L - \frac{j}{\omega C}\ &= j (\frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C}) (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

Nu vid resonans är magnituden av både induktiv reaktans och kapacitiv reaktans lika.

$\begin{align*} \begin{split} & X_L = X_C\\ & \omega L = \frac{1}{\omega C}\\ & \omega^2 = \frac{1}{LC}\\ & \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}(where, \omega = angular frequency)\\ & 2 \pi f =\omega_0 = \frac{1}{\sqrt {LC}}\\ & f_0 =\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt {LC}}\\ \end{split} \end{align*}$

Där $\omega_0$ är resonansvinkelfrekvensen (radianer per sekund).

Nu är den vinkulära resonansfrekvensen $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , då blir impedansen

(1) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{equation*}$

Så vid resonanstillstånd när $\omega = \omega_0$ kommer det totala elektriska impedansen Z att vara noll, vilket betyder att XL och XC tar ut varandra. Därför är strömmen som levereras till en serie LC-krets maximal ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Därför kommer en serie LC-krets, när den är ansluten i serie med belastningen, att fungera som en bandpassfilter med noll impedans vid resonansfrekvensen.

Vid frekvens under resonansfrekvens dvs. $f < f_0$ , $X_C >> X_L$ . Därför är kretsen kapacitiv.
Vid frekvens över resonansfrekvens dvs. $f>f_0$ , $X_L >> X_C$ . Därför är kretsen induktiv.
Vid resonansfrekvens dvs. $f = f_0$ , $X_L = X_C$ . strömmen är maximal och impedansen minimal. I detta tillstånd kan kretsen fungera som en acceptorkrets.

Parallell LC-krets

I den parallella LC-kretsen är induktorn och kondensatorn båda anslutna i parallelloch visas i figuren.

Parallel LC Circuit — Parallell LC-krets

Spänningen över varje terminal för olika komponenter i en parallell krets är densamma. Därför är spänningen över terminalerna lika med spänningen över induktorn och spänningen över kondensatorn.

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

Nu är den totala strömmen som flödar genom den parallella LC-kretsen lika med summan av strömmen som flödar genom induktorn och strömmen som flödar genom kondensatorn.

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

Resonans i parallell LC-krets

Vid resonanstillstånd, när den induktiva reaktansen ( $X_L$ ) är lika med den kapacitiva reaktansen ( $X_C$ ), är de reaktiva grenströmmarna lika och motsatta. Därför tar de ut varandra och ger en minimal ström i kretsen. I detta tillstånd är den totala impedansen maximal.

Den resonanta frekvensen ges av

$\begin{align*} f_0 = \frac {\omega_0} {2 \pi} = \frac {1} {2 \pi \sqrt{LC}} \end{align*}$

Nu ges Impedansen för det parallella LC-kretsen av

$\begin{align*} \begin{split} Z_L_C_(_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \frac {Z_L Z_C} {Z_L + Z_C}\ &= \frac {j \omega L \frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{\frac{L}{C}} { \frac{- \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac {j \omega L} {1 - \omega^2 LC} \ \end{split} \end{align*}$

Nu är den vinkelräta resonansfrekvensen $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , då blir impedansen

(2) $\begin{equation*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{equation*}$

Så vid resonansvillkor när $\omega = \omega_0$ är det totala elektriska impedansen Z oändlig och strömmen som levereras till en parallell LC-krets är minimal ( $I = \frac {V} {Z}$ ).

Därför kommer den parallella LC-kretsen, när den är ansluten i serie med belastningen, att fungera som en bandstoppfilter med oändligt impedans vid resonansfrekvensen. Den parallella LC-kretsen ansluten parallellt med belastningen kommer att fungera som ett bandpassfilter.

Vid frekvenser under resonansfrekvensen dvs. f<f0, XL >> XC. Därför är kretsen induktiv.
Vid frekvenser över resonansfrekvensen dvs. f>f0, XC >> XL. Därför är kretsen kapacitiv.
Vid resonansfrekvensen dvs. f = f0, XL = XC, är strömmen minimal och impedansen maximal. I detta tillstånd kan kretsen fungera som ett avvisarkrets.

LC-kretsens ekvationer

Ström- och spänningsekvationer

Vid initiala villkor:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

Vid svängning:

$\begin{align*} I(t) = I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

$\begin{align*} V(t) =\sqrt {\frac{L}{C}} I_0 sin (\omega_0 t + \phi) \end{align*}$

LC-kretsens differentialekvation

$\begin{align*} \frac {d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \,\, (where, \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \end{align*}$

Impedans för seriekopplad LC-krets

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_s_e_r_i_e_s_) = j L (\frac {\omega^2 - \omega_0^2} {\omega}) \end{align*}$

Impedans av parallell LC-krets

$\begin{align*} Z_L_C(\omega)_(_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j (\frac {1}{C}) (\frac {\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}) \end{align*}$

Inställningstid

LC-kretsen kan fungera som en elektrisk resonator och lagra energi som oscillerar mellan det elektriska fältet och det magnetiska fältet vid frekvensen som kallas resonansfrekvens. Eftersom varje oscillerande system når en stillastående tillstånd vid någon tidpunkt, känd som inställningstid.

Tiden det tar för svaret att minska och bli stabil vid dess stillastående värde och förbli därefter inom ± 2% av sitt slutliga värde kallas inställningstid.

Ström i LC-krets

Antag att $I(t)$ är den momentana strömmen som flödar genom kretsen. Spänningen över induktorn uttrycks i termer av strömmen $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ och spänningen över kondensatorn är $V = \frac {Q}{C}$ , där Q är laddningen som lagras på den positiva plattan av kondensatorn.

Enligt Kirchhoffs spänningslag är summan av potentialfallen över de olika komponenterna i en sluten slinga lika med noll.

(3) $\begin{equation*} L \frac {dI(t)}{dt} + \frac {Q}{C} = V \end{equation*}$

Genom att dela ovanstående ekvation med L och derivera den med avseende på t får vi

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{d}{dt} \frac{Q}{LC} = \frac{dV}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} \frac{d}{dt} (It) = 0 (where, Q = It) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0 \end{align*}$ (4) $\begin{equation*} \frac{d^2 I(t)}{dt^2} = - \frac{1}{LC} I(t) \end{equation*}$

Nu är strömmen i en enkel harmonisk svängning formgiven av:

(5) $\begin{equation*} I (t) = I_0 sin (\omega t + \phi) ( I = I_m sin \omega t ) \end{equation*}$

Där $I_0 > 0$ och $\phi$ är konstanter.

Sätt in värdena från ekvation (5) i (4) får vi,

$\begin{align*} \frac{d^2}{dt^2}I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\frac{d}{dt}I_0 sin(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dt} [\omega I_0 cos(\omega t+\phi)] = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = - \frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\begin{align*} - \omega^2 = - \frac{1}{LC} \end{align*}$

(6) $\begin{equation*} \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{equation*}$

Därför kan vi utifrån ovanstående ekvation säga att LC-kretsen är en oscillerande krets och den oscillerar med en frekvens som kallas resonansfrekvens.

LC Kretsens Spänning

Enligt ekvation (3) är den inducerade spänningen över en induktor minus spänningen över kondensatorn.

$\begin{align*} V = -L \frac {dI(t)}{dt} \end{align*}$

Sätt in ekvationen för ström från ekvation (5), så får vi

$\begin{align*} \begin{split} V(t) = - L \frac{d}{dt} [I_0 cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 \frac{d}{dt} [cos (\omega t + \phi)] \ &= - L I_0 [-\omega sin (\omega t + \phi)] \ &= \omega L I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ &= \frac{1}{\sqrt{LC}} L I_0 [sin (\omega t + \phi)] (where,\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}) \\ V(t) = \sqrt\frac{L}{C} I_0 [sin (\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

Med andra ord når spänningen sitt maximum när strömmen når noll och vice versa. Amplituden av spänningsvibrationen är den av strömvibrationen multiplicerad med $\sqrt\frac{L}{C}$ .

Överföringsfunktion för LC-krets

Överföringsfunktionen från ingångsspänning till spänning över kondensatorn är

$\begin{align*} \begin{split} H_C(s) = \frac{V_C(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_C(s) = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} (where, j^2 = -1)\ \end{split} \end{align*}$

På samma sätt är överföringsfunktionen från indatat spänning till spänningen över kondensatorn

$\begin{align*} \begin{split} H_L(s) = \frac{V_L(s)} {V_i_n(s)}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\\ H_L(s)= -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC}\ \end{split} \end{align*}$

Naturligt svar av LC-krets

Låt oss anta att kondensatorn är fullständigt utsläppt och att strömbrytaren (K) har varit öppen under en lång tid och stängs vid t=0.

Vid t=0– är strömbrytaren K öppen

Detta är ett initialtillstånd så vi kan skriva,

$\begin{align*} I_L(0^-) = 0 = I_L(0^+) \end{align*}$

$\begin{align*} V_C(0^-) = 0 = V_C(0^+) \end{align*}$

Eftersom strömmen genom induktorn och spänningen över kondensatorn inte kan ändras momentant.

För alla t>=0+ brytare K är sluten

Nu kopplas spänningskällan in i kretsen. Genom att tillämpa KVL på kretsen får vi,

$\begin{align*} \begin{split} - V_L(t) - V_C(t) + V_S = 0 \\ V_L(t) + V_C(t) = V_S \\ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V_S \\ \end{split} \end{align*}$

Här uttrycks spänningen över kondensatorn i termer av ström.

Ovanstående ekvation kallas för en integro-differentialekvation. Genom att derivera båda sidor av ovanstående ekvation med avseende på t får vi,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(7) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Ekvation (7) indikerar en andragradsekvation för ett LC-krets.

Ersätt $\frac{d^2}{dt^2}$ med s2, får vi,

(8) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Roterna till ovanstående ekvation är

$\begin{align*} S_1,_2 = \frac {\sqrt{\frac{4}{LC}}} {{2}} = \frac {\frac{2}{\sqrt{LC}}} {2} = \frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align*}$

Här är $\frac{1}{\sqrt{LC}}$ den naturliga frekvensen för svängning.

Frekvenssvar på LC-krets

Med impedansmetoden: Den generella ekvationen för frekvenssvarssystemet är

$\begin{align*} H(\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} \end{align*}$

Antag att utgångsspänningen uppstår över kondensatorns terminaler, tillämpa spänningsdelarregeln på den ovanstående kretsen

(9) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_C}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Där, $Z_C =$ impedansen för kondensatorn $= \frac{1}{j \omega C}$

$Z_L =$ impedansen för spolen $= {j \omega L}$

Ersätt det i ekvation (9), får vi

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_C}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{\frac{1}{j \omega C}} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac {\frac{1}{j \omega C}} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{1} {-\omega^2 LC + 1} (where, j^2 = -1)\\ \end{split} \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = \frac{1}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Antalet att utgångsspänningen uppstår över induktorn, tillämpa potentiell delare regel på den ovanstående kretsen

(11) $\begin{equation*} V_o_u_t = V_i_n \frac {Z_L}{Z_C + Z_L} \end{equation*}$

Ersätt värdet av $Z_C$ och $Z_L$ i ovanstående ekvation, vi får

$\begin{align*} \begin{split} \frac{V_o_u_t}{V_i_n}\ &= \frac{Z_L}{Z_C + Z_L}\ &= \frac{j \omega L} {j \omega L + \frac{1}{j \omega C}}\ &= \frac{j \omega L} {\frac{j^2 \omega^2 LC + 1}{j \omega C}}\ &= \frac{j^2 \omega^2 LC} {-\omega^2 LC + 1}\ \end{split} \end{align*}$

(12) $\begin{equation*} H(\omega) = \frac{V_o_u_t}{V_i_n} = -\frac{\omega^2 LC}{1 - \omega^2 LC} \end{equation*}$

Ekvation (10) och (12) visar frekvensresponsen för ett L-C-krets i komplex form.

LC-kretsens differentialekvation

$\begin{align*} L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int i(t) dt = V \end{align*}$

Ovanstående ekvation kallas integro-differentialekvation. Här uttrycks spänningen över kondensatorn i termer av ström.

Nu, genom att derivera ovanstående ekvation på båda sidor med avseende på t, får vi,

$\begin{align*} L \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{i(t)}{C} = 0 \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Ovanstående ekvation indikerar den andraderivata differentialekvationen för LC-kretsen.

Ersätt $\frac{d^2}{dt^2}$ med s2, då får vi,

(14) $\begin{equation*} S^2i(t) + \frac{1}{LC} i(t) = 0 \end{equation*}$

Nu, $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ därför, $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ , sätt in det i ovanstående ekvation så får vi,

$\begin{align*} S^2i(t) + \omega_0^2 i(t) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

LC-kretsens laddning och avladdning

I en LC-krets är både induktorn och kondensatorn lagringsenheter, dvs. induktorn lagrar energi i sitt magnetfält (B) beroende på strömmen genom det, och kondensatorn lagrar energi i elektriska fältet (E) mellan sina ledande plattor, beroende på spänningen över den.

Antag att kondensatorn innehåller en laddning q från början, och att all energi i kretsen först lagras i det elektriska fältet hos kondensatorn. Den lagrade energin i kondensatorn är

$\begin{align*} \begin{split} E_C =\frac{1}{2} CV^2 \ &= \frac{1}{2} C \frac{q^2}{C^2} \ &= \frac{1}{2} \frac{q^2}{C^2} (V = \frac{q}{C}) \ \end{split} \end{align*}$

Om nu en spole ansluts till en laddad kondensator, kommer spänningen över kondensatorn att orsaka strömflöde genom spolen, vilket producerar ett magnetfält runt spolen. Kondensatorn börjar avladdas och spänningen över kondensatorn minskar till noll när laddningen används upp av strömmen ( $I = \frac{q}{t}$ ).

Nu är kondensatorn helt avladdad och all energi lagras i magnetfältet runt spolen. I detta ögonblick är strömmen vid sitt maximala värde och den lagrade energin i spolen ges av ( $E_L = \frac{1}{2} LI^2)$ .

På grund av frånvaron av en resistor, dissiperas ingen energi i kretsen. Således är den maximala energin som lagras i kondensatorn lika med den maximala energin som lagras i spolen.

I detta ögonblick inducerar den lagrade energin i magnetfältet runt spolen en spänning över spolen enligt Faradays lag om elektromagnetisk induktion ( $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ). Denna inducerade spänning orsakar ett strömföde genom kondensatorn och kondensatorn börjar laddas med en spänning av motsatt polaritet.

Denna laddnings- och avladdningsprocess kommer att börja igen, med strömmen flödande i motsatt riktning genom spolen som tidigare.

På så sätt kan laddning och avladdning av LC-kretsen ske cykliskt och energin svänga fram och tillbaka mellan kondensatorn och spolen tills den inre resistansen gör att svängningarna dör ut.

Figuren visar spännings- och strömformen vid laddning och avladdning.

Laddning och avladdning av LC-kretsens form — Spännings- och strömform vid laddning och avladdning

LC-kretsapplikationer

LC-kretsers tillämpningar inkluderar:

Tillämpningar av en LC-krets involverar främst många elektroniska enheter, särskilt radioutrustning som sändare, radiomottagare, TV-mottagare, förstärkare, oscillator, filter, tuners och frekvensmixers.
LC-kretsar används också för att producera signaler på en viss frekvens eller acceptera en signal från en mer komplex signal på en viss frekvens.
Det huvudsakliga syftet med en LC-krets är vanligtvis att svänga med minsta möjliga dämpning, så motståndet hålls så lågt som möjligt.
En serie-resonanskrets ger spänning förstärkning.
En parallell resonanskrets ger ström förstärkning.

Vad är dämpning?

Dämpning är minskningen av amplituden hos en svängning eller vågrörelse över tid. Resonans är ökningen av amplituden när dämpningen minskar.

Utträdande: Respektera det ursprungliga, bra artiklar är värda att dela, om det finns upphovsrättsskyddade material, vänligen kontakta för borttagning.

Ge en tips och uppmuntra författaren

Ämnen:

Kretsteori

RLC-krets

Om experter

Electrical4u

China