श्रेणी और समान्तर इंडक्टर (सूत्र और उदाहरण समस्याएँ)

फील्ड: बुनियादी विद्युत

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इंडक्टर क्या है?

इंडक्टर (जिसे इलेक्ट्रिकल इंडक्टर भी कहते हैं) दो-टर्मिनल पासिव इलेक्ट्रिकल तत्व के रूप में परिभाषित किया जाता है जो जब विद्युत धारा इसके माध्यम से बहती है, तो इसमें एक चुंबकीय क्षेत्र के रूप में ऊर्जा का संचय होता है। इसे कोईल, चोक या रिएक्टर भी कहा जाता है।

इंडक्टर बस एक तार की कोईल है। यह आमतौर पर एक संवहन योग्य सामग्री, आमतौर पर अलग-अलग कोपर, के लिए एक लोहे के कोर में लपेटा गया होता है, जो प्लास्टिक या फेरोमैग्नेटिक सामग्री का होता है; इसलिए, इसे लोहे कोर वाला इंडक्टर कहा जाता है।

इंडक्टर आमतौर पर 1 µH (10-6 H) से 20 H की सीमा में उपलब्ध होते हैं। कई इंडक्टरों में कोईल के अंदर फेराइट या लोहे का चुंबकीय कोर होता है, जो चुंबकीय क्षेत्र और इसलिए इंडक्टर की इंडक्टेंस को बढ़ाने के लिए उपयोग किया जाता है।

फाराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, जब एक इंडक्टर या कोईल में से बहने वाली विद्युत धारा बदलती है, तो समय-परिवर्ती चुंबकीय क्षेत्र इसमें विद्युत विभव या वोल्टेज उत्पन्न करता है। इंडक्टर में प्रेरित वोल्टेज या विद्युत विभव इंडक्टर के माध्यम से बहने वाली विद्युत धारा के परिवर्तन की दर के सीधे आनुपातिक होता है।

प्रेरकत्व (L) एक प्रेरक का गुण है जो इसके माध्यम से बहने वाली धारा के परिमाण या दिशा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है। जितना अधिक प्रेरक का प्रेरकत्व होगा, चुंबकीय क्षेत्र के रूप में विद्युत ऊर्जा को संग्रहीत करने की क्षमता उतनी ही अधिक होगी।

प्रेरक कैसे काम करते हैं?

एक परिपथ में प्रेरक इसके सिरों पर एक वोल्टेज प्रेरित करके इसके माध्यम से धारा प्रवाह में परिवर्तन का विरोध करता है जो धारा प्रवाह के परिवर्तन की दर के समानुपाती होता है। यह समझने के लिए कि परिपथ में प्रेरक कैसे काम करता है, नीचे दिखाए गए चित्र पर विचार करें।

जैसा कि दिखाया गया है, एक लैंप, तार की एक कुंडली (प्रेरक), और एक स्विच एक बैटरी से जुड़े हुए हैं। यदि हम परिपथ से प्रेरक को हटा दें, तो लैंप सामान्य रूप से जल उठता है। प्रेरक के साथ, परिपथ पूरी तरह से अलग तरीके से व्यवहार करता है।

प्रेरक या कुंडली में लैंप की तुलना में बहुत कम प्रतिरोध होता है, इसलिए जब स्विच बंद किया जाता है तो अधिकांश धारा कम प्रतिरोध वाले पथ प्रदान करने के कारण कुंडली के माध्यम से बहना आरंभ कर देती है। अतः, हम अपेक्षा करते हैं कि लैंप बहुत ही मद्धिम रूप से चमके।

लेकिन परिपथ में प्रेरक के व्यवहार के कारण, जब हम स्विच बंद करते हैं, तो लैंप तेजी से चमकता है और फिर मद्धिम हो जाता है और जब हम स्विच खोलते हैं, तो बल्ब बहुत तेजी से चमकता है और फिर तुरंत बुझ जाता है।

इसका कारण यह है कि, जब एक प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज या विभवांतर लगाया जाता है, तो प्रेरक के माध्यम से बहने वाली विद्युत धारा एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। यह चुंबकीय क्षेत्र पुनः प्रेरक में एक प्रेरित विद्युत धारा उत्पन्न करता है लेकिन विपरीत ध्रुवता की, लेंज़ के नियम के अनुसार।

प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के कारण यह प्रेरित धारा किसी भी परिवर्तन, वृद्धि या कमी, में धारा का विरोध करने का प्रयास करती है। एक बार चुंबकीय क्षेत्र बन जाने के बाद, धारा सामान्य रूप से बह सकती है।

अब, जब स्विच बंद होता है, तो प्रेरक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र प्रेरक में धारा बहाए रखता है जब तक कि चुंबकीय क्षेत्र ढह न जाए। यह धारा स्विच खुले होने के बावजूद लैंप को एक निश्चित समय तक चमकाए रखती है।

दूसरे शब्दों में, प्रेरक चुंबकीय क्षेत्र के रूप में ऊर्जा संग्रहीत कर सकता है और यह इसके माध्यम से बहने वाली धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करने का प्रयास करता है। इसका समग्र परिणाम यह है कि प्रेरक के माध्यम से धारा तात्कालिक रूप से नहीं बदल सकती है।

प्रेरक परिपथ प्रतीक

एक प्रेरक के लिए योजनाबद्ध परिपथ प्रतीक नीचे दिखाए गए चित्र में दिखाया गया है।

इंडक्टर समीकरण

इंडक्टर पर वोल्टेज

इंडक्टर में प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा के परिवर्तन की दर के सीधे आनुपातिक रूप से इंडक्टर पर वोल्टेज होती है। गणितीय रूप से, इंडक्टर पर वोल्टेज को निम्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है,

$\begin{align*} v_L = L \frac{di_L}{dt} \end{align*}$

जहाँ, $v_L$ = इंडक्टर पर तात्कालिक वोल्टेज (वोल्ट में),

$L$ = इंडक्टेंस (हेनरी में),

$\frac{di_L}{dt}$ = विद्युत धारा के परिवर्तन की दर (अम्पियर प्रति सेकंड में)

इंडक्टर के पार वोल्टेज इंडक्टर के चुंबकीय क्षेत्र में संचित ऊर्जा के कारण होता है।

यदि सीधा धारा इंडक्टर के माध्यम से प्रवाहित होती है, तो $\frac{di_L}{dt}$ समय के सापेक्ष निरंतर सीधी धारा के कारण शून्य हो जाता है। इसलिए, इंडक्टर के पार वोल्टेज शून्य हो जाता है। इस प्रकार, सीधी धारा के मामले में, स्थिर अवस्था में, इंडक्टर एक छोटा सर्किट के रूप में कार्य करता है।

इंडक्टर के माध्यम से धारा

हम इंडक्टर के माध्यम से धारा को उसके पार विकसित वोल्टेज के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं

$\begin{align*} i_L = \frac{1}{L} \int v_L dt \end{align*}$

उपरोक्त समीकरण में, समाकलन की सीमाएँ गत इतिहास या प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर निर्धारित की जाती हैं, अर्थात् $-\infty \,\, to \,\, t(0^-)$ ।

अब, मान लीजिए कि स्विचिंग कार्य t=0 पर होता है, यानी स्विच t=0 पर बंद होता है। हमारे पास इंडक्टर के माध्यम से धारा का समीकरण है,

$\begin{align*} i_L = \frac{1}{L} \int v_L dt \end{align*}$

हम समाकलन सीमाओं को दो अंतरालों में विभाजित कर सकते हैं $-\infty \,\, to \,\, 0$ और $0 \,\, to \,\,t$ । हम जानते हैं कि $0^-$ स्विचिंग कार्रवाई होने से ठीक पहले का क्षण है, जबकि $0^+$ स्विचिंग कार्रवाई होने के ठीक बाद का क्षण है। इसलिए, हम लिख सकते हैं

$\begin{align*} i_L = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{t} v_L dt \end{align*}$

इसलिए,

$\begin{align*} i_L = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{0^-} v_L dt + \frac{1}{L} \int_{0^-}^{t} v_L dt \end{align*}$

यहाँ, पद $\frac{1}{L} \int_{-\infty}^{0^-} v_L dt$ के माध्यम से प्रतिनिधित्व किया गया है जो इंडक्टर धारा का मान ऐतिहासिक अवधि में है, जो कुछ भी नहीं बल्कि $i_L$ की प्रारंभिक स्थिति है। इसे $i_L(0^-)$ से दर्शाया जा सकता है।

$\begin{align*} i_L = i_L(0^-) + \frac{1}{L} \int_{0^-}^{t} v_L dt \end{align*}$

जब $t=0^+$ , हम लिख सकते हैं,

$\begin{align*} i_L (0^+)= i_L(0^-) + \frac{1}{L} \int_{0^-}^{0^+} v_L dt \end{align*}$

आरंभ में, हमने यह माना कि स्विचिंग कार्रवाई शून्य समय पर होती है। इसलिए, $0^-$ से $0^+$ तक का समाकलन शून्य है।

इसलिए,

$\begin{align*} i_L(0^-) = i_L(0^+) \end{align*}$

इस प्रकार, आवेशक में धारा तत्काल बदल नहीं सकती। इसका अर्थ है कि आवेशक के माध्यम से धारा, स्विचिंग कार्रवाई से पहले और बाद में एक जैसी ही रहती है।

t=0 पर आवेशक

इंडक्टर का स्थिति $t = 0$ , अर्थात् इंडक्टर पर वोल्टेज को स्विच करने के समय, आदर्श रूप से $\infty$ होता है क्योंकि समय अंतराल $dt$ शून्य होता है। इस प्रकार, स्विचिंग के समय इंडक्टर एक खुला सर्किट की तरह कार्य करता है। जबकि स्थिर अवस्था में $t = \infty$ यह एक छोटा सर्किट की तरह कार्य करता है।

यदि इंडक्टर में स्विचिंग कार्य से पहले शुरुआती धारा I0 हो, तो तत्काल $t=0^+$ यह एक स्थिर धारा स्रोत की तरह कार्य करता है जिसका मान $I_0$ होता है, जबकि स्थिर अवस्था में $t=\infty$ , यह धारा स्रोत के साथ एक छोटा सर्किट की तरह कार्य करता है।

श्रृंखला और समानांतर इंडक्टर

श्रेणी और समानांतर में प्रेरकों का व्यवहार श्रेणी और समानांतर में प्रतिरोधों के समान होता है। दो चुंबकीय युग्मित कुंडलियों 1 और 2 पर विचार करें जिनका स्व-प्रेरकत्व $L_1$ और $L_2$ क्रमशः है। मान लीजिए M हेनरी में दो कुंडलियों के बीच पारस्परिक प्रेरकत्व है।

एक विद्युत परिपथ में दो प्रेरकों को विभिन्न तरीकों से जोड़ा जा सकता है जिससे तुल्य प्रेरकत्व के अलग-अलग मान प्राप्त होते हैं जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

श्रेणी में प्रेरकों का सूत्र

श्रेणी में प्रेरकों को कैसे जोड़ें

दो पारस्परिक रूप से युग्मित प्रेरकों या कुंडलियों वाले परिपथ पर विचार करें जो श्रेणी में जुड़े हुए हैं। प्रेरकों को श्रेणी में जोड़ने के दो संभावित तरीके होते हैं।

पहले तरीके में, प्रेरकों द्वारा उत्पादित फ्लक्स एक ही दिशा में कार्य करते हैं। तब, ऐसे प्रेरकों को श्रेणी-सहायक या संचयी रूप से जुड़ा हुआ माना जाता है।
दूसरे तरीके में, यदि दूसरे प्रेरक में धारा को उलट दिया जाता है ताकि प्रेरकों द्वारा उत्पादित फ्लक्स एक दूसरे का विरोध करें, तो ऐसे प्रेरकों को श्रेणी-विरोधी या अंतरकारी रूप से जुड़ा हुआ माना जाता है।

मान लीजिए प्रेरक 1 का स्व-प्रेरकत्व $L_1$ है और प्रेरक 2 का $L_2$ है। दोनों प्रेरक अनुप्रेरित प्रेरकत्व M के साथ युग्मित हैं।

श्रृंखला-सहायक (संचयी) संबंध (अनुप्रेरित वि.वा.बल. स्व-प्रेरित वि.वा.बल. की सहायता करता है)

दो प्रेरक या कुंडलियों को नीचे दिखाए गए चित्र के अनुसार श्रृंखला-सहायक या संचयी रूप में जोड़ा गया है।

इस संबंध में, दोनों प्रेरकों के स्व और अनुप्रेरित चुंबकीय फ्लक्स एक ही दिशा में कार्य करते हैं; इस प्रकार, स्व और अनुप्रेरित वि.वा.बल. भी एक ही दिशा में होते हैं।

अतः,

प्रेरक 1 में स्व-प्रेरित वि.वा.बल., $e_s_1 = -L_1\frac{di}{dt}$
प्रेरक 1 में अनुप्रेरित वि.वा.बल., $e_m_1 = -M\frac{di}{dt}$
प्रेरक 2 में स्व-प्रेरित वि.वा.बल., $e_s_2 = -L_2\frac{di}{dt}$
प्रेरक 1 में पारस्परिक उत्पन्न e.m.f., $e_m_2 = -M\frac{di}{dt}$

संयोजन में कुल उत्पन्न e.m.f.,

$\begin{align*} e=-(L_1\frac{di}{dt}+M\frac{di}{dt}+L_2\frac{di}{dt}+M\frac{di}{dt}) \end{align*}$

(1) $\begin{equation*} e = -(L_1+L_2+2M) \frac{di}{dt} \end{equation*}$

यदि $L_eq$ श्रेणी-सहायक कनेक्शन में दो प्रेरकों का समतुल्य प्रेरण त्रिज्या है, तो संयोजन में उत्पन्न e.m.f. निम्न द्वारा दिया जाता है,

(2) $\begin{equation*} e = -L_e_q_. \frac{di}{dt} \end{equation*}$

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

(3) $\begin{equation*} L_e_q_. = L_1 + L_2 + 2M \end{equation*}$

उपरोक्त समीकरण दो संचयित या जोड़ने वाले श्रृंखला इंडक्टर या कुंडलों की समतुल्य इंडक्टेंस देता है।

यदि दो कुंडलों के बीच कोई पारस्परिक इंडक्टेंस नहीं है (अर्थात, M = 0), तो,

$\begin{align*} L_e_q_. = L_1 + L_2 \end{align*}$

श्रृंखला विरोध (विभेद) कनेक्शन (पारस्परिक उत्पन्न विद्युत विरोध करता है स्व-उत्पन्न EMF को)

एक सर्किट को देखें जिसमें दो पारस्परिक जुड़े हुए इंडक्टर या कुंडल श्रृंखला में इस प्रकार जुड़े हों कि दोनों इंडक्टर द्वारा उत्पन्न फ्लक्स एक दूसरे को विरोध करें, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

क्योंकि फ्लक्स विरोध में हैं, पारस्परिक उत्पन्न e.m.f. का चिह्न स्व-उत्पन्न e.m.f. के विपरीत होगा। इसलिए,

इंडक्टर 1 में स्व-उत्पन्न e.m.f., $e_s_1 = -L_1\frac{di}{dt}$
इंडक्टर 1 में पारस्परिक उत्पन्न e.m.f., $e_m_1 = +M\frac{di}{dt}$
इंडक्टर 2 में स्व-उत्पन्न e.m.f., $e_s_2 = -L_2\frac{di}{dt}$
इंडक्टर 1 में पारस्परिक उत्पन्न e.m.f., $e_m_2 = +M\frac{di}{dt}$

यह संयोजन में कुल उत्पन्न e.m.f.,

$\begin{align*} e=-(L_1\frac{di}{dt}-M\frac{di}{dt}+L_2\frac{di}{dt}-M\frac{di}{dt}) \end{align*}$

(4) $\begin{equation*} e = -(L_1+L_2-2M) \frac{di}{dt} \end{equation*}$

यदि $L_e_q$ श्रृंखला विरोधी कनेक्शन में दो इंडक्टरों की समतुल्य इंडक्टेंस है, तो यह संयोजन में उत्पन्न e.m.f. निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

(5) $\begin{equation*} e = -L_e_q_. \frac{di}{dt} \end{equation*}$

समीकरण (4) और (5) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

(6) $\begin{equation*} L_e_q_. = L_1 + L_2 - 2 M \end{equation*}$

उपरोक्त समीकरण दो इंडक्टरों को श्रृंखला विरोधी या अंतर संयोजन में जोड़ने पर तुल्य इंडक्टेंस देता है।

यदि दोनों कुंडलों के बीच कोई एक-दूसरे की इंडक्टेंस नहीं है (अर्थात, M = 0), तो,

$\begin{align*} L_e_q_. = L_1 + L_2 \end{align*}$

उदाहरण 1

दो कुंडलों की स्व-इंडक्टेंस 10 mH और 15 mH है और दोनों कुंडलों के बीच की एक-दूसरे की इंडक्टेंस 10 mH है। जब वे श्रृंखला में सहायक रूप से जुड़े हों, तो तुल्य इंडक्टेंस ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दी गई डेटा: L1 = 10 मिलीहेनरी, L2 = 15 मिलीहेनरी और M = 10 मिलीहेनरी

श्रृंखला सहयोग सूत्र के अनुसार,

$\begin{align*} \begin{split} & L_e_q_. = L_1 + L_2 + 2M \\ & = 10 + 15 + 2(10) \\ & = 10 + 15 + 20 \\ & L_e_q_. = 45\,\,mH \end{split} \end{align*}$

इस प्रकार, समीकरण का उपयोग करके, हमें 45 मिलीहेनरी का समतुल्य इंडक्टेंस मिलता है जब वे श्रृंखला सहयोग में जुड़े होते हैं।

उदाहरण 2

दो कुंडलों का स्व-इंडक्टेंस 10 मिलीहेनरी और 15 मिलीहेनरी है और दोनों कुंडलों के बीच का पारस्परिक इंडक्टेंस 10 मिलीहेनरी है। जब वे श्रृंखला विरोध में जुड़े हों, तो समतुल्य इंडक्टेंस ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दी गई डेटा: L1 = 10 मिलीहेनरी, L2 = 15 मिलीहेनरी और M = 10 मिलीहेनरी

श्रृंखला विरोध सूत्र के अनुसार,

$\begin{align*} \begin{split} & L_e_q_. = L_1 + L_2 - 2M \\ & = 10 + 15 - 2(10) \\ & = 10 + 15 - 20 \\ & = 25 - 20 \\ & L_e_q_. = 5\,\,mH \end{split} \end{align*}$

इस प्रकार, समीकरण का उपयोग करके, जब वे श्रृंखला में विपरीत दिशा में जुड़े होते हैं, तो 5 mH की समतुल्य इंडक्टेंस प्राप्त होती है।

समानांतर इंडक्टर का सूत्र

समानांतर इंडक्टर कैसे जोड़ें

दो इंडक्टर निम्नलिखित तरीके से समानांतर जोड़े जा सकते हैं:

सह-उत्पन्न EMF आत्म-उत्पन्न EMF को सहायता प्रदान करता है, अर्थात्, समानांतर सहायक जोड़ा
सह-उत्पन्न EMF आत्म-उत्पन्न EMF का विरोध करता है, अर्थात्, समानांतर विरोधी जोड़ा

समानांतर सहायक (संचयी) जोड़ा (सह-उत्पन्न EMF आत्म-उत्पन्न EMF को सहायता प्रदान करता है)

जब दो इंडक्टर समानांतर सहायक जोड़े जाते हैं, तो सह-उत्पन्न EMF आत्म-उत्पन्न EMF को सहायता प्रदान करता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

माना i₁ और i₂ इंडक्टर L₁ और L₂ में प्रवाहित धाराएँ हैं और I कुल धारा है।

इस प्रकार,

(7) $\begin{equation*} i = i_1 + i_2 \end{equation*}$

इसलिए,

(8) $\begin{equation*} \frac{di}{dt} = \frac{di_1}{dt} + \frac{di_2}{dt} \end{equation*}$

प्रत्येक स्वप्रेरक में दो प्रेरण विभव (EMF) उत्पन्न होंगे। एक स्व-प्रेरण के कारण और दूसरा सह-प्रेरण के कारण।

चूंकि स्वप्रेरक समानांतर जुड़े हैं, इसलिए प्रेरण विभव समान होंगे।

इसलिए,

(9) $\begin{equation*} L_1 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_2}{dt} = L_2 \frac{di_2}{dt} + M \frac{di_1}{dt} \end{equation*}$

$\begin{align*} L_1 \frac{di_1}{dt} - M \frac{di_1}{dt} = L_2 \frac{di_2}{dt} - M \frac{di_2}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{di_1}{dt} (L_1 - M) = \frac{di_2}{dt} (L_2 - M) \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} \frac{di_1}{dt} = (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) \frac{di_2}{dt} \end{equation*}$

अब, समीकरण (9) को समीकरण (8) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{align*} \frac{di}{dt} = (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) \frac{di_2}{dt} + \frac{di_2}{dt} \end{align*}$

(11) $\begin{equation*} \frac{di}{dt} = (1 + \frac{L_2 - M}{L_1 - M}) + \frac{di_2}{dt} \end{equation*}$

यदि $L_e_q.$ समान्तर जोड़े गए इंडक्टरों का समतुल्य इंडक्टेंस है, तो इसमें प्रेरित विद्युत वाहक बल

(12) $\begin{equation*} e = L_e_q_. \frac{di}{dt} \end{equation*}$

यह किसी एक कोइल में प्रेरित विद्युत वाहक बल के बराबर होगा, अर्थात्,

$\begin{align*} L_e_q_. \frac{di}{dt} = L_1 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_2}{dt} \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{di}{dt} = \frac{1}{L_e_q_.} [L_1 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_2}{dt}] \end{equation*}$

समीकरण (10) से $\frac{di_1}{dt}$ का मान समीकरण (13) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$\begin{align*} \frac{di}{dt} = \frac{1}{L_e_q_.} [L_1 (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) \frac{di_2}{dt} + M \frac{di_2}{dt}] \end{align*}$

(14) $\begin{equation*} \frac{di}{dt} = \frac{1}{L_e_q_.} [L_1 (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) + M] \frac{di_2}{dt} \end{equation*}$

अब, समीकरण (11) को समीकरण (14) के बराबर रखने पर,

$\begin{align*} 1+(\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) \frac{di_2}{dt} = \frac{1}{L_e_q_.}[L_1 (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) + M]\frac{di_2}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{L_1+L_2 - 2M}{L_1 - M} = \frac{1}{L_e_q_.} [\frac{L_1L_2- L_1M+L_1M - M^2}{L_1 - M}] \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{L_1+L_2 - 2M}{L_1 - M} = \frac{1}{L_e_q_.} [\frac{L_1L_2 - M^2}{L_1 - M}] \end{align*}$

(15) $\begin{equation*} L_e_q_. = \frac{L_1L_2 - M^2}{L_1+L_2 - 2M} \end{equation*}$

उपरोक्त समीकरण दो प्रेरकों के समानांतर-सहायक या संचयी संबंध का तुल्यकालिक प्रेरकत्व देता है।

यदि दो कुंडलियों के बीच कोई पारस्परिक प्रेरकत्व नहीं है (अर्थात M = 0), तब,

$\begin{align*} L_e_q_. = \frac{L_1L_2 - (0)^2}{L_1+L_2-2(0)} = \frac{L_1L_2}{L_1+L_2} = \frac{product}{sum} \end{align*}$

समान्तर विरोध (अंतर) कनेक्शन (पारस्परिक उत्पन्न विद्युत आवेश स्व-उत्पन्न विद्युत आवेशों का विरोध करता है)

जब दो इंडक्टर समान्तर विरोध में जोड़े जाते हैं, तो पारस्परिक उत्पन्न विद्युत आवेश स्व-उत्पन्न विद्युत आवेशों का विरोध करता है।

चित्र में दिखाए गए अनुसार, दो इंडक्टर समान्तर विरोध या अंतर से जोड़े गए हैं।

समान्तर-सहायक कनेक्शन की तरह, यह सिद्ध किया जा सकता है कि,

(16) $\begin{equation*} L_e_q_. = \frac{L_1L_2 - M^2}{L_1+L_2 + 2M} \end{equation*}$

उपरोक्त समीकरण दो इंडक्टरों के समान्तर विरोध या अंतर कनेक्शन में जोड़े जाने पर समतुल्य इंडक्टेंस देता है।

यदि दो कुंडलों के बीच कोई पारस्परिक इंडक्टेंस नहीं है (यानी, M = 0), तो,

$\begin{align*} L_e_q_. = \frac{L_1L_2 - (0)^2}{L_1+L_2+2(0)} = \frac{L_1L_2}{L_1+L_2} = \frac{product}{sum} \end{align*}$

उदाहरण १

दो आवेशकों की स्व-आवेशितता ५ मिलीहेनरी और १० मिलीहेनरी है और दोनों के बीच आपसी आवेशितता ५ मिलीहेनरी है। जब वे समानांतर उपयोग में जुड़े हों, तो समतुल्य आवेशितता ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिए गए डेटा: L1 = ५ मिलीहेनरी, L2 = १० मिलीहेनरी और M = ५ मिलीहेनरी

समानांतर उपयोग के सूत्र के अनुसार,

$\begin{align*} \begin{split} & L_e_q_. = \frac{L_1 L_2 - M^2}{L_1 + L_2 - 2M}.... if \,\, fluxes \,\, aid \\ & = \frac{5 * 10 - (5)^2}{5 + 10 - 2(5)} \\ & = \frac{50 - 25}{15 - 10} \\ & = \frac{25}{5} \\ & L_e_q_. = 5\,\,mH \end{split} \end{align*}$

इस प्रकार, समीकरण का उपयोग करके, हम पाते हैं कि जब वे समानांतर उपयोग में जुड़े हों, तो समतुल्य आवेशितता ५ मिलीहेनरी होती है।

उदाहरण २

दो इंडक्टर की स्व-इंडक्टेंस 5 मिलीहेनरी और 10 मिलीहेनरी है और दोनों के बीच पारस्परिक इंडक्टेंस 5 मिलीहेनरी है। जब वे विरोधी रूप से समान्तर जोड़े जाते हैं, तो समतुल्य इंडक्टेंस ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिए गए डेटा: L1 = 5 मिलीहेनरी, L2 = 10 मिलीहेनरी और M = 5 मिलीहेनरी

समान्तर विरोधी सूत्र के अनुसार,

$\begin{align*} \begin{split} & L_e_q_. = \frac{L_1 L_2 - M^2}{L_1 + L_2 + 2M}.... if \,\, fluxes \,\, oppose \\ & = \frac{5 * 10 - (5)^2}{5 + 10 + 2(5)} \\ & = \frac{50 - 25}{15 + 10} \\ & = \frac{25}{25} \\ & L_e_q_. = 1\,\,mH \end{split} \end{align*}$

इस प्रकार, समीकरण का उपयोग करके, जब वे समान्तर विरोधी रूप से जोड़े जाते हैं, तो 1 मिलीहेनरी का समतुल्य इंडक्टेंस प्राप्त होता है।

संयोजित इंडक्टर

जब एक इंडक्टर (कुंडल) का चुंबकीय क्षेत्र दूसरे निकटवर्ती इंडक्टर के फेरों को काटता है या उनके साथ जुड़ा होता है, तो दोनों इंडक्टर चुंबकीय रूप से संयोजित कहलाते हैं। संयोजित इंडक्टर या कुंडलों के कारण, दोनों कुंडलों के बीच एक पारस्परिक इंडक्टेंस मौजूद होता है।

संयोजित परिपथों में, जब दोनों में से किसी एक परिपथ को ऊर्जा दी जाती है, तो ऊर्जा एक परिपथ से दूसरे परिपथ में स्थानांतरित होती है। दो-फेरे ट्रांसफॉर्मर, एक स्व-ट्रांसफॉर्मर, और एक आवेशन मोटर चुंबकीय रूप से संयोजित इंडक्टर या कुंडलों, या परिपथों के उदाहरण हैं।

दो चुंबकीय जोड़ेदार स्प्रिंग या कुंडल 1 और 2 को ध्यान में लें, जिनकी प्रेरणशीलता क्रमशः L1 और L2 है। मान लीजिए M दोनों कुंडलों के बीच की व्यापक प्रेरणशीलता है।

व्यापक प्रेरणशीलता का प्रभाव या तो बढ़ाना (L1 + M और L2 + M) या घटाना (L1 – M और L2 – M) दोनों कुंडलों की प्रेरणशीलता, यह दोनों कुंडलों या प्रेरकों की व्यवस्था पर निर्भर करता है।

जब दोनों कुंडल इस प्रकार व्यवस्थित होते हैं कि उनके फ्लक्स एक दूसरे को सहायता प्रदान करते हैं, तो प्रत्येक कुंडल की प्रेरणशीलता M से बढ़ जाती है, अर्थात् यह L1 + M कुंडल 1 के लिए और L2 + M कुंडल 2 के लिए होता है। इसका कारण यह है कि प्रत्येक कुंडल से जुड़ा हुआ कुल फ्लक्स उसके स्वयं के फ्लक्स से अधिक होता है।
जब दोनों कुंडल इस प्रकार व्यवस्थित होते हैं कि उनके फ्लक्स एक दूसरे को विरोध करते हैं, तो प्रत्येक कुंडल की प्रेरणशीलता M से घट जाती है, अर्थात् यह L1 – M कुंडल 1 के लिए और L2 – M कुंडल 2 के लिए होता है। इसका कारण यह है कि प्रत्येक कुंडल से जुड़ा हुआ कुल फ्लक्स उसके स्वयं के फ्लक्स से कम होता है।

व्यापक प्रेरणशीलता सूत्र

हम जानते हैं कि किसी एक कुंडल में धारा में कोई परिवर्तन हमेशा दूसरे कुंडल में व्यापक रूप से प्रेरित विद्युत आवेश के उत्पादन द्वारा संपन्न होता है।

व्यापक प्रेरणशीलता को एक कुंडल (या परिपथ) की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो एक निकटवर्ती कुंडल (या परिपथ) में व्यापक रूप से प्रेरित विद्युत आवेश का उत्पादन करता है, जब पहले कुंडल में धारा में परिवर्तन होता है।

दूसरे शब्दों में, दो कुंडलों की वह गुणधर्म है जिसके कारण प्रत्येक कुंडल दूसरे कुंडल में बहने वाली धारा के किसी परिवर्तन का विरोध करता है, जिसे दोनों कुंडलों के बीच की व्यापक प्रेरणशीलता कहा जाता है। यह विरोध इसलिए होता है क्योंकि एक कुंडल में धारा में परिवर्तन दूसरे कुंडल में व्यापक रूप से प्रेरित विद्युत आवेश का उत्पादन करता है, जो पहले कुंडल में धारा के परिवर्तन का विरोध करता है।

व्यापक प्रेरणशीलता (M) को दूसरे कुंडल में एकांक धारा पर एक कुंडल की फ्लक्स-लिंकेज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

गणितीय रूप से,

$\begin{align*} M = \frac{N_2 \phi_1_2}{I_1} \end{align*}$

जहाँ,

$I_1$ = पहले कुंडल में धारा

$\phi_1_2$ = दूसरे कुंडल से जुड़ा फ्लक्स

$N_2$ = दूसरे कुंडल में चक्रों की संख्या

दो कुंडलों के बीच पारस्परिक आवेशन 1 हेनरी होता है यदि एक कुंडल में 1 एम्पियर प्रति सेकंड की दर से बदलने वाली धारा दूसरे कुंडल में 1 V का e.m.f. उत्पन्न करती है।

कप्लिंग गुणांक

दो कुंडलों के बीच कप्लिंग गुणांक (k) को एक कुंडल में धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय फ्लक्स का उस भाग के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दूसरे कुंडल से जुड़ा होता है।

संयुक्त परिपथों के लिए संयोजन गुणांक एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है जो आवेशित रूप से जुड़े रिंगों के बीच संयोजन की मात्रा निर्धारित करता है।

गणितीय रूप से, संयोजन गुणांक को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

$\begin{align*} k = \frac{M}{\sqrt{L_1L_2}} \end{align*}$

जहाँ,

L1 पहले रिंग का स्व-आवेशन है

L2 दूसरे रिंग का स्व-आवेशन है

M दो रिंगों के बीच सामान्य आवेशन है

संयोजन गुणांक दो रिंगों के बीच सामान्य आवेशन पर निर्भर करता है। यदि संयोजन गुणांक अधिक हो तो सामान्य आवेशन भी अधिक होगा। दो आवेशित रूप से जुड़े रिंग चुम्बकीय प्रवाह का उपयोग करके जुड़े होते हैं।

जब एक रिंग का पूरा प्रवाह दूसरे रिंग को जोड़ता है, तो संयोजन गुणांक 1 (यानी 100%) होता है, तब रिंग घनिष्ठ रूप से जुड़े कहलाते हैं।
यदि एक रिंग में बनाया गया केवल आधा प्रवाह दूसरे रिंग को जोड़ता है, तो संयोजन गुणांक 0.5 (यानी 50%) होता है, तब रिंग थोड़ा जुड़े कहलाते हैं।
यदि एक रिंग का प्रवाह दूसरे रिंग को बिल्कुल नहीं जोड़ता, तो संयोजन गुणांक 0 होता है, तब रिंग एक दूसरे से चुम्बकीय रूप से अलग कहलाते हैं।

संयोजन गुणांक सदैव एक से कम होता है। यह इस्तेमाल किए गए कोर सामग्री पर निर्भर करता है। हवा कोर के लिए, दो रिंगों के बीच की दूरी पर निर्भर करते हुए संयोजन गुणांक 0.4 से 0.8 हो सकता है और लोहे या फेराइट कोर के लिए यह 0.99 तक हो सकता है।

स्रोत: Electrical4u.

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