시리즈 및 병렬 인덕터 (공식 및 예제 문제)

필드: 기본 전기학

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인덕터란 무엇인가요?

인덕터(전기 인덕터라고도 함)는 두 개의 단자를 가진 수동 전기 요소로 정의되며, 자기장 형태로 에너지를 저장합니다. 전류가 통과할 때 말이죠. 이는 코일, 조크, 또는 리액터라고도 불립니다.

인덕터는 단순히 선으로 이루어진 코일입니다. 일반적으로 전도성 소재, 보통 절연된 구리를 플라스틱이나 페로자기체 소재로 감싸서 만들어집니다. 따라서 이를 철심 인덕터라고 합니다.

인덕터는 일반적으로 1 µH (10-6 H)에서 20 H 범위에서 사용 가능합니다. 많은 인덕터는 코일 내부에 페라이트나 철로 만든 자기 코어를 가지고 있어 자기장을 증가시키고, 따라서 인덕터의 인덕턴스를 높입니다.

파라데이의 전자기 유도 법칙에 따르면, 인덕터나 코일을 통과하는 전류가 변하면 시간에 따른 변화하는 자기장이 e.m.f(전기 동력) 또는 전압을 발생시킵니다. 인덕터를 통과하는 전류의 변화율에 비례하여 인덕터에 걸리는 유도 전압 또는 e.m.f.가 생성됩니다.

인덕턴스(L)는 인덕터를 통과하는 전류의 크기나 방향의 변화를 반대하는 특성입니다. 인덕터의 인덕턴스가 클수록 자기장 형태로 전기 에너지를 저장할 수 있는 용량이 커집니다.

인덕터는 어떻게 작동하나요?

회로에서 인덕터는 그를 통과하는 전류의 변화를 저항하면서, 전류의 변화율에 비례하는 전압을 유도합니다. 인덕터가 회로에서 어떻게 작동하는지 이해하려면 아래 이미지를 참고하세요.

그림에서 보듯이, 전구, 와인딩된 선(인덕터), 그리고 스위치가 배터리에 연결되어 있습니다. 인덕터를 회로에서 제거하면, 전구는 정상적으로 켜집니다. 하지만 인덕터가 있는 경우, 회로는 완전히 다르게 작동합니다.

인덕터 또는 코일은 전구보다 훨씬 낮은저항을 가지므로, 스위치를 닫으면 대부분의 전류가 저항이 낮은 경로를 제공하는 코일을 통해 흐르게 됩니다. 따라서, 전구는 매우 어둡게 빛날 것으로 예상됩니다.

하지만 인덕터의 작동으로 인해, 스위치를 닫으면 전구가 밝게 빛나다가 점점 어두워지고, 스위치를 열면 전구가 매우 밝게 빛나다가 빠르게 꺼집니다.

이는 인덕터에 전압 또는 전위차가 가해지면, 인덕터를 통과하는 전류가 자기장을 생성하기 때문입니다. 이 자기장은 다시 렌츠 법칙에 따라 인덕터에 역방향의 유도 전류를 생성합니다.

이 자기장으로 인한 유도 전류는 전류의 증가나 감소와 같은 모든 변화를 저항하려고 합니다. 자기장이 형성되면, 전류는 정상적으로 흐를 수 있습니다.

스위치를 닫으면, 인덕터 주변의 자기장은 자기장이 붕괴될 때까지 인덕터를 통과하는 전류를 유지합니다. 이렇게 하여 스위치가 열려있더라도 일정 시간 동안 전구가 계속 빛납니다.

즉, 인덕터는 자기장 형태로 에너지를 저장하고, 이를 통과하는 전류의 변화를 저항하려고 합니다. 결과적으로, 인덕터를 통과하는 전류는 즉시 변할 수 없습니다.

인덕터 회로 기호

인덕터의 회로 기호는 아래 이미지에 표시되어 있습니다.

인덕터 방정식

인덕터를 통과하는 전압

인덕터를 통과하는 전압은 인덕터를 통과하는 전류의 변화율에 비례합니다. 수학적으로 인덕터를 통과하는 전압은 다음과 같이 표현할 수 있습니다,

$\begin{align*} v_L = L \frac{di_L}{dt} \end{align*}$

여기서, $v_L$ = 인덕터를 통과하는 순간적인 전압 (볼트),

$L$ = 인덕턴스 (헨리),

$\frac{di_L}{dt}$ = 전류의 변화율 (암페어/초)

인덕터의 전압은 인덕터의 자기장에 저장된 에너지 때문입니다.

만약 직류가 인덕터를 통과하면 $\frac{di_L}{dt}$ 는 시간에 대해 일정하므로 0이 됩니다. 따라서 인덕터의 전압도 0이 됩니다. 따라서 직류로 고려할 때, 정상 상태에서는 인덕터는 단락 회로처럼 작동합니다.

인덕터를 통과하는 전류

인덕터를 통과하는 전류를 그에 걸리는 전압으로 표현할 수 있습니다.

$\begin{align*} i_L = \frac{1}{L} \int v_L dt \end{align*}$

위의 식에서 적분의 범위는 과거의 기록이나 초기 조건을 고려하여 결정됩니다. 즉, $-\infty \,\, to \,\, t(0^-)$ .

이제 스위칭 동작이 t=0에서 발생한다고 가정하면, 즉 스위치가 t=0에서 닫힌다고 가정하면, 인덕터를 통과하는 전류의 방정식은 다음과 같습니다.

$\begin{align*} i_L = \frac{1}{L} \int v_L dt \end{align*}$

적분 구간을 두 개로 나눌 수 있습니다 $-\infty \,\, to \,\, 0$ 와 $0 \,\, to \,\,t$ . 우리는 $0^-$ 가 스위칭 동작이 발생하기 직전의 순간임을 알고 있으며 $0^+$ 는 스위칭 동작이 발생한 직후의 순간입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다

$\begin{align*} i_L = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{t} v_L dt \end{align*}$

따라서,

$\begin{align*} i_L = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{0^-} v_L dt + \frac{1}{L} \int_{0^-}^{t} v_L dt \end{align*}$

여기서 $\frac{1}{L} \int_{-\infty}^{0^-} v_L dt$ 는 과거 기간 동안의 인덕터 전류 값을 나타내며, 이는 $i_L$ 의 초기 조건을 의미합니다. 이를 $i_L(0^-)$ 로 표시하겠습니다.

$\begin{align*} i_L = i_L(0^-) + \frac{1}{L} \int_{0^-}^{t} v_L dt \end{align*}$

시간 $t=0^+$ 에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\begin{align*} i_L (0^+)= i_L(0^-) + \frac{1}{L} \int_{0^-}^{0^+} v_L dt \end{align*}$

처음에는 스위칭이 0 시간에 발생한다고 가정했습니다. 따라서 $0^-$ 에서 $0^+$ 까지의 적분은 0입니다.

따라서,

$\begin{align*} i_L(0^-) = i_L(0^+) \end{align*}$

따라서 인덕터를 통과하는 전류는 순간적으로 변할 수 없습니다. 즉, 스위칭 동작 전후의 인덕터를 통과하는 전류는 같습니다.

t=0일 때의 인덕터

인덕터는 $t = 0$ , 즉 인덕터에 전압이 스위칭되는 순간, 이상적으로는 $\infty$ 가 됩니다. 이때 시간 간격 $dt$ 가 0입니다. 따라서 스위칭 순간 인덕터는 개방 회로처럼 작동합니다. 반면 정상 상태에서는 $t = \infty$ 에서 단락 회로처럼 작동합니다.

인덕터가 스위칭 전에 초기 전류 I0를 가지고 있다면, 즉시 $t=0^+$ 에서 $I_0$ 값의 일정한 전류 소스로 작동하며, 정상 상태에서는 $t=\infty$ 에서 전류 소스를 가로지르는 단락 회로처럼 작동합니다.

직렬 및 병렬 인덕터

직렬 및 병렬 연결된 인덕터는 직렬 및 병렬 연결된 저항기와 유사하게 작동합니다. 자기 결합된 코일 1과 2가 각각 자기감응 $L_1$ 와 $L_2$ 를 가진다고 가정해봅시다. 두 코일 사이의 상호감응 M은 헨리로 나타납니다.

전기 회로에서 두 개의 인덕터는 서로 다른 방식으로 연결될 수 있으며, 이는 아래에서 설명하는 다양한 값의 동등한 인덕턴스를 제공합니다.

직렬 인덕터 공식

인덕터를 직렬로 연결하는 방법

서로 자기 결합된 두 개의 인덕터 또는 코일이 직렬로 연결된 회로를 고려해봅시다. 인덕터를 직렬로 연결하는 두 가지 가능한 방법이 있습니다.

첫 번째 방법에서는 인덕터에 의해 생성된 플럭스가 같은 방향으로 작용합니다. 그런 경우, 이러한 인덕터는 직렬 보조 또는 누적으로 연결되었다고 합니다.
두 번째 방법에서는 다른 인덕터에서 전류 방향을 반대로 하여 인덕터에 의해 생성된 플럭스가 서로 반대 방향으로 작용하면, 이러한 인덕터는 직렬 반대 또는 차동으로 연결되었다고 합니다.

인덕터 1의 자기 인덕턴스를 $L_1$ , 인덕터 2의 자기 인덕턴스를 $L_2$ 로 가정합니다. 두 인덕터는 상호 인덕턴스 M으로 결합되어 있습니다.

시리즈 도움 (누적) 연결 (상호 유도 전동력이 자기 유도 전동력을 도와줌)

두 인덕터 또는 코일은 아래 이미지에 표시된 대로 시리즈 도움 또는 누적으로 연결됩니다.

이 연결에서 두 인덕터의 자기 및 상호 플럭스가 같은 방향으로 작용하므로, 자기 및 상호 유도 전동력도 같은 방향을 가집니다.

따라서,

인덕터 1의 자기 유도 전동력, $e_s_1 = -L_1\frac{di}{dt}$
인덕터 1의 상호 유도 전동력, $e_m_1 = -M\frac{di}{dt}$
인덕터 2의 자기 유도 전동력, $e_s_2 = -L_2\frac{di}{dt}$
인덕터 1에서 상호 유도되는 전동력, $e_m_2 = -M\frac{di}{dt}$

결합된 총 유도 전동력,

$\begin{align*} e=-(L_1\frac{di}{dt}+M\frac{di}{dt}+L_2\frac{di}{dt}+M\frac{di}{dt}) \end{align*}$

(1) $\begin{equation*} e = -(L_1+L_2+2M) \frac{di}{dt} \end{equation*}$

만약 $L_eq$ 가 시리즈 보조 연결의 두 인덕터의 등가 인덕턴스라면 결합된 조합에서 유도되는 전동력은 다음과 같이 주어집니다.

(2) $\begin{equation*} e = -L_e_q_. \frac{di}{dt} \end{equation*}$

식 (1)과 (2)를 비교하면 다음과 같습니다.

(3) $\begin{equation*} L_e_q_. = L_1 + L_2 + 2M \end{equation*}$

위의 방정식은 두 개의 누적으로 또는 가산적으로 연결된 직렬 인덕터 또는 코일의 등가 인덕턴스를 나타냅니다.

두 코일 사이에 상호 인덕턴스가 없다면 (즉, M = 0),

$\begin{align*} L_e_q_. = L_1 + L_2 \end{align*}$

직렬 반대 (차동) 연결 (상호 유도 전기력이 자기 유도 전기력을 반대함)

아래 이미지에서 보이는 것처럼 두 개의 상호 결합된 인덕터 또는 코일이 직렬로 연결되어 각 인덕터가 생성하는 플럭스가 서로 반대되는 회로를 고려해보세요.

플럭스가 서로 반대되므로, 상호 유도 전기력의 부호는 자기 유도 전기력의 부호와 반대가 됩니다. 따라서,

인덕터 1의 자기 유도 전기력, $e_s_1 = -L_1\frac{di}{dt}$
인덕터 1에서 상호 유도되는 전동력, $e_m_1 = +M\frac{di}{dt}$
인덕터 2에서 자기 유도되는 전동력, $e_s_2 = -L_2\frac{di}{dt}$
인덕터 2에서 상호 유도되는 전동력, $e_m_2 = +M\frac{di}{dt}$

조합에서 유도되는 총 전동력,

$\begin{align*} e=-(L_1\frac{di}{dt}-M\frac{di}{dt}+L_2\frac{di}{dt}-M\frac{di}{dt}) \end{align*}$

(4) $\begin{equation*} e = -(L_1+L_2-2M) \frac{di}{dt} \end{equation*}$

만약 $L_e_q$ 가 시리즈 반대 연결에서 두 인덕터의 등가 인덕턴스라면 조합에서 유도되는 전동력은 다음과 같이 주어진다,

(5) $\begin{equation*} e = -L_e_q_. \frac{di}{dt} \end{equation*}$

식 (4)과 (5)를 비교하면 다음과 같습니다

(6) $\begin{equation*} L_e_q_. = L_1 + L_2 - 2 M \end{equation*}$

위 식은 두 개의 인덕터가 직렬 반대 또는 차동 연결로 연결되었을 때의 등가 인덕턴스를 나타냅니다

두 코일 사이에 상호 인덕턴스가 없을 경우 (즉, M = 0),

$\begin{align*} L_e_q_. = L_1 + L_2 \end{align*}$

예제 1

두 코일의 자기 인덕턴스가 각각 10 mH와 15 mH이며 두 코일 사이의 상호 인덕턴스는 10 mH입니다. 이들이 직렬 보조로 연결되었을 때의 등가 인덕턴스를 구하십시오

해결책:

주어진 데이터: L1 = 10 mH, L2 = 15 mH 및 M = 10 mH

시리즈 보조 공식에 따르면,

$\begin{align*} \begin{split} & L_e_q_. = L_1 + L_2 + 2M \\ & = 10 + 15 + 2(10) \\ & = 10 + 15 + 20 \\ & L_e_q_. = 45\,\,mH \end{split} \end{align*}$

따라서 이 방정식을 사용하여 시리즈 보조로 연결되었을 때 동등한 인덕턴스는 45 mH임을 알 수 있습니다.

예제 2

두 코일의 자기 인덕턴스가 각각 10 mH와 15 mH이며 두 코일 사이의 상호 인덕턴스는 10 mH입니다. 이들이 시리즈 반대 방향으로 연결되었을 때의 동등한 인덕턴스를 찾으세요.

해결책:

주어진 데이터: L1 = 10 mH, L2 = 15 mH 및 M = 10 mH

시리즈 반대 방향 공식에 따르면,

$\begin{align*} \begin{split} & L_e_q_. = L_1 + L_2 - 2M \\ & = 10 + 15 - 2(10) \\ & = 10 + 15 - 20 \\ & = 25 - 20 \\ & L_e_q_. = 5\,\,mH \end{split} \end{align*}$

따라서, 이 방정식을 사용하면 직렬로 반대 방향으로 연결될 때 동등한 인덕턴스는 5 mH가 됩니다.

병렬 인덕터 공식

인덕터를 병렬로 연결하는 방법

두 개의 인덕터는 다음과 같이 병렬로 연결할 수 있습니다

상호 유도 전기동력이 자기 유도 전기동력을 도와주는 경우 즉, 병렬 지원 연결
상호 유도 전기동력이 자기 유도 전기동력을 방해하는 경우 즉, 병렬 반대 연결

병렬 지원 (누적) 연결(상호 유도 전기동력이 자기 유도 전기동력을 도와주는 경우)

두 개의 인덕터가 병렬 지원으로 연결되면 다음 그림에서 보듯이 상호 유도 전기동력이 자기 유도 전기동력을 도와줍니다.

L₁과 L₂ 인덕터를 통해 흐르는 전류를 각각 i₁과 i₂라고 하고, 전체 전류를 I라고 하면

따라서,

(7) $\begin{equation*} i = i_1 + i_2 \end{equation*}$

따라서,

(8) $\begin{equation*} \frac{di}{dt} = \frac{di_1}{dt} + \frac{di_2}{dt} \end{equation*}$

각 인덕터에는 두 가지의 기전력(EMF)이 유도된다. 하나는 자기 유도에 의한 것이고, 다른 하나는 상호 유도에 의한 것이다.

인덕터들이 병렬로 연결되어 있으므로, 기전력들은 서로 같다.

따라서,

(9) $\begin{equation*} L_1 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_2}{dt} = L_2 \frac{di_2}{dt} + M \frac{di_1}{dt} \end{equation*}$

$\begin{align*} L_1 \frac{di_1}{dt} - M \frac{di_1}{dt} = L_2 \frac{di_2}{dt} - M \frac{di_2}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{di_1}{dt} (L_1 - M) = \frac{di_2}{dt} (L_2 - M) \end{align*}$

(10) $\begin{equation*} \frac{di_1}{dt} = (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) \frac{di_2}{dt} \end{equation*}$

이제, 식 (9)을 식 (8)에 대입하면 다음과 같이 얻습니다.

$\begin{align*} \frac{di}{dt} = (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) \frac{di_2}{dt} + \frac{di_2}{dt} \end{align*}$

(11) $\begin{equation*} \frac{di}{dt} = (1 + \frac{L_2 - M}{L_1 - M}) + \frac{di_2}{dt} \end{equation*}$

만약 $L_e_q.$ 가 병렬 연결된 인덕터의 등가 인덕턴스라면, 그것에 유도되는 전동력은 다음과 같다

(12) $\begin{equation*} e = L_e_q_. \frac{di}{dt} \end{equation*}$

이는 어떤 하나의 코일에서 유도되는 전동력과 동일하다 즉,

$\begin{align*} L_e_q_. \frac{di}{dt} = L_1 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_2}{dt} \end{align*}$

(13) $\begin{equation*} \frac{di}{dt} = \frac{1}{L_e_q_.} [L_1 \frac{di_1}{dt} + M \frac{di_2}{dt}] \end{equation*}$

식 (10)에서 $\frac{di_1}{dt}$ 의 값을 식 (13)에 대입하면 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

$\begin{align*} \frac{di}{dt} = \frac{1}{L_e_q_.} [L_1 (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) \frac{di_2}{dt} + M \frac{di_2}{dt}] \end{align*}$

(14) $\begin{equation*} \frac{di}{dt} = \frac{1}{L_e_q_.} [L_1 (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) + M] \frac{di_2}{dt} \end{equation*}$

이제, 식 (11)과 식 (14)를 같게 합니다.

$\begin{align*} 1+(\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) \frac{di_2}{dt} = \frac{1}{L_e_q_.}[L_1 (\frac{L_2 - M}{L_1 - M}) + M]\frac{di_2}{dt} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{L_1+L_2 - 2M}{L_1 - M} = \frac{1}{L_e_q_.} [\frac{L_1L_2- L_1M+L_1M - M^2}{L_1 - M}] \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{L_1+L_2 - 2M}{L_1 - M} = \frac{1}{L_e_q_.} [\frac{L_1L_2 - M^2}{L_1 - M}] \end{align*}$

(15) $\begin{equation*} L_e_q_. = \frac{L_1L_2 - M^2}{L_1+L_2 - 2M} \end{equation*}$

위의 방정식은 두 개의 인덕터가 병렬 보조 또는 누적 연결로 연결될 때의 등가 인덕턴스를 제공합니다.

두 코일 사이에 상호 인덕턴스가 없을 경우 (즉, M = 0),

$\begin{align*} L_e_q_. = \frac{L_1L_2 - (0)^2}{L_1+L_2-2(0)} = \frac{L_1L_2}{L_1+L_2} = \frac{product}{sum} \end{align*}$

병렬 반대 연결 (차동 연결) (상호 유도 전기력이 자기 유도 전기력을 반대함)

두 개의 인덕터가 병렬 반대로 연결될 때 상호 유도 전기력이 자기 유도 전기력을 반대합니다.

아래 이미지에서 보듯이 두 개의 인덕터가 병렬 반대 또는 차동으로 연결되어 있습니다.

평행 도움 연결과 비슷하게 증명할 수 있는 바,

(16) $\begin{equation*} L_e_q_. = \frac{L_1L_2 - M^2}{L_1+L_2 + 2M} \end{equation*}$

위 식은 두 개의 인덕터가 병렬 반대 또는 차동 연결로 연결되었을 때의 등가 인덕턴스를 나타냅니다.

두 코일 사이에 상호 유도가 없을 경우 (즉, M = 0), 다음과 같습니다.

$\begin{align*} L_e_q_. = \frac{L_1L_2 - (0)^2}{L_1+L_2+2(0)} = \frac{L_1L_2}{L_1+L_2} = \frac{product}{sum} \end{align*}$

예제 1

두 개의 인덕터가 각각 5 mH와 10 mH의 자기인덕턴스를 가지고 있으며, 두 인덕터 사이의 상호인덕턴스는 5 mH입니다. 이들이 병렬로 연결되어 도움을 주는 경우의 동등한 인덕턴스를 구하십시오.

해결:

주어진 데이터: L1 = 5 mH, L2 = 10 mH, M = 5 mH

병렬 도움 공식에 따르면,

$\begin{align*} \begin{split} & L_e_q_. = \frac{L_1 L_2 - M^2}{L_1 + L_2 - 2M}.... if \,\, fluxes \,\, aid \\ & = \frac{5 * 10 - (5)^2}{5 + 10 - 2(5)} \\ & = \frac{50 - 25}{15 - 10} \\ & = \frac{25}{5} \\ & L_e_q_. = 5\,\,mH \end{split} \end{align*}$

따라서, 방정식을 사용하여 병렬로 연결되어 도움을 주는 경우 동등한 인덕턴스가 5 mH임을 얻습니다.

예제 2

두 개의 인덕터가 자기 유도율이 각각 5 mH와 10 mH이며, 두 인덕터 사이의 상호 유도율은 5 mH입니다. 이들이 반대 방향으로 병렬 연결되었을 때의 등가 유도율을 구하십시오.

해결책:

주어진 데이터: L1 = 5 mH, L2 = 10 mH 및 M = 5 mH

반대 방향으로 병렬 연결된 공식에 따르면,

$\begin{align*} \begin{split} & L_e_q_. = \frac{L_1 L_2 - M^2}{L_1 + L_2 + 2M}.... if \,\, fluxes \,\, oppose \\ & = \frac{5 * 10 - (5)^2}{5 + 10 + 2(5)} \\ & = \frac{50 - 25}{15 + 10} \\ & = \frac{25}{25} \\ & L_e_q_. = 1\,\,mH \end{split} \end{align*}$

따라서, 이 방정식을 사용하여 반대 방향으로 병렬 연결되었을 때의 등가 유도율은 1 mH임을 알 수 있습니다.

결합 인덕터

한 인덕터(코일)의 자기장이 다른 인접한 인덕터의 회전수를 절단하거나 연결할 때, 두 인덕터는 자기적으로 결합되었다고 말합니다. 결합된 인덕터 또는 코일들 사이에는 상호 유도율이 존재합니다.

결합된 회로에서, 한 회로가 에너지화되면 에너지 전달이 다른 회로로 이루어집니다. 두 개의 와인딩 트랜스포머, 오토포머, 그리고 유도 모터는 자기적으로 결합된 인덕터 또는 코일, 또는 회로의 예입니다.

자기 결합된 인덕터 또는 코일 1과 2가 각각 L1 및 L2의 인덕턴스를 가진다고 가정합니다. M을 두 코일 간의 상호 유도율로 둡니다.

상호 유도율의 효과는 (L1 + M 및 L2 + M) 증가시키거나 (L1 – M 및 L2 – M) 감소시키는 것입니다. 이는 두 코일 또는 인덕터의 배열에 따라 달라집니다.

두 코일이 서로의 플럭스가 도움을 주는 방식으로 배열되어 있다면, 각 코일의 인덕턴스는 M만큼 증가합니다. 즉, 코일 1은 L1 + M, 코일 2는 L2 + M이 됩니다. 이는 각 코일에 연결된 전체 플럭스가 그 자체 플럭스보다 크기 때문입니다.
두 코일이 서로의 플럭스가 반대되는 방식으로 배열되어 있다면, 각 코일의 인덕턴스는 M만큼 감소합니다. 즉, 코일 1은 L1 – M, 코일 2는 L2 – M이 됩니다. 이는 각 코일에 연결된 전체 플럭스가 그 자체 플럭스보다 작기 때문입니다.