Zylindrischer Kondensator
Kapazität eines zylindrischen Starkstromkabels
Starkstromkabel ist ein sehr gutes Beispiel für einen zylindrischen Kondensator. In einem Starkstromkabel gibt es einen Leiter im Zentrum, umgeben von einer Isolierschicht. Die äußere Oberfläche des Kabels ist in der Regel mit einer metallischen Hülle bedeckt, die geerdet ist.
Nehmen wir an, dass zu jedem Zeitpunkt aufgrund des Stromes im Leiter die Ladung des Kabels Q Coulomb pro Meter beträgt. Der Radius des Leiters und der äußere Radius des Kabels sind r1 und r2 jeweils.
Um nun die Kapazität dieses zylindrischen Kondensators zu berechnen, betrachten wir einen imaginären konzentrischen Zylinder mit dem Radius x Meter. Dabei gilt:
Die Oberfläche eines 1m langen solchen imaginären Zylinders beträgt dann:
Gemäß Definition beträgt die Flussdichte auf dieser Fläche:
Gemäß Definition beträgt die elektrische Feldstärke an jedem Punkt dieser imaginären Fläche:
Die elektrische Feldstärke ist definiert als das Verhältnis der inkrementellen Änderung der Spannung zur inkrementellen Änderung der Entfernung.
Nun integrieren wir beide Seiten von r1 bis r2 und erhalten:
Dabei ist die Oberflächenspannung des Leiters mit dem Radius r1 m V1 Volt und die Oberflächenspannung der äußeren Oberfläche des Kabels mit dem Radius r2 m V2 Volt.
Wenn die äußere Oberfläche geerdet ist, dann:
Nun ist die Kapazität des Kabels pro Längeneinheit, also pro Meter, gegeben durch:
Dies ist der Ausdruck für die Kapazität pro Längeneinheit, also pro Meter, des Kabels.
Daher beträgt die Kapazität eines L-Meter-Kabels:
