ABCD-Parameter der Übertragungsleitung (Theorie & Beispiele)
Was sind ABCD-Parameter?
ABCD-Parameter (auch bekannt als Kette oder Leitungsparameter) sind verallgemeinerte Schaltkreiskonstanten, die zur Modellierung von Übertragungsleitungen verwendet werden. Genauer gesagt werden ABCD-Parameter in der Zweiportnetzwerk-Darstellung einer Übertragungsleitung eingesetzt. Der Schaltkreis eines solchen Zweiportnetzwerks ist unten dargestellt:
Ein großer Teil der Energiesystemtechnik befasst sich mit der Übertragung von elektrischer Energie von einem Ort (z.B. Erzeugungsanlage) zu einem anderen (z.B. Umspannwerken oder Wohnhäusern) mit maximaler Effizienz.
Es ist daher wichtig, dass Energiesystem-Ingenieure die mathematische Modellierung dieser Energieübertragung gründlich durchführen. ABCD-Parameter und ein Zweiportmodell werden verwendet, um diese komplexen Berechnungen zu vereinfachen.
Um die Genauigkeit dieses mathematischen Modells aufrechtzuerhalten, werden Übertragungsleitungen in drei Arten unterteilt: kurze Übertragungsleitungen, mittelgroße Übertragungsleitungen und lange Übertragungsleitungen.
Die Formeln für diese ABCD-Parameter ändern sich je nach Länge der Übertragungsleitung. Dies ist notwendig, da bestimmte elektrische Phänomene – wie Koronaentladung und der Ferranti-Effekt – nur bei langen Übertragungsleitungen eine Rolle spielen.
ABCD-Parameter eines Zweiportnetzwerks
Wie der Name schon sagt, besteht ein Zweiportnetzwerk aus einem Eingangsport PQ und einem Ausgangsport RS. In jedem 4-Pol-Netzwerk (d.h. lineares, passives, bilaterales Netzwerk) kann die Eingangsspannung und der Eingangsstrom in Abhängigkeit von der Ausgangsspannung und dem Ausgangsstrom ausgedrückt werden. Jeder Port hat zwei Anschlüsse, um sich an den externen Schaltkreis anzuschließen. Es handelt sich also im Wesentlichen um ein 2-Port- oder 4-Pol-Schaltkreis, der folgende Elemente hat:
Gegeben am Eingangsport PQ.
Gegeben am Ausgangsport RS.
Die ABCD-Parameter der Übertragungsleitung stellen den Zusammenhang zwischen den Spannungen und Strömen am Versorgungs- und Empfangsende her, wobei die Schaltungselemente als linear angenommen werden.
Der Zusammenhang zwischen den Spezifikationen am Versendungs- und Empfangsende wird durch die folgenden Gleichungen mithilfe der ABCD-Parameter dargestellt.
Um die ABCD-Parameter der Übertragungsleitung zu bestimmen, legen wir die erforderlichen Schaltbedingungen in verschiedenen Fällen fest.
ABCD-Parameter, wenn das Empfangsende offen geschaltet ist
Das Empfangsende ist offen geschaltet, was bedeutet, dass der Strom am Empfangsende IR = 0.
Diese Bedingung angewendet auf Gleichung (1) ergibt:
Daraus folgt, dass bei Anwendung der Offen-Schalt-Bedingung auf die ABCD-Parameter, Parameter A als Verhältnis der Spannung am Versendungs- zum Offen-Spannung am Empfangsende erhalten wird. Da A dimensionsmäßig ein Verhältnis von Spannung zu Spannung ist, ist A dimensionslos.
Wird dieselbe Offen-Schalt-Bedingung, also IR = 0, auf Gleichung (2) angewendet, ergibt sich
Daraus folgt, dass bei Anwendung der Offen-Schalt-Bedingung auf die ABCD-Parameter der Übertragungsleitung, Parameter C als Verhältnis des Strömes am Versendungs- zur Offen-Spannung am Empfangsende erhalten wird. Da C dimensionsmäßig ein Verhältnis von Strom zu Spannung ist, hat es die Einheit Mho.
C ist also die Offen-Leitfähigkeit und wird gegeben durch
C = IS ⁄ VR Mho.
ABCD-Parameter, wenn das Empfangsende kurzgeschlossen ist
Das Empfangsende ist kurzgeschlossen, was bedeutet, dass die Spannung am Empfangsende VR = 0
Diese Bedingung angewendet auf Gleichung (1) ergibt:
Daraus folgt, dass bei Anwendung der Kurzschluß-Bedingung auf die ABCD-Parameter, Parameter B als Verhältnis der Spannung am Versendungs- zum Kurzschluß-Strom am Empfangsende erhalten wird. Da B dimensionsmäßig ein Verhältnis von Spannung zu Strom ist, hat es die Einheit Ω. B ist also der Kurzschluß-Widerstand und wird gegeben durch
B = VS ⁄ IR Ω.
Wird dieselbe Kurzschluß-Bedingung, also VR = 0, auf Gleichung (2) angewendet, ergibt sich
Daraus folgt, dass bei Anwendung der Kurzschluß-Bedingung auf die ABCD-Parameter, Parameter D als Verhältnis des Strömes am Versendungs- zum Kurzschluß-Strom am Empfangsende erhalten wird. Da D dimensionsmäßig ein Verhältnis von Strom zu Strom ist, ist es dimensionslos.
∴ Die ABCD-Parameter der Übertragungsleitung können in der folgenden Tabelle zusammengefasst werden:
