Паралельний RLC контур: що це?

Розглянемо RLC-кілце, в якому резистор, індуктор та конденсатор підключені паралельно один до одного. Цей паралельний з'єднання живлено напругою, VS. Це паралельне RLC-кілце є точним протилежністю до серійного RLC-кільця.

У серійному RLC-кільці, струм, що проходить через всі три компоненти, тобто резистор, індуктор та конденсатор, залишається однаковим, але у паралельному кільці, напруга на кожному елементі залишається однаковою, а струм розподіляється між кожним компонентом залежно від імпедансу кожного компонента. Саме тому паралельне RLC-кілце називається дуальним до серійного RLC-кільця.

Загальний струм, IS, отриманий з живлення, дорівнює векторній сумі опорного, індуктивного та ємностивого струму, а не математичній сумі трьох окремих гілок струму, оскільки струми, що проходять через резистор, індуктор та конденсатор, не знаходяться в одному фазі; тому їх не можна додавати арифметично.

Застосуймо закон Кірхгофа для струму, який стверджує, що сума струмів, що входять у вузол або точку, дорівнює сумі струмів, що виходять з цього вузла, отримуємо,

Фазорова діаграма паралельного RLC-кільця

Нехай V — напруга живлення.
IS — загальний струм джерела.
IR — струм, що проходить через резистор.
IC — струм, що проходить через конденсатор.
IL — струм, що проходить через індуктор.
θ — різниця фазового кута між напругою живлення та струмом.

Для побудови фазорової діаграми паралельного RLC-кільця, напруга береться як відлік, оскільки напруга на кожному елементі залишається однаковою, а всі інші струми, тобто IR, IC, IL, малюються відносно цього вектора напруги. Ми знаємо, що у випадку резистора, напруга і струм знаходяться в одному фазі; тому малюємо вектор струму IR в одному фазі та напрямку з напругою. У випадку конденсатора, струм опережає напругу на 90o, тому малюємо вектор IC, що опережає вектор напруги V на 90o. Для індуктора, вектор струму IL запізнюється від напруги на 90o, тому малюємо IL, що запізнюється від вектора напруги V на 90o. Тепер малюємо результат IR, IC, IL, тобто струм IS при фазовій різниці θ відносно вектора напруги V.

Спростивши фазорову діаграму, отримуємо спрощену фазорову діаграму справа. На цій фазоровій діаграмі можна легко застосувати теорему Піфагора, і отримуємо,

Імпеданс паралельного RLC-кільця

З фазорової діаграми паралельного RLC-кільця отримуємо,

Підставляючи значення IR, IC, IL у вищенаведене рівняння, отримуємо,

Спростивши,

Як показано вище в рівнянні імпедансу, Z паралельного RLC-кільця, кожен елемент має обернений імпеданс (1/Z) тобто адмітанція, Y. Для вирішення паралельного RLC-кільця зручніше знайти адмітанцію кожного гілки, а загальна адмітанція кільця може бути знайдена просто додаванням адмітанції кожного гілки.

Трикутник адмітанції паралельного RLC-кільця

У серійному RLC-кільці враховується імпеданс, але, як зазначено вступі про паралельне RLC-кільце, воно є точним протилежністю до серійного RLC-кільця; тому у паралельному RLC-кільці ми будемо враховувати адмітанцію. Імпеданс Z має два компоненти: опір, R та реактивний опір, X. Аналогічно, адмітанція також має два компоненти, такі як провідність, G (обернений опір, R) та сусцептанція, B (обернений реактивний опір, X). Тому трикутник адмітанції паралельного RLC-кільця повніст