Sík és nem-sík körök: Analízis és alkalmazások

Egy síkbeli áramkör olyan áramkör, amelyet egy síkon rajzolhatunk úgy, hogy nincs két vezeték, ami áthalad egymáson.

Egy nem-síkbeli áramkör olyan áramkör, amelyet nem rajzolhatunk egy síkon anélkül, hogy a vezetékek áthaladják egymást. A síkbeli és nem-síkbeli áramköreinek különböző tulajdonságai és elemzési módszerei vannak. Ebben a cikkben elmagyarázzuk, mi a síkbeli és nem-síkbeli áramkörök, hogyan elemzhetjük őket gráfelmélettel és hurok áram módszerrel, valamint milyen alkalmazások vannak ezeknek az áramköreknek az elektrotechnikában.

Mi a gráfelmélet?

A gráfelmélet a matematika egy ága, amely a gráfok tulajdonságait és kapcsolatait tanulmányozza. Egy gráf csúcsok (vagy pontok) és élek (vagy ágak) gyűjteménye, amelyek a csúcsokat összekötik. A gráfok számos jelenséget modellezhetnek a természettudományokban, a mérnöki tudományokban és a társadalomtudományokban.

A gráfelmélet egyik alkalmazása az elektrikus áramköreinek reprezentálása. Egy áramkör minden eleme (például egy ellenállás, egy kondenzátor vagy egy feszültség forrás) egy gráfban egy él formájában jelenhet meg. Egy gráf minden csúcsa egy csomópontot vagy terminált egy áramkörben képviselhet. Az áram iránya az áramkörben nyilakkal jelölhető minden élön. Ez a típusú gráf irányított gráfnak nevezik.

Mi a síkbeli áramkör?

Egy síkbeli áramkör olyan áramkör, amelyet egy síkon rajzolhatunk anélkül, hogy a vezetékek áthaladják egymást. Ekvivalensen, egy síkbeli áramkör olyan áramkör, amely irányított gráfja beágyazható egy síkra anélkül, hogy bármely él áthaladjon egymás felett. A síkbeli áramkörnek néhány előnye van a nem-síkbeli áramkörökkel szemben, mint például:

• Könnyebb vizualizálni és rajzolni.

• Kevesebb hurka és csúcsa van, mint egy ugyanolyan elemekből álló nem-síkbeli áramkörnek.

• Elemzhető a hurokanalízis vagy a csomópontanalízis segítségével, amelyek Kirchhoff törvényeire alapulnak.

Mi a nem-síkbeli áramkör?

Egy nem-síkbeli áramkör olyan áramkör, amelyet nem rajzolhatunk egy síkon anélkül, hogy a vezetékek áthaladják egymást.

Egyenértékűen, egy nem-síkbeli áramkör olyan áramkör, amely irányított gráfja nem ágyazható be egy síkra anélkül, hogy bármely él áthaladjon egymás felett. A nem-síkbeli áramkörnek néhány hátránya van a síkbeli áramkörökkel szemben, mint például:

• Nehézebb vizualizálni és rajzolni.

• Több hurka és csúcsa van, mint egy ugyanolyan elemekből álló síkbeli áramkörnek.

• Nem elemzhető hurokanalízis vagy csomópontanalízis segítségével, amelyek csak a síkbeli áramköreire alkalmazhatók.

Hogyan elemzhetjük a síkbeli és nem-síkbeli áramköroket?

A síkbeli és nem-síkbeli áramköreinek elemzéséhez használhatjuk a hurokáram módszerét, amely Kirchhoff feszültség törvényére (KVL) alapul. A hurokáram módszer a következő lépésekből áll:

1. Azonosítsuk az áramkör összes hurkát. Egy hurkának bármilyen zárt út lehet, amely más zárt utat nem tartalmaz magában. Egy hurkot meshnek (mesh: olyan hurkot, amely nem tartalmaz más elemet, csak a határán lévőket) vagy super meshnek (super mesh: olyan hurkot, amely egy vagy több mesh-et tartalmaz) is nevezünk.

2. Rendeljünk hurokáramokat minden hurkhoz. A hurokáram egy képzelmi áram, amely a hurkot körülömleni. A hurokáram irányát tetszőlegesen választhatjuk, de konzisztensnek kell lennie az elemzés során.

3. Írjunk KVL egyenleteket minden hurkhoz. Egy KVL egyenlet szerint a zárt hurkot körülömlő feszültségek algebrai összege nulla. Az elem által felvett feszültség függ az elem típusától és polaritásától, valamint a hurokáram irányától az elemáram viszonylatában.

4. Oldjuk meg az egyenletrendszert az ismeretlen hurokáramok meghatározásához. Ez különböző módszerekkel tehető meg, például helyettesítéssel, kiküszöböléssel, mátrixinvertálással vagy Cramer-szabállyal.

5. Határozzuk meg az elemáramokat és feszültségeket a hurokáramok segítségével. Az elemáram egyenlő a hurokáramok összegével vagy különbségével, attól függően, hogy milyen irányban haladnak. Az elem feszültségét az Ohm törvénye vagy más relációk segítségével különböző típusú elemek esetén található meg.

Hogyan azonosíthatók a síkbeli és nem-síkbeli áramkörek?

Az áramkörök síkbeli vagy nem-síkbeli voltának azonosításához a következő kritériumokat használhatjuk:

• Ha az áramkört úgy ábrázolhatjuk, hogy a vezetékek nem áthaladják egymást, akkor síkbeli.

• Ha az áramkört nem ábrázolhatjuk úgy, hogy a vezetékek nem áthaladják egymást, akkor nem-síkbeli.

  

Néha egy áramkör első látásra nem-síkbeli, de átrendezéssel síkbeli áramkörként ábrázolható. Például vegyük a következő áramkört.