Płaskie i niepłaskie obwody: analiza i zastosowania
Planarny obwód to obwód, który można narysować na płaskiej powierzchni bez przecinania się żadnych przewodów.
Nieplanarny obwód to obwód, który nie można narysować na płaskiej powierzchni bez przecinania się przewodów. Planarne i nieplanarne obwody mają różne właściwości i metody analizy. W tym artykule wyjaśnimy, czym są planarne i nieplanarne obwody, jak je analizować za pomocą teorii grafów i metody pętli prądowej oraz jakie są niektóre zastosowania tych obwodów w inżynierii elektrycznej.
Co to jest teoria grafów?
Teoria grafów to dział matematyki, który bada właściwości i relacje grafów. Graf to zbiór węzłów (również nazywanych wierzchołkami) i krawędzi (również nazywanych gałęziami), które łączą węzły. Grafy mogą być używane do modelowania wielu zjawisk w naukach, inżynierii i naukach społecznych.
Jednym z zastosowań teorii grafów jest reprezentacja obwodów elektrycznych. Każdy element w obwodzie (taki jak rezystor, kondensator lub źródło napięcia) może być reprezentowany przez krawędź w grafie. Każdy węzeł w grafie może reprezentować punkt styku lub terminal w obwodzie. Kierunek przepływu prądu w obwodzie można wskazać strzałką na każdej krawędzi. Ten typ grafu nazywany jest grafem skierowanym.
Czym jest planarny obwód?
Planarny obwód to obwód, który można narysować na płaskiej powierzchni bez przecinania się przewodów. Równoważnie, planarny obwód to obwód, którego graf skierowany można osadzić na płaszczyźnie bez przecinania się krawędzi. Planarny obwód ma pewne zalety nad nieplanarnym obwodem, takie jak:
Łatwiej go wizualizować i rysować.
Ma mniej pętli i węzłów niż nieplanarny obwód z taką samą liczbą elementów.
Może być analizowany za pomocą analizy siatek lub analizy węzłowej, które są systematycznymi metodami opartymi na prawach Kirchhoffa.
Czym jest nieplanarny obwód?
Nieplanarny obwód to obwód, który nie można narysować na płaskiej powierzchni bez przecinania się przewodów.
Równoważnie, nieplanarny obwód to obwód, którego graf skierowany nie można osadzić na płaszczyźnie bez przecinania się krawędzi. Nieplanarny obwód ma pewne wady w porównaniu z planarnym obwodem, takie jak:
Trudniej go wizualizować i rysować.
Ma więcej pętli i węzłów niż planarny obwód z taką samą liczbą elementów.
Nie można go analizować za pomocą analizy siatek lub analizy węzłowej, które są stosowane tylko do planarnych obwodów.
Jak analizować planarne i nieplanarne obwody?
Aby analizować planarne i nieplanarne obwody, możemy użyć metody prądów pętlowych, która opiera się na prawie Kirchhoffa dla napięć (KVL). Metoda prądów pętlowych obejmuje następujące kroki:
Zidentyfikuj wszystkie pętle w obwodzie. Pętlą jest dowolna zamknięta ścieżka, która nie zawiera w sobie innej zamkniętej ścieżki. Pętla może być siatką (pętlą, która nie zawiera innych elementów poza tymi na jej granicy) lub super-siatką (pętlą, która zawiera jedno lub więcej siatek w swoim wnętrzu).
Przypisz prądy pętlowe do każdej pętli. Prąd pętlowy to urojony prąd, który płynie wokół pętli w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnym. Kierunek prądu pętlowego może być wybrany arbitralnie, ale musi być spójny podczas analizy.
Napisz równania KVL dla każdej pętli. Równanie KVL stwierdza, że algebraiczna suma napięć wokół dowolnej zamkniętej pętli wynosi zero. Napięcie na elemencie zależy od jego typu i polaryzacji, a także od kierunku prądu pętlowego względem prądu elementu.
Rozwiąż układ równań dla nieznanych prądów pętlowych. Można to zrobić za pomocą różnych metod, takich jak podstawianie, eliminacja, odwracanie macierzy lub reguła Cramera.
Znajdź prądy i napięcia elementów, korzystając z prądów pętlowych. Prąd elementu jest równy sumie lub różnicy prądów pętlowych przechodzących przez niego, w zależności od ich kierunków. Napięcie elementu można znaleźć, korzystając z prawa Ohma lub innych relacji dla różnych typów elementów.
Jak rozpoznać planarne i nieplanarne obwody?
Aby rozpoznać, czy obwód jest planarny czy nieplanarny, możemy użyć następujących kryteriów:
Jeśli obwód można narysować bez przecinania się przewodów, to jest on planarny.
Jeśli obwód nie można narysować bez przecinania się przewodów, to jest on nieplanarny.
Czasami obwód może wyglądać na nieplanarny na pierwszy rzut oka, ale można go narysować jako planarny, poprzez przeniesienie niektórych elementów lub węzłów. Na przykład, rozważmy poniższy obwód.
Ten obwód wygląda na nieplanarny, ponieważ dwa rezystory przecinają się.
