Планински и непланински вериги: Анализ и приложения
Планарната верига е верига, която може да бъде начертана на плоска повърхност без пресичане на жиците.
Непланарна верига е верига, която не може да бъде начертана на плоска повърхност без пресичане на жиците. Планарни и непланарни вериги имат различни свойства и методи за анализ. В тази статия ще обясним какви са планарните и непланарните вериги, как да ги анализираме използвайки теорията на графите и метода на цикличен ток, както и някои приложения на тези вериги в електротехниката.
Какво е теорията на графите?
Теорията на графите е разклонение на математиката, което изучава свойствата и взаимодействията на графи. Граф е съвкупност от върхове (или узли) и ръбове (или връзки), които свързват върховете. Графи могат да се използват за моделиране на много феномени в науката, инженерството и социалните науки.
Едно от приложението на теорията на графите е представянето на електрически вериги. Всяка компонента в веригата (като резистор, кондензатор или източник на напрежение) може да бъде представена като ръб в граф. Всеки връх в графа може да представлява точка на разклонение или терминал в веригата. Посоката на тока в веригата може да бъде указана със стрелка на всеки ръб. Този тип граф се нарича ориентиран граф.
Какво е планарна верига?
Планарна верига е верига, която може да бъде начертана на плоска повърхност без пресичане на жиците. Еквивалентно, планарна верига е верига, чийто ориентиран граф може да бъде вграден в равнина без пресичане на ръбовете. Планарната верига има някои предимства пред непланарната верига, такива като:
По-лесно се визуализира и чертае.
Има по-малко цикли и върхове от непланарната верига със същия брой елементи.
Може да бъде анализирана използвайки анализ на мрежи или узлов анализ, които са систематични методи, основани на законите на Кирхоф.
Какво е непланарна верига?
Непланарна верига е верига, която не може да бъде начертана на плоска повърхност без пресичане на жиците.
Еквивалентно, непланарна верига е верига, чийто ориентиран граф не може да бъде вграден в равнина без пресичане на ръбовете. Непланарната верига има някои недостатъци пред планарната верига, такива като:
По-трудно се визуализира и чертае.
Има повече цикли и върхове от планарната верига със същия брой елементи.
Не може да бъде анализирана използвайки анализ на мрежи или узлов анализ, които са приложими само за планарни вериги.
Как да анализираме планарни и непланарни вериги?
За анализ на планарни и непланарни вериги можем да използваме метода на цикличен ток, който е основан на закона за напрежението на Кирхоф (KVL). Методът на цикличен ток включва следните стъпки:
Идентифицирайте всички цикли в веригата. Цикъл е всяка затворена пътека, която не съдържа друга затворена пътека във вътрешността си. Цикъл може да бъде или мрежа (цикл, който не съдържа други елементи освен тези на границата му) или супер мрежа (цикл, който съдържа една или повече мрежи във вътрешността си).
Присвойте цикличен ток на всеки цикъл. Цикличният ток е въображаем ток, който протича около цикъла в часовников или противочасовников смисъл. Смисълът на цикличния ток може да бъде избран произволно, но трябва да бъде последователен през целия анализ.
Запишете уравненията на KVL за всеки цикъл. Уравнението на KVL гласи, че алгебричната сума на напреженията около всеки затворен цикъл е нула. Напрежението върху един елемент зависи от неговия тип и полярност, както и от смисъла на цикличния ток спрямо тока на елемента.
Решете системата от уравнения за неизвестните циклични токове. Това може да се направи използвайки различни методи, като подстановка, елиминиране, матрично инвертиране или правило на Крамер.
Намерете токовете и напреженията на елементите, използвайки цикличните токове. Токът на елемента е равен на сумата или разликата на цикличните токове, които минават през него, в зависимост от техните смисли. Напрежението на елемента може да бъде намерено използвайки закона на Ом или други отношения за различни видове елементи.
Как да идентифицираме планарни и непланарни вериги?
За идентификация дали верига е планарна или непланарна, можем да използваме следните критерии:
Ако веригата може да бъде преначертана без пресичане на жиците, то тя е планарна.
Ако веригата не може да бъде преначертана без пресичане на жиците, то тя е непланарна.
Понякога, веригата може да изглежда непланарна на първи поглед, но може да бъде преначертана като планарна, като се пренаредят някои елементи или върхове. Например, разгледайте следната верига.
Тази верига изглежда непланарна, тъй като две резистора се пресичат.
