مدارهای مسطح و غیر مسطح: تحلیل و کاربردها
مدار مسطح، مداری است که میتوان آن را روی یک سطح صاف رسم کرد بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند.
مدار غیرمسطح، مداری است که نمیتوان آن را روی یک سطح صاف رسم کرد بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند. مدارهای مسطح و غیرمسطح خصوصیات و روشهای تحلیل متفاوتی دارند. در این مقاله، ما توضیح میدهیم که چه چیزی مدارهای مسطح و غیرمسطح هستند، چگونه میتوان آنها را با استفاده از نظریه گراف و روش جریان حلقه تحلیل کرد و کاربردهایی از این مدارها در مهندسی برق چه هستند.
نظریه گراف چیست؟
نظریه گراف شاخهای از ریاضیات است که خصوصیات و روابط گرافها را مطالعه میکند. گراف مجموعهای از گرهها (همچنین به عنوان رئوس شناخته میشوند) و یالها (همچنین به عنوان شاخهها شناخته میشوند) است که گرهها را به هم متصل میکنند. گرافها میتوانند برای مدلسازی پدیدههای زیادی در علوم، مهندسی و علوم اجتماعی استفاده شوند.
یکی از کاربردهای نظریه گراف نمایش مدارهای الکتریکی است. هر عنصر در یک مدار (مانند یک مقاومت، خازن یا منبع ولتاژ) میتواند با یک یال در گراف نمایش داده شود. هر گره در گراف میتواند یک نقطه اتصال یا یک ترمینال در مدار را نمایش دهد. جهت جریان الکتریکی در مدار میتواند با یک فلش روی هر یال نشان داده شود. این نوع گراف را گراف جهتدار مینامند.
مدار مسطح چیست؟
مدار مسطح، مداری است که میتوان آن را روی یک سطح صاف رسم کرد بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند. به طور معادل، مدار مسطح یک مدار است که گراف جهتدار آن را میتوان بدون قطع شدن یالها روی یک صفحه نشان داد. مدار مسطح برخی مزایایی نسبت به مدار غیرمسطح دارد، مانند:
آسانتر است تصور و رسم شود.
دارای حلقهها و گرههای کمتری نسبت به یک مدار غیرمسطح با تعداد عناصر مشابه است.
میتوان آن را با استفاده از تحلیل شبکه یا تحلیل گرهای که روشهای سیستماتیکی بر اساس قوانین کیرشهف هستند، تحلیل کرد.
مدار غیرمسطح چیست؟
مدار غیرمسطح، مداری است که نمیتوان آن را روی یک سطح صاف رسم کرد بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند.
به طور معادل، مدار غیرمسطح یک مدار است که گراف جهتدار آن را نمیتوان بدون قطع شدن یالها روی یک صفحه نشان داد. مدار غیرمسطح برخی مزایایی نسبت به مدار مسطح دارد، مانند:
سختتر است تصور و رسم شود.
دارای حلقهها و گرههای بیشتری نسبت به یک مدار مسطح با تعداد عناصر مشابه است.
نمیتوان آن را با استفاده از تحلیل شبکه یا تحلیل گرهای که فقط برای مدارهای مسطح قابل استفاده هستند، تحلیل کرد.
چگونه میتوان مدارهای مسطح و غیرمسطح را تحلیل کرد؟
برای تحلیل مدارهای مسطح و غیرمسطح، میتوانیم از روش جریان حلقه استفاده کنیم که بر اساس قانون ولتاژ کیرشهف (KVL) است. روش جریان حلقه شامل مراحل زیر است:
تمام حلقههای مدار را شناسایی کنید. یک حلقه هر مسیر بستهای است که هیچ مسیر بستهای در داخل آن ندارد. یک حلقه میتواند یک شبکه (یک حلقه که هیچ عنصر دیگری جز آنهایی که در مرز آن قرار دارند ندارد) یا یک شبکه فوق العاده (یک حلقه که یک یا چند شبکه را در داخل خود دارد) باشد.
جریان حلقه را به هر حلقه اختصاص دهید. جریان حلقه یک جریان تخیلی است که در یک جهت ساعت گرد یا عکس ساعت گرد حول حلقه جریان مییابد. جهت جریان حلقه میتواند به صورت دلخواه انتخاب شود، اما باید در طول تحلیل ثابت باشد.
معادلات KVL را برای هر حلقه بنویسید. یک معادله KVL بیان میکند که مجموع جبری ولتاژها در یک حلقه بسته صفر است. ولتاژ در یک عنصر به نوع و قطبیت آن و همچنین جهت جریان حلقه نسبت به جریان عنصر بستگی دارد.
دستگاه معادلات را برای جریانهای حلقه ناشناخته حل کنید. این کار میتواند با استفاده از روشهای مختلفی مانند تعویض، حذف، معکوسسازی ماتریس یا قاعده کرامر انجام شود.
جریانها و ولتاژهای عناصر را با استفاده از جریانهای حلقه پیدا کنید. جریان عنصر برابر با مجموع یا تفاضل جریانهای حلقهای است که از آن عبور میکنند، بسته به جهت آنها. ولتاژ عنصر میتواند با استفاده از قانون اهم یا روابط دیگر برای انواع مختلف عناصر پیدا شود.
چگونه میتوان مدارهای مسطح و غیرمسطح را شناسایی کرد؟
برای شناسایی اینکه یک مدار مسطح یا غیرمسطح است، میتوانیم از معیارهای زیر استفاده کنیم:
اگر مدار را میتوان بدون قطع شدن سیمها رسم کرد، آن مدار مسطح است.
اگر مدار را نمیتوان بدون قطع شدن سیمها رسم کرد، آن مدار غیرمسطح است.
گاهی اوقات یک مدار ممکن است در نگاه اول غیرمسطح به نظر برسد، اما میتوان آن را با تغییر ترتیب برخی عناصر یا گرهها به صورت مسطح رسم کرد. به عنوان مثال، مدار زیر را در نظر بگیرید.
این مدار به نظر غیرمسطح میرسد زیرا دو مقاومت یکدیگر را قطع میکنند.
با این حال، اگر یک مقاومت را به یک موقعیت دیگر منتقل کنیم، میتوانیم یک مدار مسطح معادل بدست آوریم.
بنابراین، این مدار در واقع مسطح است.
