Planarni i neplanarni krugovi: Analiza i primene
Planarni krug je krug koji se može nacrtati na ravnoj površini bez da se nikakve žice preklapaju.
Neplanarni krug je krug koji se ne može nacrtati na ravnoj površini bez preklapanja žica. Planarni i neplanarni krugovi imaju različite osobine i metode analize. U ovom članku objasniti ćemo šta su planarni i neplanarni krugovi, kako ih analizirati koristeći teoriju grafova i metodu petlje struja, kao i koje su neke primene ovih krugova u elektrotehnici.
Šta je teorija grafova?
Teorija grafova je grana matematike koja proučava osobine i odnose grafova. Graf je kolekcija čvorova (takođe poznatih kao temena) i ivica (takođe poznatih kao granice) koje povezuju čvorove. Grafovi se mogu koristiti za modeliranje mnogih fenomena u nauki, inženjerstvu i društvenim naukama.
Jedna od primena teorije grafova jeste predstavljanje električnih krugova. Svaki element u krugu (kao što su otpor, kondenzator ili napon izvor) može biti predstavljen ivicom u grafu. Svaki čvor u grafu može predstavljati spojnku ili terminal u krugu. Smer toka struje u krugu može biti označen strelicom na svakoj ivici. Ovaj tip grafa zove se orijentisani graf.
Šta je planarni krug?
Planarni krug je krug koji se može nacrtati na ravnoj površini bez da se nikakve žice preklapaju. Ekvivalentno, planarni krug je krug čiji orijentisani graf može biti upotpunjen na ravan bez preklapanja ivica. Planarni krug ima neke prednosti nad nepplanarnim krugom, kao što su:
Lakše je vizualizirati i nacrtati.
Ima manje petlji i čvorova nego nepplanarni krug sa istim brojem elemenata.
Može se analizirati koristeći analizu mreže ili analizu čvorova, koje su sistematske metode bazirane na Kirchhoffovim zakonima.
Šta je nepplanarni krug?
Nepplanarni krug je krug koji se ne može nacrtati na ravnoj površini bez da se nikakve žice preklapaju.
Ekvivalentno, nepplanarni krug je krug čiji orijentisani graf ne može biti upotpunjen na ravan bez preklapanja ivica. Nepplanarni krug ima neke nedostatke u odnosu na planarni krug, kao što su:
Teže je vizualizirati i nacrtati.
Ima više petlji i čvorova nego planarni krug sa istim brojem elemenata.
Ne može se analizirati koristeći analizu mreže ili analizu čvorova, koje su primenjive samo na planarne krugove.
Kako analizirati planarne i nepplanarne krugove?
Da bismo analizirali planarne i nepplanarne krugove, možemo koristiti metodu petlje struje, koja je bazirana na Kirchhoffovom zakonu o naponu (KVL). Metoda petlje struje uključuje sledeće korake:
Identifikujte sve petlje u krugu. Petlja je bilo koja zatvorena putanja koja ne sadrži nikakvu drugu zatvorenu putanju unutar sebe. Petlja može biti mreža (petlja koja ne sadrži nikakve druge elemente osim onih na svojoj granici) ili super mreža (petlja koja sadrži jednu ili više mreža unutar sebe).
Dodelite struje petlji svakoj petlji. Struja petlji je imaginarna struja koja teče oko petlje u smeru kazaljke na satu ili suprotnom smeru. Smer struje petlje može biti proizvoljno izabran, ali mora biti konzistentan tokom analize.
Napišite KVL jednačine za svaku petlju. KVL jednačina kaže da je algebarska suma napona oko bilo koje zatvorene petlje jednaka nuli. Napon preko elementa zavisi od njegovog tipa i polariteta, kao i od smera struje petlje u odnosu na struju elementa.
Rešite sistem jednačina za nepoznate struje petlji. To se može uraditi koristeći različite metode, kao što su zamena, eliminacija, invertovanje matrice ili Cramerovo pravilo.
Pronađite struje i napone elemenata koristeći struje petlji. Struja elementa jednaka je sumi ili razlici struja petlji koje prođu kroz njega, u zavisnosti od njihovih smerova. Napon elementa može se pronaći koristeći Ohmov zakon ili druge relacije za različite vrste elemenata.
Kako identifikovati planarne i nepplanarne krugove?
Da bismo identifikovali da li je krug planaran ili nepplanaran, možemo koristiti sledeća kriterijuma:
Ako se krug može ponovo nacrtati bez preklapanja žica, onda je planaran.
Ako se krug ne može ponovo nacrtati bez preklapanja žica, onda je nepplanaran.
Ponekad, krug može izgledati nepplanaran na prvi pogled, ali se može ponovo nacrtati kao planaran preuređivanjem nekih elemenata ili čvorova. Na primer, posmatrajmo sledeći krug.
Ovaj krug izgleda nepplanaran jer se dva otpora preklapaju.
