صفحهای و غیرصفحهای مدارها: تحلیل و کاربردها
پلانار مدار، مداری است که میتوان آن را روی یک سطح صاف ترسیم کرد بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند.
مدار غیر پلانار، مداری است که نمیتوان آن را روی یک سطح صاف ترسیم کرد بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند. مدارهای پلانار و غیر پلانار دارای خصوصیات و روشهای تحلیل متفاوتی هستند. در این مقاله، ما توضیح میدهیم که مدارهای پلانار و غیر پلانار چیست، چگونه آنها را با استفاده از نظریه گراف و روش جریان حلقه تحلیل میکنیم و کاربردهایی از این مدارها در مهندسی برق چیست.
نظریه گراف چیست؟
نظریه گراف شاخهای از ریاضیات است که خصوصیات و روابط گرافها را مطالعه میکند. گراف مجموعهای از گرهها (همچنین به عنوان رئوس نامیده میشود) و یالها (همچنین به عنوان شاخهها نامیده میشود) است که گرهها را به هم متصل میکنند. گرافها میتوانند برای مدلسازی بسیاری از پدیدهها در علوم، مهندسی و علوم اجتماعی استفاده شوند.
یکی از کاربردهای نظریه گراف نمایش مدارهای الکتریکی است. هر عنصر در یک مدار (مانند مقاومت، خازن یا منبع ولتاژ) میتواند توسط یک یال در گراف نمایش داده شود. هر گره در گراف میتواند یک نقطه اتصال یا یک ترمینال در مدار را نمایش دهد. جهت جریان الکتریکی در مدار میتواند با یک فلش روی هر یال نشان داده شود. این نوع گراف به گراف مجهتدار معروف است.
مدار پلانار چیست؟
مدار پلانار، مداری است که میتوان آن را روی یک سطح صاف ترسیم کرد بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند. به طور معادل، مدار پلانار مداری است که گراف مجهتدار آن را میتوان روی یک صفحه تعبیه کرد بدون اینکه هیچ یالی یکدیگر را قطع کند. مدار پلانار برخی مزایایی نسبت به مدار غیر پلانار دارد، از جمله:
بیشتر قابل تصور و ترسیم است.
دارای حلقهها و گرههای کمتری نسبت به مدار غیر پلانار با همان تعداد عناصر است.
آن را میتوان با استفاده از تحلیل مش (mesh analysis) یا تحلیل گره (nodal analysis) که روشهای سیستماتیکی بر اساس قوانین کیرشهف هستند، تحلیل کرد.
مدار غیر پلانار چیست؟
مدار غیر پلانار، مداری است که نمیتوان آن را روی یک سطح صاف ترسیم کرد بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند.
به طور معادل، مدار غیر پلانار مداری است که گراف مجهتدار آن را نمیتوان روی یک صفحه تعبیه کرد بدون اینکه هیچ یالی یکدیگر را قطع کند. مدار غیر پلانار برخی مزایایی نسبت به مدار پلانار دارد، از جمله:
بیشتر قابل تصور و ترسیم است.
دارای حلقهها و گرههای بیشتری نسبت به مدار پلانار با همان تعداد عناصر است.
آن را نمیتوان با استفاده از تحلیل مش یا تحلیل گره که فقط برای مدارهای پلانار قابل اجرا هستند، تحلیل کرد.
چگونه مدارهای پلانار و غیر پلانار را تحلیل کنیم؟
برای تحلیل مدارهای پلانار و غیر پلانار، میتوانیم از روش جریان حلقه استفاده کنیم که بر اساس قانون ولتاژ کیرشهف (KVL) است. روش جریان حلقه شامل مراحل زیر است:
تمام حلقههای مدار را شناسایی کنید. حلقه هر مسیر بستهای است که هیچ مسیر بستهای را در داخل خود ندارد. حلقه میتواند یک مش (حلقهای که هیچ عنصری جز عناصر مرزی آن را ندارد) یا یک مش فوقالعاده (حلقهای که یک یا چند مش را در داخل خود دارد) باشد.
جریان حلقه را به هر حلقه اختصاص دهید. جریان حلقه یک جریان تخیلی است که به صورت ساعتگرد یا ضد ساعتگرد در اطراف حلقه جریان مییابد. جهت جریان حلقه میتواند به صورت دلخواه انتخاب شود، اما باید در طول تحلیل ثابت بماند.
معادلات KVL را برای هر حلقه بنویسید. معادله KVL بیان میکند که مجموع جبری ولتاژها در اطراف هر حلقه بسته صفر است. ولتاژ در یک عنصر به نوع و قطبیت آن و همچنین جهت جریان حلقه نسبت به جریان عنصر بستگی دارد.
سیستم معادلات را برای جریانهای حلقه ناشناخته حل کنید. این کار میتواند با استفاده از روشهای مختلفی مانند جایگزینی، حذف، معکوس کردن ماتریس یا قاعده کرامر انجام شود.
جریانها و ولتاژهای عنصر را با استفاده از جریانهای حلقه پیدا کنید. جریان عنصر برابر با مجموع یا تفاضل جریانهای حلقهای که از آن عبور میکنند، بسته به جهت آنها است. ولتاژ عنصر میتواند با استفاده از قانون اهم یا روابط دیگر برای انواع مختلف عناصر پیدا شود.
چگونه مدارهای پلانار و غیر پلانار را شناسایی کنیم؟
برای شناسایی اینکه یک مدار پلانار یا غیر پلانار است، میتوانیم از معیارهای زیر استفاده کنیم:
اگر مدار را میتوان بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند، مجدداً ترسیم کرد، آن مدار پلانار است.
اگر مدار را نمیتوان بدون اینکه هیچ سیمی یکدیگر را قطع کند، مجدداً ترسیم کرد، آن مدار غیر پلانار است.
گاهی اوقات، یک مدار ممکن است در نگاه اول غیر پلانار به نظر برسد، اما میتوان آن را با تغییر ترتیب برخی عناصر یا گرهها به صورت پلانار ترسیم کرد. به عنوان مثال، مدار زیر را در نظر بگیرید.
این مدار به نظر غیر پلانار میرسد زیرا دو مقاومت یکدیگر را قطع میکنند.
با این حال، اگر یک مقاومت را به موقعیت دیگری منتقل کنیم، مدار معادل پلانار را میتوانیم بدست آوریم.
بنابراین، این مدار در واقع پلانار است.
