平面回路と非平面回路：解析と応用

平面回路は、ワイヤが交差せずに平面上に描画できる回路です。

非平面回路は、ワイヤが交差せずに平面上に描画できない回路です。平面回路と非平面回路は異なる特性と解析方法を持っています。この記事では、平面回路と非平面回路とは何か、グラフ理論とループ電流法を用いた解析方法、およびこれらの回路の電気工学におけるいくつかの応用について説明します。

グラフ理論とは？

グラフ理論は、グラフの性質と関係を研究する数学の一分野です。グラフはノード（または頂点）とエッジ（または枝）で構成され、エッジはノードを接続します。グラフは科学、工学、社会科学の多くの現象をモデル化するために使用できます。

グラフ理論の応用の一つは、電気回路の表現です。回路の各要素（例えば、抵抗器、コンデンサ、または電圧源など）はグラフのエッジで表すことができます。グラフの各ノードは回路の接合点または端子を表すことができます。回路内の電流の流れの方向は、各エッジ上の矢印で示すことができます。このようなグラフは有向グラフと呼ばれます。

平面回路とは？

平面回路は、ワイヤが交差せずに平面上に描画できる回路です。同様に、平面回路は、エッジが交差せずに平面上に埋め込むことができる有向グラフを持つ回路です。平面回路には非平面回路に比べて以下のような利点があります。

• 視覚化しやすく描画しやすい。

• 同じ数の要素を持つ非平面回路よりもループとノードが少ない。

• メッシュ解析またはノード解析を使用して解析できる。これらはキルヒホッフの法則に基づく体系的な方法である。

非平面回路とは？

非平面回路は、ワイヤが交差せずに平面上に描画できない回路です。

同様に、非平面回路は、エッジが交差せずに平面上に埋め込むことができない有向グラフを持つ回路です。非平面回路には平面回路に比べて以下の不利な点があります。

• 視覚化しにくく描画しにくい。

• 同じ数の要素を持つ平面回路よりもループとノードが多い。

• メッシュ解析やノード解析は平面回路にのみ適用可能であり、それらを使用して解析することはできない。

平面回路と非平面回路の解析方法

平面回路と非平面回路を解析するには、ループ電流法を使用することができます。これはキルヒホッフの電圧法（KVL）に基づいています。ループ電流法には以下の手順があります。

1. 回路内のすべてのループを特定する。ループとは他の閉ループを含まない任意の閉パスのことである。ループは、境界上にある要素以外を含まないメッシュまたは内部に1つ以上のメッシュを含むスーパーメッシュである。

2. 各ループにループ電流を割り当てる。ループ電流とは、時計回りまたは反時計回りのいずれかの方向にループを流れる架空の電流である。ループ電流の方向は任意に選択できるが、解析全体を通じて一貫性が必要である。

3. 各ループのKVL方程式を書く。KVL方程式は、任意の閉ループ内の電圧の代数和がゼロであることを述べている。要素間の電圧はそのタイプと極性、およびループ電流と要素電流の方向によって決まる。

4. 未知のループ電流の連立方程式を解く。置換法、消去法、行列逆数法、またはクラメールの法則などのさまざまな方法を使用して解くことができる。

5. ループ電流を使用して要素の電流と電圧を見つける。要素電流は、通過するループ電流の和または差であり、その方向によって決定される。要素電圧はオームの法則または他の関係式を使って異なる種類の要素に対して見つけることができる。

平面回路と非平面回路の識別方法

回路が平面回路か非平面回路かを識別するには、以下の基準を使用することができます。

• ワイヤが交差せずに再描画できる場合、それは平面回路である。

• ワイヤが交差せずに再描画できない場合、それは非平面回路である。

  

時には、回路は最初は非平面のように見えるかもしれませんが、要素やノードを再配置することで平面回路として再描画することができます。例えば、以下の回路を考えてみましょう。

この回路は2つの抵抗器が交差しているため、非平面のように見えます。

しかし、1つの抵抗器を別の位置に移動すると、等価な平面回路を得ることができます。

したがって、この回路は実際には平面回路です。

投げ銭