Planare und nicht-planare Schaltungen: Analyse und Anwendungen

Ein planarer Schaltkreis ist ein Schaltkreis, der auf einer flachen Oberfläche ohne sich kreuzende Leitungen gezeichnet werden kann.

Ein nicht-planarer Schaltkreis ist ein Schaltkreis, der nicht auf einer flachen Oberfläche ohne sich kreuzende Leitungen gezeichnet werden kann. Planare und nicht-planare Schaltkreise haben unterschiedliche Eigenschaften und Methoden zur Analyse. In diesem Artikel erklären wir, was planare und nicht-planare Schaltkreise sind, wie sie mit Hilfe der Graphentheorie und der Schleifenstrommethode analysiert werden können, und welche Anwendungen diese Schaltkreise in der Elektrotechnik haben.

Was ist Graphentheorie?

Die Graphentheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die Eigenschaften und Beziehungen von Graphen untersucht. Ein Graph besteht aus Knoten (auch Ecken genannt) und Kanten (auch Zweige genannt), die die Knoten verbinden. Graphen können dazu verwendet werden, viele Phänomene in Wissenschaft, Technik und Sozialwissenschaften zu modellieren.

Eine Anwendung der Graphentheorie ist die Darstellung elektrischer Schaltkreise. Jedes Element in einem Schaltkreis (wie z.B. ein Widerstand, ein Kondensator oder eine Spannungsquelle) kann durch eine Kante in einem Graphen dargestellt werden. Jeder Knoten in einem Graphen kann einen Verbindungspunkt oder einen Terminal in einem Schaltkreis darstellen. Die Richtung des Stromflusses in einem Schaltkreis kann durch einen Pfeil auf jeder Kante angezeigt werden. Dieser Typ von Graph wird als orientierter Graph bezeichnet.

Was ist ein planarer Schaltkreis?

Ein planarer Schaltkreis ist ein Schaltkreis, der auf einer flachen Oberfläche ohne sich kreuzende Leitungen gezeichnet werden kann. Äquivalent dazu ist ein planarer Schaltkreis ein Schaltkreis, dessen orientierter Graph auf einer Ebene eingebettet werden kann, ohne dass sich die Kanten schneiden. Ein planarer Schaltkreis hat einige Vorteile gegenüber einem nicht-planaren Schaltkreis, wie z.B.:

• Er ist einfacher zu visualisieren und zu zeichnen.

• Er hat weniger Schleifen und Knoten als ein nicht-planarer Schaltkreis mit der gleichen Anzahl von Elementen.

• Er kann mit Hilfe der Maschenanalyse oder der Knotenanalyse analysiert werden, die systematische Methoden basierend auf den Kirchhoffschen Gesetzen sind.

Was ist ein nicht-planarer Schaltkreis?

Ein nicht-planarer Schaltkreis ist ein Schaltkreis, der nicht auf einer flachen Oberfläche ohne sich kreuzende Leitungen gezeichnet werden kann.

Äquivalent dazu ist ein nicht-planarer Schaltkreis ein Schaltkreis, dessen orientierter Graph nicht auf einer Ebene eingebettet werden kann, ohne dass sich die Kanten schneiden. Ein nicht-planarer Schaltkreis hat einige Nachteile gegenüber einem planaren Schaltkreis, wie z.B.:

• Er ist schwieriger zu visualisieren und zu zeichnen.

• Er hat mehr Schleifen und Knoten als ein planarer Schaltkreis mit der gleichen Anzahl von Elementen.

• Er kann nicht mit Hilfe der Maschenanalyse oder der Knotenanalyse analysiert werden, die nur auf planare Schaltkreise anwendbar sind.

Wie analysiert man planare und nicht-planare Schaltkreise?

Um planare und nicht-planare Schaltkreise zu analysieren, können wir die Schleifenstrommethode verwenden, die auf dem Kirchhoffschen Spannungsgesetz (KVL) basiert. Die Schleifenstrommethode umfasst die folgenden Schritte:

1. Identifiziere alle Schleifen im Schaltkreis. Eine Schleife ist jeder geschlossene Pfad, der keinen anderen geschlossenen Pfad innerhalb von sich enthält. Eine Schleife kann entweder eine Masche (eine Schleife, die außer den Elementen auf ihrem Rand keine anderen Elemente enthält) oder eine Supermasche (eine Schleife, die eine oder mehrere Maschen innerhalb von sich enthält) sein.

2. Weise jedem Schleifenstrom eine Schleife zu. Ein Schleifenstrom ist ein imaginärer Strom, der in einer Uhrzeigersinn- oder Gegen-Uhrzeigersinn-Richtung um die Schleife fließt. Die Richtung des Schleifenstroms kann beliebig gewählt werden, muss aber während der gesamten Analyse konsistent bleiben.

3. Schreibe KVL-Gleichungen für jede Schleife. Eine KVL-Gleichung besagt, dass die algebraische Summe der Spannungen um jeden geschlossenen Pfad null ist. Die Spannung über ein Element hängt von seiner Art und Polung sowie von der Richtung des Schleifenstroms relativ zum Elementstrom ab.

4. Löse das Gleichungssystem für die unbekannten Schleifenströme. Dies kann mit verschiedenen Methoden wie Einsetzen, Eliminieren, Matrix-Inversion oder Cramers Regel erfolgen.

5. Finde die Elementströme und Spannungen mit Hilfe der Schleifenströme. Der Elementstrom ist gleich der Summe oder Differenz der durch ihn fließenden Schleifenströme, abhängig von deren Richtungen. Die Elementspannung kann mit Ohmschem Gesetz oder anderen Beziehungen für verschiedene Arten von Elementen gefunden werden.

Wie identifiziert man planare und nicht-planare Schaltkreise?

Um festzustellen, ob ein Schaltkreis planar oder nicht-planar ist, können wir die folgenden Kriterien verwenden:

• Wenn der Schaltkreis ohne sich kreuzende Leitungen neu gezeichnet werden kann, dann ist er planar.

• Wenn der Schaltkreis nicht ohne sich kreuzende Leitungen neu gezeichnet werden kann, dann ist er nicht-planar.

  

Manchmal mag ein Schaltkreis auf den ersten Blick nicht-planar erscheinen, kann aber durch Umordnen einiger Elemente oder Knoten als planar neu gezeichnet werden. Betrachten wir beispielsweise den folgenden Schaltkreis.

Dieser Schaltkreis sieht nicht-planar aus, da zwei Widerstände sich kreuzen.

Wenn wir jedoch einen Widerstand an eine andere Position verschieben, erhalten wir einen äquivalenten planaren Schaltkreis.