Circuiti Piani e Non Piani: Analisi e Applicazioni

Un circuito piano è un circuito che può essere disegnato su una superficie piana senza che i fili si incrocino tra loro.

Un circuito non piano è un circuito che non può essere disegnato su una superficie piana senza che i fili si incrocino tra loro. I circuiti piani e non piani hanno proprietà e metodi di analisi diversi. In questo articolo, spiegheremo cosa sono i circuiti piani e non piani, come analizzarli utilizzando la teoria dei grafi e il metodo della corrente di anello, e quali sono alcune applicazioni di questi circuiti nell'ingegneria elettrica.

Cosa è la Teoria dei Grafi?

La teoria dei grafi è un ramo della matematica che studia le proprietà e le relazioni dei grafi. Un grafo è una collezione di nodi (anche chiamati vertici) e archi (anche chiamati rami) che connettono i nodi. I grafi possono essere utilizzati per modellare molti fenomeni in scienza, ingegneria e scienze sociali.

Una delle applicazioni della teoria dei grafi è rappresentare i circuiti elettrici. Ogni elemento in un circuito (come un resistore, un condensatore o una sorgente di tensione) può essere rappresentato da un arco in un grafo. Ogni nodo in un grafo può rappresentare un punto di giunzione o un terminale in un circuito. La direzione del flusso di corrente in un circuito può essere indicata da una freccia su ogni arco. Questo tipo di grafo viene chiamato grafo orientato.

Cosa è un Circuito Piano?

Un circuito piano è un circuito che può essere disegnato su una superficie piana senza che i fili si incrocino tra loro. Equivalentemente, un circuito piano è un circuito il cui grafo orientato può essere immerso su un piano senza che gli archi si incrocino tra loro. Un circuito piano ha alcuni vantaggi rispetto a un circuito non piano, come:

• È più facile visualizzarlo e disegnarlo.

• Ha meno anelli e nodi rispetto a un circuito non piano con lo stesso numero di elementi.

• Può essere analizzato utilizzando l'analisi a maglie o l'analisi nodale, che sono metodi sistematici basati sulle leggi di Kirchhoff.

Cosa è un Circuito Non Piano?

Un circuito non piano è un circuito che non può essere disegnato su una superficie piana senza che i fili si incrocino tra loro.

Equivalentemente, un circuito non piano è un circuito il cui grafo orientato non può essere immerso su un piano senza che gli archi si incrocino tra loro. Un circuito non piano ha alcuni svantaggi rispetto a un circuito piano, come:

• È più difficile visualizzarlo e disegnarlo.

• Ha più anelli e nodi rispetto a un circuito piano con lo stesso numero di elementi.

• Non può essere analizzato utilizzando l'analisi a maglie o l'analisi nodale, che sono applicabili solo ai circuiti piani.

Come Analizzare i Circuiti Piani e Non Piani?

Per analizzare i circuiti piani e non piani, possiamo utilizzare il metodo della corrente di anello, che si basa sulla legge della tensione di Kirchhoff (KVL). Il metodo della corrente di anello prevede i seguenti passaggi:

1. Identificare tutti gli anelli nel circuito. Un anello è qualsiasi percorso chiuso che non contiene altri percorsi chiusi all'interno. Un anello può essere sia una maglia (un anello che non contiene altri elementi se non quelli sul suo bordo) sia una supermaglia (un anello che contiene una o più maglie all'interno).

2. Assegnare correnti di anello a ciascun anello. Una corrente di anello è una corrente immaginaria che scorre intorno all'anello in senso orario o antiorario. La direzione della corrente di anello può essere scelta arbitrariamente, ma deve essere coerente durante l'analisi.

3. Scrivere equazioni KVL per ciascun anello. Un'equazione KVL afferma che la somma algebrica delle tensioni intorno a qualsiasi anello chiuso è zero. La tensione attraverso un elemento dipende dal suo tipo e polarità, nonché dalla direzione della corrente di anello rispetto alla corrente dell'elemento.

4. Risolvere il sistema di equazioni per le correnti di anello sconosciute. Ciò può essere fatto utilizzando vari metodi, come sostituzione, eliminazione, inversione di matrice o regola di Cramer.

5. Trovare le correnti e le tensioni degli elementi utilizzando le correnti di anello. La corrente dell'elemento è uguale alla somma o differenza delle correnti di anello che passano attraverso di esso, a seconda delle loro direzioni. La tensione dell'elemento può essere trovata utilizzando la legge di Ohm o altre relazioni per diversi tipi di elementi.

Come Identificare i Circuiti Piani e Non Piani?

Per identificare se un circuito è piano o non piano, possiamo utilizzare i seguenti criteri:

• Se il circuito può essere ridisegnato senza che i fili si incrocino tra loro, allora è piano.

• Se il circuito non può essere ridisegnato senza che i fili si incrocino tra loro, allora è non piano.

  

A volte, un circuito può sembrare non piano a prima vista, ma può essere ridisegnato come piano riorganizzando alcuni elementi o nodi. Ad esempio, consideriamo il seguente circuito.

Questo circuito sembra non piano perché due resistenze si incrociano tra loro.

Tuttavia, se spostiamo una resistenza in un'altra posizione, possiamo ottenere un circuito piano equivalente.