Circuits Planaires et Non Planaire : Analyse et Applications
Un circuit planaire est un circuit qui peut être dessiné sur une surface plane sans que les fils se croisent.
Un circuit non planaire est un circuit qui ne peut pas être dessiné sur une surface plane sans que les fils se croisent. Les circuits planaires et non planaires ont des propriétés et des méthodes d'analyse différentes. Dans cet article, nous expliquerons ce qu'est un circuit planaire et non planaire, comment les analyser en utilisant la théorie des graphes et la méthode du courant de boucle, ainsi que certaines applications de ces circuits dans le génie électrique.
Qu'est-ce que la théorie des graphes?
La théorie des graphes est une branche des mathématiques qui étudie les propriétés et les relations des graphes. Un graphe est une collection de nœuds (aussi appelés sommets) et d'arêtes (aussi appelées branches) qui connectent les nœuds. Les graphes peuvent être utilisés pour modéliser de nombreux phénomènes en science, en ingénierie et en sciences sociales.
L'une des applications de la théorie des graphes est de représenter les circuits électriques. Chaque élément d'un circuit (comme une résistance, un condensateur ou une source de tension) peut être représenté par une arête dans un graphe. Chaque nœud dans un graphe peut représenter un point de jonction ou un terminal dans un circuit. Le sens du courant dans un circuit peut être indiqué par une flèche sur chaque arête. Ce type de graphe est appelé graphe orienté.
Qu'est-ce qu'un circuit planaire?
Un circuit planaire est un circuit qui peut être dessiné sur une surface plane sans que les fils se croisent. De manière équivalente, un circuit planaire est un circuit dont le graphe orienté peut être plongé dans un plan sans que les arêtes se croisent. Un circuit planaire présente certains avantages par rapport à un circuit non planaire, tels que :
Il est plus facile à visualiser et à dessiner.
Il a moins de boucles et de nœuds qu'un circuit non planaire avec le même nombre d'éléments.
Il peut être analysé en utilisant l'analyse par mailles ou l'analyse nodale, qui sont des méthodes systématiques basées sur les lois de Kirchhoff.
Qu'est-ce qu'un circuit non planaire?
Un circuit non planaire est un circuit qui ne peut pas être dessiné sur une surface plane sans que les fils se croisent.
De manière équivalente, un circuit non planaire est un circuit dont le graphe orienté ne peut pas être plongé dans un plan sans que les arêtes se croisent. Un circuit non planaire présente certains inconvénients par rapport à un circuit planaire, tels que :
Il est plus difficile à visualiser et à dessiner.
Il a plus de boucles et de nœuds qu'un circuit planaire avec le même nombre d'éléments.
Il ne peut pas être analysé en utilisant l'analyse par mailles ou l'analyse nodale, qui ne s'appliquent qu'aux circuits planaires.
Comment analyser les circuits planaires et non planaires?
Pour analyser les circuits planaires et non planaires, nous pouvons utiliser la méthode du courant de boucle, qui est basée sur la loi des tensions de Kirchhoff (KVL). La méthode du courant de boucle implique les étapes suivantes :
Identifier toutes les boucles dans le circuit. Une boucle est tout chemin fermé qui ne contient aucun autre chemin fermé à l'intérieur. Une boucle peut être soit une maille (une boucle qui ne contient aucun autre élément sauf ceux sur sa frontière) soit une super-maille (une boucle qui contient une ou plusieurs mailles à l'intérieur).
Attribuer des courants de boucle à chaque boucle. Un courant de boucle est un courant imaginaire qui circule autour de la boucle dans le sens horaire ou antihoraire. Le sens du courant de boucle peut être choisi arbitrairement, mais il doit rester cohérent tout au long de l'analyse.
Écrire des équations KVL pour chaque boucle. Une équation KVL stipule que la somme algébrique des tensions autour de toute boucle fermée est nulle. La tension à travers un élément dépend de son type et de sa polarité, ainsi que du sens du courant de boucle par rapport au courant de l'élément.
Résoudre le système d'équations pour les courants de boucle inconnus. Cela peut être fait en utilisant diverses méthodes, telles que la substitution, l'élimination, l'inversion de matrice ou la règle de Cramer.
Trouver les courants et tensions des éléments en utilisant les courants de boucle. Le courant de l'élément est égal à la somme ou à la différence des courants de boucle passant à travers lui, selon leurs directions. La tension de l'élément peut être trouvée en utilisant la loi d'Ohm ou d'autres relations pour différents types d'éléments.
Comment identifier les circuits planaires et non planaires?
Pour identifier si un circuit est planaire ou non planaire, nous pouvons utiliser les critères suivants :
Si le circuit peut être redessiné sans que les fils se croisent, alors il est planaire.
Si le circuit ne peut pas être redessiné sans que les fils se croisent, alors il est non planaire.
Parfois, un circuit peut sembler non planaire au premier abord, mais il peut être redessiné comme planaire en réarrangeant certains éléments ou nœuds. Par exemple, considérons le circuit suivant.
Ce circuit semble non planaire car deux résistances se croisent.
Cependant, si nous déplaçons une résistance à une autre position, nous obtenons un circuit planaire équivalent.
Par conséquent, ce circuit est en réalité planaire.
Quelles sont les applications des circuits planaires et non planaires?
Les circuits planaires et non planaires ont diverses applications en génie électrique, telles que :
Les circuits planaires sont largement utilisés dans les cartes de circuits imprimés (PCB), qui sont des feuilles minces de matériau isolant avec des pistes conductrices imprimées ou gravées dessus. Les PCB sont utilisés pour connecter des composants électroniques dans des appareils tels que des ordinateurs, des smartphones, des radios, etc.
Les circuits non planaires sont souvent utilisés dans les circuits intégrés tridimensionnels (IC
