Плоские и неплоские цепи: анализ и применение
Плоская схема — это схема, которая может быть нарисована на плоской поверхности без пересечения проводников друг с другом.
Неплоская схема — это схема, которая не может быть нарисована на плоской поверхности без пересечения проводников друг с другом. Плоские и неплоские схемы имеют различные свойства и методы анализа. В этой статье мы объясним, что такое плоские и неплоские схемы, как их анализировать с помощью теории графов и метода циклов ток, а также какие приложения этих схем в электротехнике.
Что такое теория графов?
Теория графов — это раздел математики, который изучает свойства и отношения графов. Граф — это набор узлов (также называемых вершинами) и ребер (также называемых ветвями), которые соединяют узлы. Графы можно использовать для моделирования многих явлений в науке, инженерии и социальных науках.
Одно из применений теории графов — представление электрических схем. Каждый элемент в схеме (например, резистор, конденсатор или источник напряжения) может быть представлен ребром в графе. Каждый узел в графе может представлять точку соединения или терминал в схеме. Направление тока в схеме может быть указано стрелкой на каждом ребре. Такой тип графа называется ориентированным графом.
Что такое плоская схема?
Плоская схема — это схема, которая может быть нарисована на плоской поверхности без пересечения проводников друг с другом. Эквивалентно, плоская схема — это схема, ориентированный граф которой может быть вложен на плоскость без пересечения ребер. У плоской схемы есть некоторые преимущества по сравнению с неплоской схемой, такие как:
Её легче визуализировать и рисовать.
У неё меньше циклов и узлов, чем у неплоской схемы с тем же количеством элементов.
Её можно анализировать с помощью анализа контуров или узлового анализа, которые являются систематическими методами, основанными на законах Кирхгофа.
Что такое неплоская схема?
Неплоская схема — это схема, которая не может быть нарисована на плоской поверхности без пересечения проводников друг с другом.
Эквивалентно, неплоская схема — это схема, ориентированный граф которой не может быть вложен на плоскость без пересечения ребер. У неплоской схемы есть некоторые недостатки по сравнению с плоской схемой, такие как:
Её труднее визуализировать и рисовать.
У неё больше циклов и узлов, чем у плоской схемы с тем же количеством элементов.
Её нельзя анализировать с помощью анализа контуров или узлового анализа, которые применимы только к плоским схемам.
Как анализировать плоские и неплоские схемы?
Для анализа плоских и неплоских схем можно использовать метод цикловых токов, основанный на законе Кирхгофа о напряжении (ЗКН). Метод цикловых токов включает следующие шаги:
Определите все циклы в схеме. Цикл — это любая замкнутая путь, который не содержит внутри себя никаких других замкнутых путей. Цикл может быть либо сетью (цикл, который не содержит никаких других элементов, кроме тех, что находятся на его границе), либо суперсетью (цикл, который содержит одну или несколько сетей внутри себя).
Присвойте цикловые токи каждому циклу. Цикловой ток — это воображаемый ток, который протекает по циклу в направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки. Направление циклового тока можно выбрать произвольно, но оно должно быть последовательным на протяжении всего анализа.
Запишите уравнения ЗКН для каждого цикла. Уравнение ЗКН гласит, что алгебраическая сумма напряжений вокруг любого замкнутого цикла равна нулю. Напряжение на элементе зависит от его типа и полярности, а также от направления циклового тока относительно тока элемента.
Решите систему уравнений для неизвестных цикловых токов. Это можно сделать различными методами, такими как подстановка, исключение, обращение матрицы или правило Крамера.
Найдите токи и напряжения элементов, используя цикловые токи. Ток элемента равен сумме или разности цикловых токов, проходящих через него, в зависимости от их направлений. Напряжение на элементе можно найти, используя закон Ома или другие соотношения для различных типов элементов.
Как определить, является ли схема плоской или неплоской?
Чтобы определить, является ли схема плоской или неплоской, можно использовать следующие критерии:
Если схему можно перерисовать без пересечения проводников друг с другом, то она плоская.
Если схему нельзя перерисовать без пересечения проводников друг с другом, то она неплоская.
Иногда схема может выглядеть неплоской на первый взгляд, но её можно перерисовать как плоскую, переставив некоторые элементы или узлы. Например, рассмотрим следующую схему.
Эта схема выглядит неплоской, потому что два резистора пересекают друг друга.
