풍력터빈 이론과 베타 계수

풍력 터빈으로부터 얻어지는 전력을 결정하기 위해서는 그림에 표시된 공기 덕트를 가정해야 합니다. 덕트의 입구에서의 바람 속도가 V1이고, 덕트의 출구에서의 공기 속도가 V2라고 가정합니다. 매 초마다 이 가상의 덕트를 통과하는 공기의 질량이 m이라고 합시다.
이 질량 때문에 덕트 입구에서의 바람의 운동 에너지는 다음과 같습니다.

비슷하게, 이 질량 때문에 덕트 출구에서의 바람의 운동 에너지는 다음과 같습니다.


따라서, 이 가상의 덕트를 통해 이 양의 공기가 입구에서 출구로 흐르는 동안 바람의 운동 에너지 변화는 다음과 같습니다.

이미 언급했듯이, 매 초마다 이 가상의 덕트를 통과하는 공기의 질량은 m입니다. 따라서 바람으로부터 추출되는 전력은 덕트의 입구에서 출구로 이 질량의 공기가 흐르는 동안의 운동 에너지 변화와 같습니다.

전력을 에너지의 시간당 변화율로 정의합니다. 따라서, 이 추출된 전력은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

매 초마다 공기의 질량 m이 통과하므로, 이 양을 바람의 질량 유량이라고 부릅니다. 이를 신중하게 생각하면, 덕트의 입구, 출구, 그리고 모든 단면에서 질량 유량이 같다는 것을 쉽게 이해할 수 있습니다. 들어오는 공기의 양이 모두 나가는 것과 같습니다.
만약 Va, A, ρ가 각각 터빈 날개에서의 공기 속도, 덕트의 단면적, 공기의 밀도라면, 바람의 질량 유량은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

방정식 (1)에서 m을 ρVaA로 대체하면 다음과 같습니다.

터빈이 덕트의 중앙에 있다고 가정하므로, 터빈 날개에서의 바람 속도는 입구와 출구 속도의 평균으로 간주할 수 있습니다.

바람으로부터 최대 전력을 얻기 위해 방정식 (3)을 V2에 대해 미분하고 0으로 놓아야 합니다. 즉,

베틀 계수

위의 방정식에서 바람으로부터 이론적으로 추출할 수 있는 최대 전력은 전체 운동 에너지의 0.5925라는 비율임을 알 수 있습니다. 이 비율은 베틀 계수로 알려져 있습니다. 이 계산된 전력은 풍력 터빈 이론에 따른 것이지만, 실제 제너레이터가 받는 기계적 전력은 이보다 적으며, 이는 마찰, 로터 베어링 손실 및 터빈의 공기역학적 설계의 비효율성 때문입니다.

방정식 (4)에서 명확히 볼 수 있듯이 추출된 전력은

1. 공기 밀도 ρ에 비례합니다. 공기 밀도가 증가하면 터빈의 전력도 증가합니다.

2. 터빈 날개의 스윕 면적에 비례합니다. 날개 길이가 증가하면 스윕 면적의 반지름도 증가하여 터빈의 전력이 증가합니다.

3. 터빈의 전력은 또한 바람의 속도3에 따라 달라집니다. 이는 바람의 속도가 두 배가 되면 터빈의 전력은 8배로 증가한다는 것을 의미합니다.

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