Theoria Turbinis Ventorum et Coefficientis Betz

Ad determinandum vim venti ab turbinis eoli extrahendam, ductum aeris sicut in figura ostenditur assumendum est. Assumimus etiam velocitatem venti ad introitum ductus esse V1 et velocitatem aeris ad exitum ductus esse V2. Sit, massa m aeris per hunc imaginarii ductus per secundum transmittitur.
Nunc propter hanc massam, vis viva venti ad introitum ductus est,

Similiter, propter hanc massam, vis viva venti ad exitum ductus est,


Itaque, vis viva venti mutata, dum haec quantitas aeris a introitu ad exitum imaginarii ductus fluit, est,

Ut iam diximus, massa m aeris per hunc imaginarii ductus in unum secundum transmittitur. Itaque, potestas ab vento extracta idem est atque vis viva mutata dum massa m aeris a introitu ad exitum ductus fluit.

Potentiam definimus ut mutationem energiae per secundum. Itaque, haec extracta potentia scribi potest ut,

Cum massa m aeris per unum secundum transit, quantitatem m nominamus fluxum massae venti. Si diligenter cogitamus, facile intellegimus quod fluxus massae idem erit ad introitum, ad exitum, et etiam in omni sectione transversa ductus aeris. Quoniam, quaecumque quantitas aeris in ductum intrat, eadem ex exitu emittitur.
Si Va, A et ρ sunt velocitas aeris, area transversalis ductus, et densitas aeris ad laminae turbine respectivae, tunc fluxus massae venti repraesentari potest ut

Nunc, substituendo m per ρVaA in aequatione (1), habemus,

Nunc, cum turbine sit in medio ductus posita, velocitas venti ad laminae turbine considerari potest ut media velocitatis introitus et exitus.

Ut maximam potentiam ab vento obtineamus, aequationem (3) in respectu V2 differentiamus et aequamus ad zero. Id est,

Coefficiens Betz

Ex praecedente aequatione constat quod potentia maxima theoretica ab vento extracta est in fractione 0.5925 totius vis vivae. Haec fractio notatur ut Coefficiens Betz. Hanc calculatam potentiam secundum theoriam turbine eolis sed potentia mechanica realis recepta a generatore minor est quam illa, et hoc propter perdas propter frictionem rotae et inefficaciam designi aerodynamici turbine.

Ex aequatione (4) manifestum est quod extracta potentia est

1. Directe proportionalis ad densitatem aeris ρ. Cum densitas aeris crescit, potentia turbine crescit.

2. Directe proportionalis ad aream transversalem laminae turbine. Si longitudo laminae crescit, radius areae transversalis consequenter crescit, itaque potentia turbine crescit.

3. Potentia turbine variat etiam cum velocitate3 venti. Id indicat si velocitas venti duplicatur, potentia turbine octuplari potest.

Declaratio: Respect original, bona articuli merentur participationem, si infringit contactum delere.