Théorie de l'éolienne et coefficient de Betz

Pour déterminer la puissance extraite du vent par une éolienne, nous devons supposer un conduit d'air comme indiqué dans la figure. On suppose également que la vitesse du vent à l'entrée du conduit est V1 et la vitesse de l'air à la sortie du conduit est V2. Disons que la masse m d'air passe par ce conduit imaginaire par seconde.
Maintenant, en raison de cette masse, l'énergie cinétique du vent à l'entrée du conduit est,

De même, en raison de cette masse, l'énergie cinétique du vent à la sortie du conduit est,


Ainsi, l'énergie cinétique du vent a changé, pendant l'écoulement de cette quantité d'air de l'entrée à la sortie du conduit imaginaire est,

Comme nous l'avons déjà dit, la masse m d'air passe par ce conduit imaginaire en une seconde. Ainsi, la puissance extraite du vent est la même que l'énergie cinétique qui a changé pendant l'écoulement de la masse m d'air de l'entrée à la sortie du conduit.

Nous définissons la puissance comme le changement d'énergie par seconde. Ainsi, cette puissance extraite peut être écrite comme suit,

Comme la masse m d'air passe en une seconde, nous faisons référence à la quantité m comme au débit massique du vent. Si nous y réfléchissons attentivement, nous pouvons facilement comprendre que le débit massique sera le même à l'entrée, à la sortie ainsi qu'à chaque section transversale du conduit d'air. Puisque, quelle que soit la quantité d'air qui entre dans le conduit, la même quantité en sort.
Si Va, A et ρ sont respectivement la vitesse de l'air, la section transversale du conduit et la densité de l'air aux pales de l'éolienne, alors le débit massique du vent peut être représenté comme

Maintenant, en remplaçant m par ρVaA dans l'équation (1), nous obtenons,

Maintenant, comme l'éolienne est supposée être placée au milieu du conduit, la vitesse du vent aux pales de l'éolienne peut être considérée comme la vitesse moyenne des vitesses d'entrée et de sortie.

Pour obtenir la puissance maximale du vent, nous devons différencier l'équation (3) par rapport à V2 et l'égaliser à zéro. C'est-à-dire,

Coefficient de Betz

D'après l'équation ci-dessus, on trouve que la puissance théorique maximale extraite du vent est une fraction de 0,5925 de sa puissance cinétique totale. Cette fraction est connue sous le nom de coefficient de Betz. Cette puissance calculée est selon la théorie de l'éolienne mais la puissance mécanique réelle reçue par le générateur est inférieure à celle-ci, en raison des pertes de frottement, des roulements de rotor et des inefficacités de conception aérodynamique de l'éolienne.

D'après l'équation (4), il est clair que la puissance extraite est

1. Proportionnelle à la densité de l'air ρ. Lorsque la densité de l'air augmente, la puissance de l'éolienne augmente.

2. Proportionnelle à la surface balayée par les pales de l'éolienne. Si la longueur des pales augmente, le rayon de la surface balayée augmente en conséquence, donc la puissance de l'éolienne augmente.

3. La puissance de l'éolienne varie également avec la vitesse3 du vent. Cela signifie que si la vitesse du vent double, la puissance de l'éolienne augmentera huit fois.

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