照度の逆二乗法則
この法則は、光源と平面間の距離の二乗に反比例して、光源から平面への直線に垂直な平面上の任意の点での照度(E)が決まることを述べています。
ここで、Iは特定の方向における光度です。
ある方向において光度Iを持つ光源があるとします。この光源を中心として2つの距離を半径として取ります。
上図のように、2つの半径はr1とr2です。距離r1ではdA1という微小面積を取ります。dA1の方向で、距離r2ではdA2を考慮します。
dA1とdA2は同じ立体角Ω内で同じ分布された光束Φを持っています。
r1のdA1とr2のdA2は同じ立体角であるため、同じ量の光束を受け取ります。
また、両方の微小面積の立体角は
距離での照度
距離での照度
式(i)から、
次に、式(iii)では、
これは、点光源に対するよく知られた逆二乗法則の関係を示しています。
照度は光源からの距離の二乗に反比例することがわかります。
光源が点光源でない場合、この大規模な光源を多くの点光源の合算として考えることができます。
この関係はすべての光源に適用できます。
照度の余弦法則
この法則は、平面のある点での照度が入射光の角度(入射光の方向と平面の法線との間の角度)のコサインに比例することを述べています。
これは点光源の照度方程式です。
ここで、Iθは光源が照らす点の方向での光度、θは光源と照らされる点を結ぶ線と平面の法線との間の角度、dは照らされる点までの距離です。
しかし、非点光源の場合、余弦法則は光度ではなく光束を使って解析することができます。
微小面積が受け取る光束の表面密度は、光源からの距離と光束の方向に対する微小面積の角度によって変化します。
最大の照度は、微小面積がその表面に対して垂直に入射する光束を受けるときになります。
微小面積が光束の方向に対して傾くと、微小面積上の照度または光束密度は減少します。これは2つの方法で考えることができます。
傾いた微小面積(δA)は以前に受け取っていた光束をすべて受け取ることができず、照度が低下します。
もし微小面積(δA)が増加すると、照度
が低下します。
(1)の場合、要素δAが角度θで傾いたとき、磁束が遮断されるδAの量は以下の通りです。
したがって、δAが受ける磁束はcosθ倍に減少します。
次に、δAでの照度は
(2)の場合、すべての磁束が大きい要素δA’によって遮断される場合:
したがって、照度は
これらの両方のケースは以下の結果に導きます。
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