1.75T磁束密度のオイル浸漬変圧器コアにおけるピーク/RMS特性の導出と分析

一般的に、油浸電力変圧器の鉄心の設計された動作磁束密度は約1.75T（具体的な値は無負荷損失や騒音要件などの要素によります）です。しかし、この1.75Tの磁束密度の値がピーク値か有効値かという見かけ上基本的だが混同しやすい問題があります。

経験豊富な変圧器設計エンジニアに聞いても、すぐに正確な答えを出すことは難しいかもしれません。多くの人が反射的に「有効値」と答えるでしょう。

実際には、この問題を理解するためには変圧器設計の基本的な理論知識が必要です。ファラデーの電磁誘導の法則から始めて、微積分の知識を組み合わせて導出分析を行うことができます。

01 式の導出

外部電源電圧が正弦波である場合、鉄心内の主磁束は基本的に正弦波とみなすことができます。鉄心内の主磁束を φ = Φₘsinωt と仮定します。ファラデーの電磁誘導の法則によれば、誘起電圧は次のようになります：

外部電源電圧は一次コイルの誘起電圧とほぼ等しいとすると、U を外部電源電圧の有効値とします。すると次式が成り立ちます：

さらに簡略化すると：

式 (1) において：

• U は一次側電源相電圧の有効値で、ボルト (V) です；

• f は一次側電源電圧の周波数で、ヘルツ (Hz) です；

• N は一次巻線の電気ターン数です；

• Bₘ は鉄心の動作磁束密度のピーク値で、テスラ (T) です；

• S は鉄心の有効断面積で、平方メートル (m²) です。

式 (1) から、U が電圧の有効値（つまり式の右側が2の平方根で割られている）であることがわかるため、ここでの Bₘ は鉄心の動作磁束密度のピーク値を指しており、有効値ではありません。

実際、変圧器の分野では、電圧、電流、および電流密度は通常有効値で記述されますが、磁束密度（鉄心や磁気シールド内）は通常ピーク値で記述されます。ただし、一部のシミュレーションソフトウェア（例：Magnet）では磁束密度の計算結果がデフォルトで有効値（RMS）として表示される一方、他のソフトウェア（例：COMSOL）ではピーク値（Peak）として表示されることがあります。これらのソフトウェアの結果の違いに注意を払う必要があります。

02 式の意義

式 (1) は変圧器の分野、さらには電気工学全般において有名な「4.44の公式」です。（2πを2の平方根で割った結果が4.44となるのは、学術上の偶然でしょうか？）

この式は見た目はシンプルですが、非常に重要な意味を持っています。中学生でも理解できる数学的な表現で電気と磁気を巧みにつなげています。式の左側は電気量 U、右側は磁気量 Bₘ です。

実際、どんなに複雑な変圧器設計であっても、この式から始めることができます。例えば、一定磁束電圧調整、可変磁束電圧調整、混合電圧調整の変圧器など。この式の深い内涵を把握すれば（その内涵を深く理解することが重要です）、どの変圧器の電磁設計も扱うことができます。

これには側柱電圧調整や多体電圧調整の電力変圧器、引張り変圧器、位相ずらし変圧器、整流変圧器、換流変圧器、炉用変圧器、試験変圧器、可変リアクターなどの特殊変圧器も含まれます。この非常にシンプルな式が変圧器の神秘的なヴェールを完全に取り除いたといっても過言ではありません。この式は私たちが変圧器の科学宮殿への入口と言えるでしょう。

時には、最終的に導き出される数学的な表現が物理的な本質を曇らせることもあります。例えば、この式 (1) を理解する際、特に注意すべきは、この数学的な表現から、電源周波数、変圧器の一次巻線のターン数、鉄心の断面積が固定されている場合、鉄心の動作磁束密度 Bₘ は外部励磁電圧 U によって一意に決定されますが、鉄心の動作磁束密度 Bₘ は常に電流によって生成され、重ね合わせの原理に従います。電流が磁場を励起するという結論は現在まで正しいです。