اشتقاق وتحلیل ویژگی‌های پیک/ریشه میانگین مربعات شدت مغناطیسی ۱.۷۵ تسلا در هسته ترانسفورماتور نیم‌رسانا

به طور کلی، چگالی مغناطیسی کاری طراحی شده برای هسته فولادی در ترانسفورماتور قدرت نیمکتی می‌تواند حدود ۱.۷۵ تسلا باشد (مقدار دقیق بستگی به عواملی مانند تلفات بدون بار و الزامات نویز دارد). با این حال، یک سوال ظاهراً پایه‌ای اما راحت به اشتباه می‌افتد: آیا این مقدار ۱.۷۵ تسلا یک مقدار پیک یا مؤثر است؟

حتی اگر از یک مهندس با تجربه بسیار در طراحی ترانسفورماتور بپرسید، ممکن است نتواند به طور فوری پاسخ دقیقی بدهد. حتی بسیاری افراد ممکن است فوراً بگویند "مقدار مؤثر" است.

در واقع، برای حل این مشکل، نیاز به داشتن دانش نظری پایه در طراحی ترانسفورماتور است. می‌توانیم با قانون القای الکترومغناطیسی فارادی شروع کنیم و تحلیل و استنباط را با دانش حساب دیفرانسیل و انتگرال ترکیب کنیم.

۰۱ استخراج فرمول

وقتی ولتاژ تغذیه خارجی یک موج سینوسی است، جریان مغناطیسی اصلی در هسته فولادی به طور کلی می‌تواند به عنوان یک موج سینوسی در نظر گرفته شود. فرض کنید جریان مغناطیسی اصلی در هسته فولادی φ = Φₘsinωt است. بر اساس قانون القای الکترومغناطیسی فارادی، ولتاژ القایی به صورت زیر است:

چون ولتاژ تغذیه خارجی تقریباً برابر با ولتاژ القایی پیمانه اولیه است، U را به عنوان مقدار مؤثر ولتاژ تغذیه خارجی در نظر بگیرید. در این صورت:

ساده‌سازی بیشتر به ما می‌دهد:

در فرمول (۱):

• U مقدار مؤثر ولتاژ فاز اولیه است، به ولت (V)؛

• f فرکانس ولتاژ اولیه است، به هرتز (Hz)؛

• N دوره‌های الکتریکی پیمانه اولیه است؛

• Bₘ مقدار پیک چگالی مغناطیسی کاری هسته فولادی است، به تسلا (T)؛

• S مساحت مؤثر برشی هسته فولادی است، به متر مربع (m²).

از فرمول (۱) می‌توان دریافت که چون U مقدار مؤثر ولتاژ است (یعنی طرف راست عبارت تقسیم بر ریشه دوم ۲ شده است)، Bₘ در اینجا به مقدار پیک چگالی مغناطیسی کاری هسته فولادی اشاره دارد، نه مقدار مؤثر.

در واقع، در حوزه ترانسفورماتورها، ولتاژ، جریان و چگالی جریان معمولاً با مقادیر مؤثر توصیف می‌شوند، در حالی که چگالی مغناطیسی (در هسته‌های فولادی و محافظ‌های مغناطیسی) معمولاً با مقادیر پیک توصیف می‌شود. با این حال، باید توجه داشت که نتایج محاسبات چگالی مغناطیسی در برخی نرم‌افزارهای شبیه‌سازی به طور پیش‌فرض به مقدار مؤثر (RMS) است، مانند Magnet؛ در نرم‌افزارهای دیگر به طور پیش‌فرض به مقدار پیک (Peak) است، مانند COMSOL. توجه ویژه به این تفاوت‌ها در نتایج نرم‌افزاری ضروری است تا از سوء تفاهم‌های جدی پیشگیری شود.

۰۲ اهمیت فرمول

فرمول (۱) معروف به "فرمول ۴.۴۴" در حوزه ترانسفورماتورها و حتی در تمام حوزه مهندسی برق است. (نتیجه تقسیم ۲π بر ریشه دوم ۲ دقیقاً ۴.۴۴ است—آیا این یک تصادف در دنیای علمی است؟)

هرچند این فرمول ظاهری ساده دارد، اما اهمیت بسیاری دارد. این فرمول به صورت هوشمندانه برق و مغناطیس را با یک عبارت ریاضی که حتی یک دانش‌آموز دبیرستانی می‌تواند آن را درک کند، متصل می‌کند. در سمت چپ فرمول مقدار الکتریکی U و در سمت راست مقدار مغناطیسی Bₘ قرار دارد.

در واقع، صرف نظر از پیچیدگی طراحی ترانسفورماتور، می‌توانیم از این فرمول شروع کنیم. برای مثال، ترانسفورماتورهای با تنظیم ولتاژ ثابت جریان مغناطیسی، تنظیم ولتاژ متغیر جریان مغناطیسی و تنظیم ولتاژ ترکیبی. می‌توان گفت که تا زمانی که مفهوم عمیق این فرمول (فهم عمیق از مفهوم آن بسیار مهم است) را درک کنیم، طراحی الکترومغناطیسی هر ترانسفورماتور قابل مدیریت خواهد بود.

این شامل ترانسفورماتورهای قدرت با تنظیم ولتاژ ستون جانبی و تنظیم ولتاژ چند بدنی، و همچنین ترانسفورماتورهای ویژه مانند ترانسفورماتورهای حرکتی، ترانسفورماتورهای تغییر فاز، ترانسفورماتورهای مستقیم‌ساز، ترانسفورماتورهای مبدل، ترانسفورماتورهای کوره، ترانسفورماتورهای آزمایشی و واکنش‌های تنظیم‌پذیر است. بدون اغراق می‌توان گفت که این فرمول بسیار ساده نقاب اسرارآمیز ترانسفورماتورها را کاملاً برداشته است. بدون شک، این فرمول دروازه‌ای است برای ورود به قصر علمی ترانسفورماتورها.

گاهی اوقات، عبارت ریاضی نهایی ممکن است جوهره فیزیکی را پوشاند. برای مثال، وقتی این فرمول (۱) را درک می‌کنیم، بسیار مهم است توجه داشت که چون از این عبارت ریاضی، وقتی فرکانس قدرت، تعداد دوره‌های پیمانه اولیه ترانسفورماتور و مساحت برشی هسته فولادی ثابت است، چگالی مغناطیسی کاری Bₘ هسته فولادی به طور منحصر به فرد توسط ولتاژ تحریک خارجی U تعیین می‌شود، چگالی مغناطیسی کاری Bₘ هسته فولادی همیشه توسط جریان ایجاد می‌شود و از قاعده جمع‌پذیری طی می‌کند. نتیجه‌گیری از این که جریان میدان مغناطیسی را تحریک می‌کند تاکنون همیشه صحیح است.