同期式電力システムが、回路要素のオン・オフや障害の解消など一般的な状況から生じる比較的大きな擾乱後、安定した状態に復帰し、同期を維持する能力は、電力システムの一時的な安定性と呼ばれます。多くの場合、このような障害が発生するため、電力エンジニアがシステムの安定性条件に精通していることは非常に重要です。
一般的には、電力システムの一時的な安定性に関する研究は、少なくとも1秒またはそれ以下の時間、すなわち1スイングに必要な時間以上で行われます。この最初のスイングでシステムが安定していることが確認されれば、その後のスイングでは擾乱が減少し、システムが安定すると考えられます。数学的にシステムが安定しているかどうかを決定するためには、電力システムのスイング方程式を導出する必要があります。
スイング方程式を使用して電力システムの一時的な安定性を決定するために、入力軸パワーPSにより機械トルクTSを生成する同期発電機を考えます。これにより、マシンはω rad/secの速度で回転し、受電側で生成される出力電磁トルクと電力はそれぞれTEとPEとして表されます。
同期発電機が一方の端から供給を受け、他方の端に一定の負荷がかかるとき、ロータ軸とスタータ磁界との間に相対的な角度変位（負荷角δ）が生じます。これは機器の負荷に比例します。この時点では、機器は安定条件下で動作しているとされています。
ここで突然機器に負荷を追加または削除すると、ロータはスタータ磁界に対して加速または減速します。この時点で機器の動作状態は不安定になり、ロータはスタータ磁界に対して振動すると考えられ、負荷角δとスタータ磁界に対する相対的な運動を与える方程式は、電力システムの一時的な安定性のためのスイング方程式と呼ばれています。
理解のために、同期発電機に突然増加した電磁負荷が適用された場合を考えると、PEがPSよりも小さくなることで不安定となり、ロータが減速します。このときに機器を再び安定させるために必要な加速パワの増加分は以下の通りです。
同様に、加速トルクは以下の通りです。
また、以下のようにも知られています。
(T = 電流 × 角加速度)
さらに、角運動量M = Iω
しかし、負荷がかかると角変位θは時間とともに連続的に変化するため、以下の図のように書くことができます。
上記の方程式を時間に関して二階微分すると、
ここで角加速度は
したがって、
次に、伝送される電磁パワは以下の通りです。
したがって、
これが電力システムの一時的な安定性のためのスイング方程式です。
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