コンデンサーの充電

未充電または部分的に充電されたコンデンサを、そのコンデンサの電圧よりも高い電圧を持つ電源に接続すると、コンデンサは電源から電荷を受け取り、コンデンサ両端の電圧は指数関数的に上昇し、最終的に電源の電圧と等しくなります。

ここではコンデンサ C の静電容量と抵抗 R を直列に接続します。また、このコンデンサと抵抗の直列組み合わせをバッテリー V とプッシュスイッチ S を通じて接続します。
コンデンサが最初に未充電であると仮定します。スイッチを押すと、コンデンサに電圧が発生しないため、コンデンサはショート回路として動作します。その瞬間、コンデンサに電荷が蓄積し始めます。電流は抵抗 R によって制限されます。

したがって、初期電流は V/R です。次第にコンデンサ両端に電圧が発生し、この発生した電圧はバッテリーの極性とは反対になります。結果として、回路内の電流は徐々に減少します。コンデンサ両端の電圧がバッテリーの電圧と等しくなったとき、電流はゼロになります。充電中にコンデンサ両端の電圧は徐々に増加します。任意の時間 t におけるコンデンサ両端の電圧の増加率を dv/dt とすると、その瞬間のコンデンサを通る電流は

その瞬間の回路にキルヒホッフの電圧則を適用すると、以下のようになります。

両辺を積分すると、

回路をオンにしたとき、コンデンサ両端の電圧はゼロでした。つまり、v = 0 で t = 0 です。
これらの値を上記の式に入れると、

A の値を得た後、上記の式を以下のように書き換えることができます。



ここで、

これが充電中の充電電流 I の式です。
充電中のコンデンサの電流と電圧は以下の通りです。

上の図では、Io は、回路がオンになったときにコンデンサが未充電だったときの初期電流であり、Vo は、コンデンサが完全に充電された後の最終電圧です。
充電電流の式（上記で導出）に t = RC を代入すると、

したがって、t = RC のとき、充電電流はコンデンサが完全に未充電だったときの初期充電電流 (V / R = Io) の 36.7% になります。この時間は、コンデンサと共に直列に接続された抵抗 R オームと静電容量 C ファラドの時間定数と呼ばれます。時間定数でのコンデンサ両端の電圧は

ここで Vo は、コンデンサが完全に充電された後の最終電圧であり、これは電源電圧 (V = Vo) と同じです。

Source: Electrical4u.

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