Dijital Veri Tanımı
Kontrol sistemlerindeki dijital veri, sürekli sinyalleri dijital formatta temsil eden ayrık veya örneklenmiş verilerden oluşur.
Örnekleme Süreci
Örnekleme, bir örnekleme cihazı kullanarak analog sinyallerin dijital sinyallere dönüştürülmesidir. Bu cihaz, aç ve kapat arasında geçiş yapar.
Örnekleme süreci, bir anahtar adı verilen bir devre ile analog sinyallerin dijital sinyallere dönüştürülmesini içerir. İdeal bir örnekleme cihazı için, çıkış darbe genişliği çok küçüktür (neredeyse sıfır). Ayrık sistemlerde, Z dönüşümleri sürekli sistemlerde Fourier dönüşümünün oynadığı gibi önemli bir rol oynar. Şimdi Z dönüşümlerini ve kullanım alanlarını detaylı olarak inceleyelim.
Z dönüşümünü şu şekilde tanımlarız:
Burada, F(k) ayrık veri
Z karmaşık sayı
F(z) f(k) fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür.
Z dönüşümünün önemli özellikleri aşağıda yazılmıştır:
Doğrusallık
İki ayrık fonksiyonu f(k) ve g(k) toplamını ele alalım:
p ve q sabitler olmak üzere, Laplace dönüşümünü aldığımızda doğrusallık özelliği ile:
Ölçek Değişimi: f(k) fonksiyonunu ele alalım, Z dönüşümünü aldığımızda:
olacak şekilde ölçek değişimi özelliği ile:
Kayma Özelliği: Bu özelliğe göre:
Şimdi bazı önemli Z dönüşümlerini tartışalım ve okuyucuların bu dönüşümleri öğrenmesini öneririm:
Bu fonksiyonun Laplace dönüşümü 1/s² ve karşılık gelen f(k) = kT. Şimdi bu fonksiyonun Z dönüşümü:
Bu fonksiyonun Laplace dönüşümü 2/s³ ve karşılık gelen f(k) = kT. Şimdi bu fonksiyonun Z dönüşümü:
Bu fonksiyonun Laplace dönüşümü 1/(s + a) ve karşılık gelen f(k) = e^(-akT)
Şimdi bu fonksiyonun Z dönüşümü:
Bu fonksiyonun Laplace dönüşümü 1/(s + a)² ve karşılık gelen f(k) = Te^(-akT). Şimdi bu fonksiyonun Z dönüşümü:
Bu fonksiyonun Laplace dönüşümü a/(s² + a²) ve karşılık gelen f(k) = sin(akT). Şimdi bu fonksiyonun Z dönüşümü:
Bu fonksiyonun Laplace dönüşümü s/(s² + a²) ve karşılık gelen f(k) = cos(akT). Şimdi bu fonksiyonun Z dönüşümü:
Bazen verinin yeniden örneklenmesi gerekebilir, yani ayrık verinin sürekli formuna dönüştürülmesi gerekebilir. Kontrol sisteminin dijital verisini tutma devreleri aracılığıyla sürekli formuna dönüştürebiliriz. Bu devreler aşağıdaki gibidir:
Tutma Devreleri: Bu devreler, ayrık veriyi sürekli veriye veya orijinal veriye dönüştürür. İki tür tutma devresi vardır ve bunlar ayrıntılı olarak açıklanmıştır:
Sıfır Mertebeden Tutma Devresi
Sıfır mertebeden tutma devresinin blok diyagram gösterimi aşağıda verilmiştir:
Sıfır mertebeden tutma ile ilgili şekil.
Blok diyagramda, devreye bir f(t) giriş verilmiştir. Bu giriş sinyalini devrenin içinden geçirildiğinde, giriş sinyali sürekli hale getirilir. Sıfır mertebeden tutma devresinin çıkışı aşağıda gösterilmiştir. Şimdi sıfır mertebeden tutma devresinin aktarım fonksiyonunu bulmakla ilgileniyoruz. Çıkış denklemini yazdığımızda:Yukarıdaki denklemin Laplace dönüşümünü aldığımızda:
Yukarıdaki denklemden aktarım fonksiyonunu hesaplayabiliriz:
s=jω yerine koyarak, sıfır mertebeden tutma devresi için bode grafiğini çizdirebiliriz. Sıfır mertebeden tutma devresinin elektriksel gösterimi aşağıda verilmiştir. Bu gösterim, bir örnekleme cihazı ile seri bağlı bir dirençten oluşur ve bu kombinasyon paralel bir direnç-kondansatör kombinasyonu ile bağlantılıdır.
KAZANÇ GRAFİĞİ - ZOH'un frekans tepkisi eğrisi
FAZ GRAFİĞİ - ZOH'un frekans tepkisi eğrisi
Birinci Mertebeden Tutma Devresi
Birinci mertebeden tutma devresinin blok diyagram gösterimi aşağıda verilmiştir:
Birinci Mertebeden Tutma Devresi
Blok diyagramda, devreye bir f(t) giriş verilmiştir. Bu giriş sinyalini devrenin içinden geçirildiğinde, giriş sinyali sürekli hale getirilir. Birinci mertebeden tutma devresinin çıkışı aşağıda gösterilmiştir. Şimdi birinci mertebeden tutma devresinin aktarım fonksiyonunu bulmakla ilgileniyoruz. Çıkış denklemini yazdığımızda:
Yukarıdaki denklemin Laplace dönüşümünü aldığımızda:
Yukarıdaki denklemden aktarım fonksiyonunu (1-e^(-sT))/s olarak hesaplayabiliriz. s=jω yerine koyarak, sıfır mertebeden tutma devresi için bode grafiğini çizdirebiliriz.
Birinci mertebeden tutma devresi için bode grafiği aşağıda verilmiştir. Bu grafik, genlik grafiği ve faz açısı grafiği içerir. Genlik grafiği, 2π/ωs değerinden başlar.
Giriş
