Definizione di Dati Digitali
I dati digitali nei sistemi di controllo sono costituiti da dati discreti o campionati che rappresentano segnali continui in un formato digitale.
Processo di Campionamento
Il campionamento è la conversione di segnali analogici in segnali digitali utilizzando un campionatore, che si attiva e disattiva.
Il processo di campionamento converte i segnali analogici in segnali digitali utilizzando un interruttore, chiamato campionatore, che si attiva e disattiva. Per un campionatore ideale, la larghezza dell'impulso di uscita è molto piccola (quasi zero). Nei sistemi discreti, le trasformazioni Z svolgono un ruolo cruciale, simile alla trasformata di Fourier nei sistemi continui. Esploreremo in dettaglio le trasformazioni Z e i loro utilizzi.
Definiamo la trasformata z come
Dove, F(k) è un dato discreto
Z è un numero complesso
F(z) è la trasformata di Fourier di f(k).
Le proprietà importanti della trasformazione z sono elencate di seguito
Linearità
Consideriamo la somma di due funzioni discrete f(k) e g(k) tali che
dove p e q sono costanti, ora prendendo la trasformata di Laplace abbiamo per proprietà di linearità:
Cambio di Scala: consideriamo una funzione f(k), prendendo la trasformata z abbiamo
allora abbiamo per proprietà di cambio di scala
Proprietà di Spostamento: Secondo questa proprietà
Ora discutiamo alcune trasformate z importanti e suggerisco ai lettori di imparare queste trasformate:
La trasformata di Laplace di questa funzione è 1/s² e la corrispondente f(k) = kT. Ora la trasformata z di questa funzione è
La trasformata di Laplace di questa funzione è 2/s³ e la corrispondente f(k) = kT. Ora la trasformata z di questa funzione è
La trasformata di Laplace di questa funzione è 1/(s + a) e la corrispondente f(k) = e^(-akT)
Ora la trasformata z di questa funzione è
La trasformata di Laplace di questa funzione è 1/(s + a)² e la corrispondente f(k) = Te^(-akT). Ora la trasformata z di questa funzione è
La trasformata di Laplace di questa funzione è a/(s² + a²) e la corrispondente f(k) = sin(akT). Ora la trasformata z di questa funzione è
La trasformata di Laplace di questa funzione è s/(s² + a²) e la corrispondente f(k) = cos(akT). Ora la trasformata z di questa funzione è
A volte c'è bisogno di ricampionare i dati, il che significa convertire i dati discreti in forma continua. Possiamo convertire i dati digitali del sistema di controllo in forma continua utilizzando circuiti di hold, discussi di seguito:
Circuiti di Hold: Questi sono i circuiti che convertono i dati discreti in dati continui o originali. Ci sono due tipi di circuiti di hold, spiegati in dettaglio:
Circuito di Hold di Ordine Zero
La rappresentazione a diagramma a blocchi del circuito di hold di ordine zero è mostrata di seguito:
Figura relativa al circuito di hold di ordine zero.
Nel diagramma a blocchi abbiamo fornito un ingresso f(t) al circuito, quando permettiamo al segnale di ingresso di passare attraverso questo circuito, esso riconverte il segnale di ingresso in uno continuo. L'uscita del circuito di hold di ordine zero è mostrata di seguito. Ora siamo interessati a trovare la funzione di trasferimento del circuito di hold di ordine zero. Scrivendo l'equazione di uscita abbiamoPrendendo la trasformata di Laplace dell'equazione sopra riportata abbiamo
Dall'equazione sopra possiamo calcolare la funzione di trasferimento come
Sostituendo s=jω possiamo tracciare il grafico di Bode per il circuito di hold di ordine zero. La rappresentazione elettrica del circuito di hold di ordine zero è mostrata di seguito, che consiste in un campionatore connesso in serie con un resistore e questa combinazione è connessa con una combinazione parallela di resistore e condensatore.
GRAFICO DI GAIN - curva di risposta in frequenza del ZOH
GRAFICO DI FASE - curva di risposta in frequenza del ZOH
Circuito di Hold di Primo Ordine
La rappresentazione a diagramma a blocchi del circuito di hold di primo ordine è mostrata di seguito:
Circuito di Hold di Primo Ordine
Nel diagramma a blocchi abbiamo fornito un ingresso f(t) al circuito, quando permettiamo al segnale di ingresso di passare attraverso questo circuito, esso riconverte il segnale di ingresso in uno continuo. L'uscita del circuito di hold di primo ordine è mostrata di seguito: Ora siamo interessati a trovare la funzione di trasferimento del circuito di hold di primo ordine. Scrivendo l'equazione di uscita abbiamo
Prendendo la trasformata di Laplace dell'equazione sopra riportata abbiamo
Dall'equazione sopra possiamo calcolare la funzione di trasferimento come (1-e^-sT)/s. sostituendo s=jω possiamo tracciare il grafico di Bode per il circuito di hold di ordine zero.
Il grafico di Bode per il circuito di hold di primo ordine è mostrato di seguito, che consiste in un grafico di magnitudine e un grafico di angolo di fase. Il grafico di magnitudine inizia con un valore di magnitudine 2π/ωs.
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